1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d (846319), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Корни АА Уравнения С101гА= — 1 . ° — — ) УДовлетвоРяют 2 (0 А) неравенствам 0()ч1, (и, п()а(г (2п, 2п()га1, (Зн, ..., т. е. перавенАг(г н огнам 0( — — ( —, 2 2' и )чг(г )ч(, Зп — ( — 1(й, и( — (— 2 2 ' 2 2'' 19) 11 2ААА Аа 10 ДА1г (10) В силу (9) 1д — ) 0 при й нечетном и меньше нуля прн )) четном. Но ДА1г 2 212— 2 10 0= 1 — 19а— () 2 поэтому нэ (1О) следует, что й — при й нечетном, 10АА г = — — при Ф четном. 6 Следовательно, 1 ! 11.
Д Да (х) г)х= — 1(вш АА1, + — (1 — соэ АА1г) ~ = 1 . ДА(, Щ1 Ь Да(т) = — 2 мп — ' сгв — ' ~ 1+ — 10 — ' Ха 2 2~ Ц да(1 2 (а 2 6 д 0 при а н А» 1+1, да(г ~ )га 2 1 11 — при д нечетном, 2 га 0 Аналогично вычнслЯютсв )г У (Р) ПР,~ да(а)г(». Ь 1 гх 6) Подставляя Аа в ураВНЕниЕ с10(гх= — 1 — — — ), ПЕРЕПИШЕМ РЕЗУЛЬтатвандв 2 10 А)' и, и лвнпнип иа лволичпакого типа Указание. См. укааанне к аадаче П. ГЗ 14, а) !кр — — ап 1ГГ кр= ~/ б) лавинный процесс размножения частиц будет иметь место при любых размерак куба; о ига 1 (' ьг() оййгЗ ) в) 1„р= — агсс(й — ( — — — ), если ()."к Заэйэ; лавинный про- 0 Майра уй )' цесс будет прн любык размерак, если ()~Зазйэ; () — коэффициент размножения, входящий в уравнение ди (дэи дэп дэп 1 д( ! дхэ д(~ даэ ) -= ( — + — + — )+().
ге (. 1)=',)' л„ л=! 2 э . лпг А„= — дч г)'(г) з!П вЂ” Иг. "— г. 3 ге е Указание. Уравнение теплопроводиосги в силу радиальной симметрии записывается в виде до Фо д! дгэ ' — =аэ —, 0(г(гз, О~!~+оп, о(0, Г)=0, о(ге, !)=О, 0~1(+оз, е(г, 0)=к![к), О~к ~ге. (4) (б) Первое из граничных условий (4) является следствием ограниченности темпе- ратуры и(г, Г) в центре шара р(+О, 1)= !!ш ги(г, !)=О. г +е +ко лчнак а мч ( — !)" ю гз и(г, 1)=(Г,+2 е ((Гз — (Гэ) 7 — е ™к и л г При всек значениях времени й удоплетворяющих неравенству 1)Г = ' 1пе, гк Зпэае в центре шара заведомо будет иметь месю регулярный режим с относительной точностью е) О. Указание.
См. решение задачи 22 й 2 гл. 1П. Переход к новой неизвестной функнии о(г, Г)-ги(г, !) приводит к краевой задаче об остыванни стержня ОТВЕТЫ. УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЙ 17. Решением краевой задачи ди (даи 2 ди1 иа«( + ( 0 (га 0<1<+со « дг(э ди Л вЂ” ц, г га, 0(1(+со, дг и(г, 0) («а, 0<г(га, (2) явля етсж (5) 18. Решенном краевой Задачи ди ч(д и 2 ди1 д( (дге г дг1' — иа( — + — - — 1, 0<«<ге, 0<1<+со, ди — -1-Ьи 0 ери г=г, О(1<+со, дг (2) и (г, О) г(г) 0 < г < га (8) является: + ач и(г, 11- аУ~а (ле — а*Ф аш Ллг (4) где 2 гвЛа +(гай — 1)ч (5) (6) ааилг рлг — — а)п — "- =(«,+2(и,— 1«,)А«„~У~ ( — 1)л- — „" -, „' рл Щ+ А~~„" — Щ) л 1 а Ь вЂ” коаффнинент теялообмена, входящий в граничное условие ди — = А((«т — и) прн г ге, О а 1 <+со.
дг +ел и(г, 1) («а+ — — — ', — « Л ~ «$10«еа й, где Йл — положительные корни уравнения (ар р. ˄— положительные корни уравнения Ллга (Е Ллгю = —. 1 — «Ф' 19, иЫ. Г)= где рл †положительн корни уравнения а~~( — „и рлг) (4) соа рл Ч. УРАВИЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА В центре шара и(О. !)=(Г,+2Я.— (!е)а е лю ч =- ! Вели Аг, < 1, то, очевидно, ряп (4) удовлетворяет условиям тес!рамы Лейб. нива о знакопеременных рядах. Воспользовавшись этим, найдем.
