1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d (846319), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Задача сводится к решению уравнения Лапласа Ли О прн граничных условннх ди ~ — А' ~ =4, и<р »=О, а е !=О дз 1»=е , (1 — 2) з)! н(р, 2)= т А у»(--р), )! — - < и а 2А»а»4 т А (а»<!»+Т» ),» < (,„~ ° 1!4. (2) где и, — т-й норень тра!кпеидентного уравнения ой Х! <т] — е» (т). т <3) р» и(р, г) !) А„,е " еа ! — юр), — /р ю 1 где !»ю †коре уравнения е»(р) О, А = 2рч ~У»(р Г б) Решение задачи П4 при 1 со (р, )= ~~~, А ' .("-»нр), ю=! (3) где тю — иореиь уравнении (3) задачи 114, Ам определяется !рормулод (2) задачи !!4, У к зван ве.
Решение ишстся в виде и (!о, 2] 4' дм (2) )сю (Р) т ! где <<„,(р) совпадает с соответствтюшими фуикпнями задач 113 и 114, х (2) оп)слоняется нз уравнения 2" — Х 2 0 и условии 3(оо) О, так что 2 = Л»!е д — ком)»рициент теплосбмеиа. Переходя к пределу прн <! -1. сю, получим отсюда решение задачи 113. Указание. Требуется решить краевую задачу Ли=О (0(р«-о, 0(2( <), — Д.— ~ =д. +<ш~ О, и! ! О. ди! ди ) да)»=о ' др<р а р=а 113.
а) Решение задачи 113 длн полугранвчного цилиндра [! оо) имеет внд 416 гш уравнения пллиптического типа 1!6. Напряженность электростатического поля Š— йгаб и, где и — по- тенцнал, равный а!и г пгпе+ П Х, ', ° (1) Здесь 1з н Кз — функции Бесселя пулевого порядка мнимого аргумента первого и второго рода соответственно. Предельные случаи: !) если 1=со, то 2уз Г 1.й ) Ке(из)-1з(ш) К.(Рз) г!а г, гг 3 (з(Ьз) К,(оз) — (е(аз) К,(Ьз) з а — потенциал внутри полубесконечной трубы; 2) при а=О имеем: )'п(2ж+ Ц 1 п(2ш+!) и р ~~! (п (2ш+ !) 1 2ш+ ! ипз =о!е ( Ь( — потенциал внутри цилиндрической коробки.
указание. Решение ищется в виде и=Ей(р) ь (г), для )1(р) получаетс я задача Р'+ — )~' — ЛЯ=О, Я (и) О, ! р и (р ф г) из сопз(, г и(р ф, г) и(г)=и,- Общее решение етого уравнения имеет вид !г (р) =А)„(Ь Лр)+ВК, (У$р). Условие Я(о)=О дает В= — А!е(Ь'Ла)/Ке(Ь'Ы). Дли 2(г) имеем 2'+Л2 = -О, 2(О)=2(1)=О, Л„=~(), йа(г)=п'п — "-г. 1 и (2ш+ 1) При предельном переходе ! -ь со вводим переменную з С 2я так что бз †. и наш ряд преобразуется в интеграл. 11у.
Температура в точке [р, г) внутри тороида равна и(р, г)=из+(и,— из) о(р, г), зде о(р, г) ипа(р, г)+оцз(р, ! — г), опз(р. г) — решение задачи 116 прв )гз 1. !!В. Если обозначить и(р, ф, г] стациоиарнуш температуру в точке (р, ф, г), то !) 2) 4!6 ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ 119. Х„9'Л~ь) зй УЛ (1 — з) Лю(уз(Улла)+Х,(УЛмЬ)) зьУЛ 1 (р е)-" )', " -, " .: ~.(р), где й (р)=х (Улыр)л' (УЛ л)-з () л о))у,(Ул,ар), Л„,— т-й корень уравнения ,(,( л„ ) у,(УЛ ь) Ф, (УЛ а) й е (Ул Ь) Решение.
Искомое решение краевой задачи 1 д г' ди1 д'и ди — =!р=!+ — =О, и!р р — — и!р ь О, и! ь О, и!,а=яр представляем в виде и (р, з) =Ей гр) д [е), где )с(р] определяется нз уравнения Бесселя ! д ! д)с1, — — (р — 'тЛЙ=О р бр( др) (1) с граничными условиями )!(а) О, Р(Ь)=О, а Х(з) удовлетворнет уравнению Е" — ЛЕ О н условию Е (!) О. (й) Из (1) находим Се (Улр)+сот* (Улр). Пользуясь условнямн прн р=а н р=Ь, будем иметь: к„(р)-у.(УЛ р) и.(Ул„л) — г,(У)„„о) ле(Ул р), где Лю определяется нз уравнения г (Ул о) з (Ул ь) лз (Ул„о) )у, (Ул„ь) ' Вычисляя, как обычно, норму собственной фуницнн )( (р) Ь ))1м( =~р~'(р)др, а получаем й,)й(УЛ вЂ”:) ц(УЛЬ).
