1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d (846319), страница 75
Текст из файла (страница 75)
исай.†,я'. Ук аз а н не. При 2=и(х, р, г) выражение (3) преобразуетсн в (4) путем г р= у— Дня решения задачи (1') и (2') нужно применить преобразование Фурье для функции двух переменных ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ +СО +СО + С 1 ЕЕ «(х, р, а, ()= . 1 рс —./)З вЂ” сΠ— сс О Х е (» з)а+(у ава+(2 с)а (х — 1)»+[у — ава+ (2.(- )а 1 2 3ж. (1) Если /(х, у, 2) ие зависит от у, то и(х, 2, ()= +сс +»О ~ (х — а) +(2 — С)а (х — 1)*+[»+С)а 1 4« (Ч вЂ” со О Указ а н ие. Применить преобразование Фурье с ядром — а/ —,— Е( (аа+)'Ч) ПП УО 2 'тс/а в полупространстве — сю<$, т)с+со, 0<, <+со.
Если же /не зависит от р, то нужно применить преобразование Фурье с ядром ! — епд пп ч~ при — со ( ф (+ со. 0 с ь (+ со. У к а а а н не. См. также решение задачи б9 гл, ПЕ 62. и(х, р, г, /)= (» — 1)а+ (у — НР+ 2' Если /(х, «, () ие зависит от р, то ( + »О (» — а)а+ »а 4 Указание. Применить преобразсеанне Фурье, предлагаемое в указа.- нии к предыдущей задаче. +Ос +со +со 1 . ° . », *. >- - [ О 1» ~ »2. а. О (2« у/аи)з ) Хе (х С) + (У »за+[2 Ь)~ И Ы +(У Ч)а+ (2+1)а 1 +е 42( ~с(д, Ук а в а н н е. Применить преобразование Фурье с ядром 1 2(1»ч+ин) (ятг 2»/аа[ /» в полупростраистве — со(фа ц(+оз, 0(~«с+ось у.
врлвнннин нлрлволичнского типа Если ( не зависит от у, то Г (х — 4)в+ гк — ()в (х — 4)*+ (2+ ()в и(Х, 2, ()= 1($ С) (Е 4аи +Е ваи 4лоЧ [х — 4) в+ (2+ 44- м)в уу ~ „, [ав( Ъ Указан ие. Воспользоваться преобразованием Фурье с ядром ([л4+кн) ™т( +Лап( [ь та+62 в полупростраистве — со~$, в) (+со, О(~~+со.
Если ( не зависит от у, то нужно воспользоваться преобразсванием Фурье с ядром 1 „4 тсозтс+й мптЬ тз+йз при — со .с $ (+ сс, О ( [, (+ оэ. См. таквке решение залачи 65 гл. И1. +ав + во +» Л Г Лт ( ° У ° ()=,—, ( ., ~ 44 ~ лп ~ (+И(4, ),Вх р -)з 1 )вы (х $)в ( (Е П)в.( [2.( Фв хе Хач ((ь.
Если (' не зависит от у, то [ +ав +ав й Г ([т г à — ь( и(х, 2, ()= —, [ — ~ ((4 (2+Ц)1($, т)е 4па' ) (г — т)2 о — ва (х — 4)в+ [2 + (,) в »ав( У к а а а н и е. Воспользоваться преобразованием Фурье, предложенным в прельшушвй авлаче. 64. +ва (х — 4) +(Š— Ч)в+2» ук а Хан не Применить преобразовав Фурье, прелложенное в указании к прелылувпей залаче. +~ + в [" (" — 4)*+ [2 — вп [ — () '6 м(х у ' й= — '1 ду ~ Л,) ~ (е (~р'ы)' ~ (х — $)*+(Š— Ч)»+ [2+4)в +е 4»Ч -(- »а, (х — $)в+ (х — вз'-(- [2+ С+ и)» б ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ 67.
( +оо +оо 1 1; йт — а ] ° (2о)Г„„— )а ~~ (г ) А (и-И'+ (г — ЧР+ (» -(Я (и-И*+(и — ЧИ 4- «+0'] Х е — е ои <4 — П )ас л(Р 68. и(х, у, г, 1) 41",~4(т)~г ($, (1, С)б((х, у, г, $, т), С, С](($, 1 1, 2, 3, причем в случае а) под ннтегралом стоит б(, в случае О) — бм в случае в) — бл, где б, (х, у, г, С, (1, (, 1) Ря -(. оо г)~~ л'т 2 (ап \т " ((г (о о7 . Апх АЯО ичу ипт) .е и ' ' мп — а(п — Ип — ' а(п —, 14(го р п( б,(х, у, г, С, т), Л, 4)= где )(» к ри — соответственно положнтельпые корав уравкенпй Лг — йо рй Аа с(6 1()( я — — — к с(О 1ар 2ЛА ад 'Ро "(с(6 ° Ла Ци асс(6— ]ол Ь вЂ” кои)(рвцвек( теплообмена.