что прн всех значениях времени (, удовлетворяюших неравенству г) ~ и(+" 㻠— "ге 1/ И(+(йге — 1)з) в центре шара заведомо будет иметь место регулярный режим с относительной точностью и ) О. Ю. Решением краевой задачи ди (дзи 2 ди! — = а — — е + — — ~ 0 < г < гз. О < Г <+ со. ди! 4 й((),+и! — и) 1, 0<! <+со, дг(г=», !г=г и[г, 0)=(гз 0<г<гм 2йгоаи ж) + аэ где р„ †положительн корни уравнения (2р=„",.
У к аз а н и е. Сначала следует найти частное решение уравнения (!). удовлетворякхцее неоднородному граничному условию (2). Такое .зсгное решение можно искать в виде (! (г, О=(1,+и(+Р(г), где Г(г) — неизвестная Функция. 2!. Решением краевой задачи ди , (д'и 2 ди) — а ( — + — — ) г <г< ты О<( <+со, . с)( [дгз г дг) (д-' — й, )~ =-О. (-"+4~)~ =О, О<(<+ (2) и(г, О)=1(г), г! <г <гы является: + сч ч' 4 а*хе™ (Л» (г — гд)+чз) (г, ()= г А„е В г (4) является! ге) Га — ге — 2— й А и(г, О=Уз+и (+ + е и,! р р'„+(иге — 1)' ( — 1)зю " ' г " (4) 14+42 о — йг„ раг ')/ Рче + (6»е — 1)з г( га (4) Рг (И'+ й'; — Л е) о, гпквниння пкоаволичнского типа зшь „х . ппу юп —, мпм х, 1 мну а(1т — х) мп мп ммк (11 «е) О<«<ха, 0<у<1а, 1, О у — сара з папа Нмк — Хма— А~ серз, папа йз р Ф сноз з папе с р „, птпз) = й, — ) — — с(8 ~(хз — 1,) — Х,л — — 1, ()) р й„ 1з 1 с, й ~ Р(х, У)1(х, У) оаьа(Х, У) Их ИУ о о (8) Ам.
к (о ~к)а 1с,р, при О<х<х„О<у<1м р(х, у) 1стрз при ха- х<1м 0<у<1о С, 1, )ом,„(з =~ ~ р(х, у) ось «(х. у) дав= о о (9) (з срзх с р (1 — хе) япз им«ха мп' мфда А — хз)Х 4~. з Функции о „, ортогональны с весом р(х, у) на прямоугольнике 0 <« <1м О у<1,, 24. Решением краевой задачи до И'и Фи дан) ср, — А,( †+ в -), 0<х<хм 0<у<(з, 0<«<1«, 0<1<~-со, (1) ди Иаи дзк Фи) сара — =Ь~ — + — + —., х --х<11, 0<у<1, 0<»<1, д1 (дхт ду' дФ) ' О<1.-+, (Р) н(хз — О, у, х, 1) и(хо+О, у, а, 1)„0<у <1а, 0<«<1«, 0<1 +со, (2] й,и,(х,— О, у, а, 1) Азпх(хе+О, у, х, 1).
О<у~~ 0<«<(м 0<1< (, (2) и) =о=Я 1, п)в .з и! й и(,=о и),=1=0. (2) и!ю-о=)(» у, х), О==к<(„О у=(„О«х~г (з) о, (ш=1, 2, 3, ...; н=), 2, 3, ...) — корни транспендентного уравнения 464 ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕП!ЕНИЯ явлин!си! и(х, д, г, 1) ~ Арал, с '"" Р олв„,р(х, д, г), (4) лл л, о=! тдв яп сб „„а лпд ап г ас! о!!лирк рлг ап — 0<к<ха, % О д 1,, О г=са, а лил(к д г)= ап ы ('С х) ап лнс рлг — ап —, ха< х 1„ са 0 < д <1, О < г -= са,с с,р,, ива! Рана овл, л, о — )ил л. и — — „—,, (0) саа са! а с р лап* рана с сар! „лала ралд ( -1 с сара, л"'сд дала) / саР! лала Рааса -«ф — '' й' —.— — х !ллл са (а Глас,, лапа рана) Хс(2((кв 1,) ф — Аа РС «а л!ло (а (а ) ° (л с,с,с, ) ) 1 р(х, д, г)((х, д, г) оа.,„р(х, д, г)с(кадаг ооб Ало л.р ,"а (8) !ил! р ср, пРи 0<к<хо, О<У--1а, 0<а<1, р(к, Т. г]= ' '1 (О) сра при ха<к<с!, 0<к<(а, 0<глк1а,! 1оли л о! -),) 1Р(х д г)ит л о(х.