з .ц (Ул„ь) Из уравнения (й) находим: зй УЛИ (1 — а) Ем (а) Аы зй УЛм( Функцию и(р, а) ищем в виде айУЛ (1 — а) и(р. )- '5', А К (р) - — ° Л У ЛИ! * т=1 «) См. гл. М1, й 2, задачу 27. 418 ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ При з=б, з=й, р=о должны выполняться граничные условия и=0. Решение ищется в виде ряда и(р, «) = ~~~„'Йщ (р) яп ™и г- й(ля )!т (р) получается уравнение (Р ! — Рт)!т= — — 6(Р) тп Рщьо= — !щ, РФ! Фl АР илт где рт = —, причем )(т(а) =б.
Общее решение однородного уравнении т ! имеет вид )( (Р)=А (а(р Р)+В К (рпяз). Варьируя произвольные постоянные Ат и Вщ иа,неоднородного уравненни для Дщ, получаем: Ат!о(рщР)+ВтКо(РпР) б, Ат(о (р Р)+ Втка (ртр)= — —. ° ° )т рт Отсюда находим: Вт )т!а (Ртр) (рщ (о(х) Ка(х) !о(х) Ко(х) Итб т 1 — определитель Вронского, равный В' — (х=р р), так что х Вп =Р(щ1о(ртр) Ат= Р)тдо (ртр). Определяя отсюда интегрированием Ат и Вп,.
будем имегы Аа! +В' К )+ +~а()а(рщз) Ка(РтР) — )о(Р Р) Ко(ртз))! (з) бз. а о где Ат н Вт — постоянные. Из условия (Вт(0) !.Ссо следует Вт=б, Условие при р=и дает: а о 1 Ат = — — 1 [!а (Дпщ) Ко (ирт) — !о (оРт) Ка (зРщИ з)т (з) бзп !а(аРт) 1 так что (Р) Ка (ир~) !о(ррщ! та ! (з ! з! ( ) пз и а + Ка (Ррщ ) ~ !а (зрщ) з(щ (3) г)з+ !о (Р!пт) зп Ка (зрт! з! т (з) бз, 419 гв, тидвиеиии эллиптическОГО типА или 4е (е (арм) Ка (рр ) — Ке (а рж) 1, (ррм) т(р)- „ и з)пр„д, так иак 4г Ка(авм)Фп(з)да= К мпрм( ~ Ке(авм)б(а)ба=0, ибо точка г=б лежит вне области интегрирования и а Т (Ч И ()б~- ( (р И ()4- — „р С~0()4- — аЬ~ж~.
в в Таким образом потенциал точечного заряда е, помещенного на оси цилиндра р«а, 0«г«и с проводящими стенками, представляется с пачощьв ряда и(р, г)= (» о)К ( й Р)-К ( — о) (~л Р) "~7 ) В пределе при а-ьсо получаем выражение для потенциала точечного заряда в слое между проводящими плоскостямн г=б н г=д: и(р, г) — х Кв ~ — р~) аш — в мп — г. ы=1 Совершим теперь предельный переход прн Ь-~.со, При этом получаем: и — Ка (р,„р) мп рмв Ип ригби-е — ~ Ка (рр) а)п рь юп рг др 4г т=1 Ю 2е р — ~ Ка(рр)(совр(г — В) — сгвр(г+ь)) Ир.
(1) а Принимая во внимание формулу Ке (рр) сгв рг бр = о 2(р +гв) Аи получаем для потенциала саедувщее выражение: Ура+(г+В)а 'г' рт+(г — ()г что совпадает с известным выражением для потенциала точечного заряда Иь 42О ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ в полупрастранстае. Чтобы получить из ()) потенциал заряда в неограничен- ное пространстве„введем новую переменную г' г — ~, 2е (' 2е Г и — ~ Ке(рр)саара'йр — - — ~ Ке(рр)онр(г'+2ь)бр» а е е е прн б» со. ) р'+ (г')з угр'+(г'+ 2);)з )' рз+ (з')' 12Е Потенцнал точечного заряда, помещенного и тачке (О, Ц внутря полубесконечной трубы р~п, г~б с проводящими стенками, на когорык подзерхгнвается потенциал, равный нулю, определнется выражением гр'и* — юг Угн +а ° 1 'ь > " 'а )22.