(* — о(' + — т~+ — 44 е 4лч ~~ и ' еааисоа — соа — соа — Усов — О, 1 1 ее= 2 — прп й О, — прп и О, елпрв А~ О, 1 прк л чеО, ба(х, у, г„$, т), ф, 1) (л — УЯ вЂ” — -(- со — а*(ЛА+В,о) 4 о р"й 4'( ~( В+А')(1(+2АЧ(Р*-)." ) (а+2Ч а.и 1 Х(Ла соа Л~Д+ А гпт Лас) (рл соа Илу+А мп Илу) (рл с(ж Ялт)+1( а)п рит)) (л ((о М Ж- — "' " Р4+А)(р„+').-"'4+".)' а Р и( 1 Ц+А ) (+ И()(л+Аг) (а+2Ч Х а)п(Аах+4РА) 41п ()(ЛС+3РЛ] мп(мчу+Фи) г)п()(ит)+(Ри)1 Ч, И АВНННИЯ ПАРАВОЛНЧИСКОГО ТИПА Указание. Применяя преобразование Фурье по а + со 1 й(х, у, т, Г)== ~ и(х, и, Ь, ()е(о(д(„ )ы + со 1 /(х.
у, ч)- —. )(х, у, ь)е(т(с(Г,, )'2н д (2) мы придем к уравнению дй ( дзн дзд — =аз~ — + — — )рд' д( ( дхс дус (3> н начальному условшо й)с о Г[х, у, т). (4) Замена д=е асд(о(х, у, ч, 1) приводит к уравнению (3') и начальному условию с~( о= (х. у, ч). (4') Граничные условия для и будут те же, что и для и. 6 находим методом раз- деления переменных, а затем, подставив его выражение в (5), применяем к я обратное преобразование Фурье, при атом после выполнении интегрирования по т получатся выражения, приведенные в ответе.
+ со 69. и(х, у. х, ()= ~ с$~ д() ~ Г($, т), ()6((х, у. з. ~, (1. ~, ()с$, (=1, 2, е (* — Р' Г (» — йр (с+4)с 1 е (а ' „ )е (а г 1 оач Указ а н не. В случае а) следует применить синус-преобразование Фурье по х, а в случае б) — косинус-преобразование по х. Далее задача решается аналогично предыдущей 70. и (г, ф, а, () +о го яя д",1 г'дг' ~ )(г', ср', ~)0((г, (р, з, г', ф', Г, ()дф', с=1, 2, 3. — со Ь причем граничным условиям а) соответствует функция бо получающаяся из (с Фс функции бс ответа предыдущей за(жчи заменой множителя е на мно(а'г — (а+111 аасг житель ~е (а'( — е за ( 1; аналогично в слУчае б) бз полУчаетсн из ба заменой ОТВЕТЫ, УКЛЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ В случае а) ! 1 !' 2 при н=О, ( 1 при лчьО, Иавп — положительные коРнн УРавнениЯ Хл(Р]=0.
В случае б) в'=2 ~ 2 прн л=-О, е„= ! 1 при л~0, !вон — корни уравнения У„(р)=0, р(ео!~0, )в~"! )О при л ныл. ае в) =3, 6з(г, ф, г„г', вр', ь, !)= л г, л га ~ 2 прн л=0, ( ! при лЖО, 1,(л' — положительные коран уравнения — гл(Р)+Лв'л(р) =О. га 3 а меч а н ив. В случае б) корню Кв1=0 соответствует собственная функния, ранная тождественно константе. Указание. Задача решается аналогично задаче 08. гво гв Зп и(г, чч а', !)= )г в(~~ г'в(г~ )(Г, «р'. Ь)б~(г, ф, а, г', ф', Г, !)дф, ! 1 о в случае а) в 1, 6, получается из 6т предыдушей задачи заменой множителя е тлч на множитель )е ьвч — е "л" ); в случае б) 1=2, 6 полу.
!» — ь)' чавг чается из 6, предыдушей задачи заменой множителя е на множитель ч. зиавнннип плпдноличнского типа 72. +ОР Г ( .. *, о- 1 л(" '~ !г, '. !)ол,о..'. ',!.ол. -со в случае а) 4=1. 6! (г, (Р, а, г', ор', ь, Р)= (е — ь!» 4ам — аеиа У е ел!е е асафа Г п( ж л =- ! р(л! — положительные корни уравнения Хл (р)=0; в случае л б) 4=2, 64(г, ор, а, г', ор', С, Р)= (л — С!е + о е. л=! 1 при а~О 2 при л=0, р(л! )О при аль О, р~о)=-0, ра(л! — корни уравнения 7„пй)=О. чъ Корню р'„м соответствует собстнениая фуикпия. тождественно равная константе. 73 и(г, ф, 7 ()= +оа г фо 4(б ~ г'((г' ~ 1(г', (р', й, Р)6((г, ф.
а, г'„ор', (, Р)((ф', 1=1, 2; д д о в случае а) (=1, 6, полу(аетсв из 6, предыдуп(ей задачи заменой множителя (» — ь)!' [ (4 — (1* (4+1(е 1 е на множитель [е * — е 1 в случае б) 4=2, 64 получается Рае( [ 4ал оае( 44 — ь!о из 64 предыдущей задачи заменой множителя е 44'г на множитель +ао Фе 74. И(Г, ф, Р) ~ РРРР) 7(Р, ф')64(Г. фо Р, ф', !)4(ф'е 4 1 ° д .,„(.,е, агефе )Рг((Р ~лл 1,1 ~лл ~ Го ', Р'е РРе Во о лпф .