д г)«хдд«г= боб (а(в ~ с!рсха сара (1! хв) ! всп дслалрхо нпасощл (1, — ха)1 лало ! 4СЧНКННН Олл л, р ОЕ д г) ОРТОСОНааьиЫ С ИЕСОН Р (Х, д, г) В ПараааЕЛЕ- пипеас О <х< 1„0<д<сь 0<в < 1в. 25. Решением краевой аааачи да (даи 2 да) ср — «с(- — + — — ), 0<с<го, 0<1<-)-оо, ' д1 ')дса с дс~' да сдан 2 да) гаса — -«а( — + — — ), ха<с~с!, 0<1<+ >, дс дс!' Г дг а(тв — О, 1) и(ха+О, 1), 0<1<+со. «аас(св — 0,1)=«и (ха+О. 1), 0<1<+оп, и(с,, 1)=0, 0<1<+по, и(г, О) 1'(г), 0<с <са, (2) (2') (2') Р) Х,л, „, рл 1, 2.
3, ...; л 1, 2, 3...,; и=1. 2. 3, ...) — парни трансиепаеспносо Уравнении тл РРлпнения плрлБОлинескОГО тнпА иилиетсв: + и(г, т)= ~ А„е " о„(г), (4) тле да(о= 1, 2, 3, „.) †кор трансдендентиого уравнении. 'г' Л с Р, с(Д ~геХ„1/ — 0-')-) — 'ггаесрг с(2)(га — г,) ).
1/ — агз 'Г ' ', (5) дтт о„(г) — .— мп ы„(г, — г) ге(г(г~ ~ г мн Ыв(г, — ге) ' (у) ) Ы (г) ((г) о„ (г) дг о (в = )еа)т с,р,г' при 0(г(г„, ~ Ы(г)= гтр,гт При га (г (г, (9) сьоотге г,р, (г~ — га) Лт — йт 2иитйатю йа!ПтЩ,(Г,— Г,) А„Г„ Функпии ов(г) ортогональны на отрезке 0(г(г с весом Ы(гь 26. Решением краевой аадачн ди (дти 2 да 1 — -=ат с — + — — т, г, (г (га, О(((+со, д) = (д-в ° д.
) 4 г д() „ди ~ — пгг1р'сг — — =4пгтд —, и = У (т), и =О, 0(Е (+ос, ир. 0)=)(г), ~ (г (ги (2) (2) а — 3 где Ла — положительные корни уравнения отг,).т — 3)( с(й лв (га — г,) = дйХа гг 2 ~ г~(г) мп Хв (г — г,) дг г, А» Г )а%аг,р*с* 1 )а 2огг,р' ь 1 1 1 ЗЛ Х.4 -* 3' где р* и с* — плотность массы н удельная тсплоемкость жидкости, явлиетси: о — агат,г мп Х„(г — гд и(г, ()= у А„е ' " ', г,(г( о О(.<+, (4) г ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ 2. Краевые задачи, требующие применения специальных функцнй а) Однороднмо среды о»о аа»» (р г) 1 — 2 е — Х )а»а а (р») » 1 и (г, 1) (7» О~гкго.
О~(~+, (1) где го — радиус цилиндра, а р» — положительные корни уравнения 7» (р) О. Б услоаняк регулярного ре>кнма, т. е. при столь больших значениях 6 что сумма членов ряда (1), соошетствующнх р р, ... пренебрежимо мала по сравнению с первым членом о) 2/о( ! ) р г (рт) (2! средняк по поперечному сечению температуоа моно ! 4 и(1) (7о 1 — — г о Замечание. В точках с координатой г, = — ' регулярный режим нас!у. ра )аз пает раньше, так как в этим точках обращается в нуль член ряда (1), соотжтствующий рт.
хв. и(г, 1) =8(7»,г е ',, гае р„— положительные корни уравнения уо(р) =О. В условиях регулярного режима о(г ) га и(г. 1)»=И/о,у,~ е а р% (ра) а) Напомним, что для корней уравнения lо (р) =0 имеет место представление 1 0,05661 0,053041 4 + 4» — 1 (4л — 1)з "")а так что р ~2,4048, р»ыбабЮ1а ра 8,6537» ... Значения уа(р») см. (7га стр. 678. Указание.
С помощью подстановки о(г, г) гц(г, () задача (1), (2), (3) сводится к задаче об остываннн отрезка с сосредоточенной теплоемкостью иа канве, ксторая решается аналогично тому, как зто делалось в гл. ВН (см. задачу 50). ж уРАВнения пАРАБОличесКОГО типА среднян по поперечному сечению температура Роао (т(()~ о, 'о ро (2) является: ")з и(г, ()=и,+— рте (4) где р„— положательные корня транспепдентного уравнения то (Р)=0. 30. Решением краевой задачи ди тдтн 1 дит — =оос — + — — т О(г(го.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