Пуси» заряд е находится в точке (г'. ф', Д внутри бесконечного кругового цилиндра с проноднщнми сгенкамк; потенцнал электрического поля, создаваемого этим зарядом, дается рядом а=ам=~ ч г('г шз где р~") — корень уравнения Га(р)»О, а — раднус цилиндра. Если заряд находятся на сок цилиндра (г'»О), та ч ('рч м 4е %~ (а / е г(( о~) Решение. Для настроения функции источника решим методом разделения переменных неоднородное уравнение Ьи = — 4лр (2) с граничным условием и(е —— О, где Х вЂ” поверхность цилиндра.
Прн этом мы будем считать, что поперечное сечение цилиндра — проиавольная область 3 с границей С, Пусть (ф„(М)) и (йа) — собственные функция н собственные значения задачи йр+йф О в 8. ф»О С, Будем искать решение в виде и(М, г)» ~ и„(з) ф„(М). и ! 421 ГУ, УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА Раэлагая при этом р(М) также в ряд, получаем: р (М, г) = ~'„, рл (г) ф (М). л=1 где 1 Г и-(г)-( — Р'и(М' г)ф.(М')(и . (флр 1 рл (г) — р (М', г) ф (М') дом, л Ил)а ~фл(М')дом * Иа уравнения (2) следует уравнение для ил (г) )~лил 4прл Ре ~ й) причем ил -ь О при г -ь + оо. Отсюда накопим: +' — 4%„~ — 1~ ил(г) 4п ~ р„(г)щ лл иля + ел ил(г) 4п ~ ~ Р(М', й)е " " )пм.
41 — РгЛ„)е-1 ~ ф„(М') 2Р )л Подставляя это выражение в формулу (3) и формальна меняя порядок сумми- рования н интегрирования, получаем: к~* ) Отсюда следует, что функция точечного источника равна ) л ( фл г Потенциал заряда е, очевидно, равен и 4пгб. Если цилиндр круглый (8 — круг), то ! [РЦ гР с (амл, 1л) г )„-) .„-ф), 1фл(Г (флипе 2 ели'~~л(Рдр')1 е ЮТЕЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ где ( 2 при » О, 1 при» чь0. 4. Задачи, требующие применения сферических и пилиндрических функций 123. Решение первой внутренней краевой задачи для сферы Ли=О при г (о, и[а а=[(6, гр) может быль представлено в виде ряда и(г, 6, ф) = '~) Я™')ге[6, ф), а=о где )га= ~ (А„асс»ар+В»ваш йр)Р„[сов 6).
а=о (2) 1 Г А — ~ )(6, р) и Ог[агвр„ 4» ~ 02»+ 1) (» — й)1 4,а= 2»(»+й)1 (6. ф)Р~~~)(сг»6)соз[зрашбдадр, »~0 ([6, ф) Р[а[[сгма) зш [арми аг[6 ьр. (3) (2»+1) (» — й)[ аа — 2 ( +й)1 124. Решение первой внешней краевой задачи для сферы ли=о при г~о, и~ =((6, р) представляется ридом и(г, 6, ф) Р [ — ) )'а(6. Ог) а О га а -,'~ ~)', ( —;)"+' (Д.
4+Вал йф) Р'."'[ 6). «=за=О где г( ь и В„з — козффициеиты, определяемые йюрмулами (3) задачи 123. 123. а) Решение второй внутренней краевой задача для сферы да[ Ьн 0 при г~а, — ~ ')(6 гр); д»!г =а Подставляя зги выражения з формулу для О, получим решение задачи в форме [1). Аналогичным методом может быть найдено решение задачи о то. чечнгм заряде внутри цилиндра 423 1ж уРАвнения эллиптиЧЕСКОГО тнпя ) (6, >р) — функпия, удовлетворяющая условию тн я ) ~ )(6, >р) вш бдбд>р=О, имеет ввд чт г" и(г, 6, ф) = '1 — „у'„66, >р)+сопя(= «=-1 и гч 7 — „, (А з сов й>Р+дзз в1п В>Р) Р(з! (совб)+ сопв1, э.=>З--Е где А„ь и В«з определяются формулами (3) задачи 123.
б) Решение второй внешней краевой задачи для сферы ди! ди 1 ь«=О при г~а, — - ~ =)(б, >р) или — — 4 )(б >р) дл ~г= — а дгг=« (л — внешняя нормэль) имеет вид аз+3 «(г, б. >Р)= 7 „У'„66, 6>)+сонэ(. Для частного случая ) (В, >р) = А соз В получим: Уи(6, >р)=О при л~-1> Ут(6, р)=А 6, и (г, 6) = Аг сов 6 (г С а), Аа' и(г, В) = — совб (г) а). 2гв !26.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