лпо)Р а(п — з!п —, Х„',(р(ал!)~4 ф фп ' ОТВЕТЫ, ККАЭАНИЯ И РЕШЕНИЯ в случае а) 1=1, 61(г,Оь р, р', 1)= 2 У Й е-''Ачу Му ( )Хдйащ"— и'Р И 'р врв Еч ' л=1 вв чъ в случае б) 1=2, ба(г. вр, р, вр', ()= — 7 ~„Я е аччл (Хр) в' (Аг))вЖ1ссе — ~~ 1 при лчьб, ел= 1 при л=О. Если воспользоваться известным соотношением для функпий Бесселя +СО а'+ г* а у„(свт),/ (ут) т йт = — е ) р*т' 1 врв / ау '1 2рв "(2(Р) О Ке (ч) ~ — 1, ( Агб р ) ~-, 2' получим +со ш 22 О э е вв Поэтому 6, и 6а мошно представить в виде гв+ р' = аО .' =~Ь.~! 2.
л=1 = аваь(,~в " шв (,2ав() гр, вр, л=в 1 — прн л=О„ ел= 2 1 нрн плыл. Указ а ние. Частные решения уравнения ди (дви 1 ди 1 д'и'1 д( )дгв г дг гт дврв! — = аэ — + — — + — - — 11 ишем в виде () (г, вр, Г) = Оу (г, ~) бв(вр), требуя, чтобы в оаучае а) и б) вы нялись соответствующие граничные условия.
В слУчае а) это пРиводит к частным РешениЯм ил(г. Г] мп —, л — 1 лтввр чч лвир 2, 3, ..., а в случае б) — к частным решениям и (г, () соа- —, и=О, 1, 2, З л е. и*лвнннин плвлволичпского тнпл В обоих случаях и„(г, и является решением уравнения Гип')о ди Фи«1 ди« 'тйчг' д( ( дго г дг го (1) Решение исходной краевой валачн ищем е виде суммы втнх частных решений: в случае а) +со и(г ~р.п ~~~~~ и«(г, Осев" — '"Р; (2] ЧЬ «=1 в случае б) +со и(г, тР, 0 ~ и«(г, ()сов —. лшр Чо «=о случае в в рвд по сов— ' лшр оро Разлагая )(г, о) и)г в ряд по в)п — в первом ПЯф сро во втором, найдем начальные условна для и„(г, (): в случае а) и„(г, 0)=Р«(г)= — ) (г, о') ап — йр") 4Ро Чч в случае б) и«(г, О)=(«(г) — ч ((г.
м')сов — ойр', лчьО. 2 с, игор' Ч 3 ' Ч а ио (г, 0)=го (г) — ~ )(г, м')дтр'. оро о (4') и(г, О, () О, ' Ро' 0„0<г<+Оэ, 0<(<-(-со, ди(г, Чв () дф и (г, Ч, 0)=~ (г, м) 0 <о <тра 0 <г <-(-оэ (2) ") См. (42), стр. 459 — 600. Решение уравнения (1) прн начальном условии (4) нлн (4'), ограниченное прм г-о О. ищем в вийе + со+«о „(, О- ~ ~ (г„(р, ()2„„(йр),)„„(йг)йдлрдр, вспольвун интеграл Фурье — Бесселя — Ханкеля «) +«+оо г(г) ~ ~ Рйт)оч()ор).)ч()ог)) д)ордр, ч~ — —. 1 о о 70.
Решением краевой задаче ди (дои 1 ди 1 дои1 д( тдго г дг го дно)' — ='и о( — + — — + — — 1 0<в< Р, 0< <-1. 0 <( ° -(-со, (1) ОТВЕТИ ККАЗЛНИЯ И РЕШЕНИЯ является чс + и (», ср, ()=~ д»р' ~ 1(р, ср') б(р, г, ср', ср, () р др, о о где б(р, г, ср', ср, ()= (4) «=о о 2ср„ 2е (2«+ 1) чср', (2п+!) ."цр х мп яп «»ро 2»ро 76. и (г, ср, г, В = чс ОЬ д" '1 г дг ~ 1(г', ср', () б (г, ср, а, г', ср', ь. ()»(ср', 4 = 1, 2; — с«о о в случае а)»=1, » — 1»с 4«» б,=' .
б„ 2и)» н( где бт найдено в задаче 74; в случае б)»=2, 4» — йи 4«с» б,= 2а 1' Й (1) (2) (2) является: 2(»о (' 11 — '»' ») К (, л) с(а (4) где К (г Ч -го (гоМ )Уо (»М Ао (гьт ) »о (г)с) (5) У к а з а н н е. Воспользоваться интегральным преобразованием Вебера с ядром »К(г, )р) на интервале го<»<+со, а именно: сначала, применяя вто преобразование к уравнению (1), получить уравнение для образа Вебера искомой функпни + с« и ()с, Е) = ) и(г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
