1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d (846319), страница 64
Текст из файла (страница 64)
и ) ф (у). и ) -2 (у) ° ОТВЕТЫ. УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ удовлетворшошие условвям 7(0) ф (О), /(а) )[[О), »[(Ь) ф(а), <р(О) ф [Ь), зЬ вЂ” у зЬ вЂ” (Ь вЂ” у) а а ф» „„+1. па ттл а а и(х, у) па 5[п — х+ а гй — (а — х) +ф зЬ вЂ” а Ь з[п у +и» [х у) Ь па Ь зй — х пл зЬ вЂ” а Ь где ~р», т[», )[», ф» — козффициенты Фурье-функций а[х) р[х)-и,(х, ЬЬ [[х»-)(х) — ц,[х, О), ф(у) ф[у) — и,(0, у), 2(у) )[[у) — и,(а, у), равные Функция и» (хг у) А+ Вх+Су+[тху где [ (а) — ) (0) ф (Ь» — ф (О) [ф (а) — ~р (О)) — [[ (а) — ) [О)) аЬ Решение.
Требуетея найти решение уравнения их»+идя О внутри прямоугольника 0 Ех(а, 0(у СЬ, удовлетворяющее краевым условиям, причем в силу условий краевые значения функции и(х, у) непрерывны. Представим искомую функцию и(х, у) в виде суммы и(х, у)~из (х, у)+о(х, у), где и [х, у)-гармоническая функция, выбираемая так, чтобы функция о(х, у) во всех вершинах прямоугольника обрашалась в нуль, а в остальном была совершенно произвольна. Полагая из(х, у) ыА+Вх+Су+[)ху, мы видим, что зта функция гармоническан; козффнциенты А, В, С и О выберем в соответствии с указанным выше условием для о(х, у).
Гармоническая функция о(х, у) удовлетворяет краевым условиям о( „, [[х), о[ „ь тр(х]. о[„з ф(у), о)х т(у), причем функции [, <р, ф Е обрашаются в нуль в вершинах прямоугольника. Функцию о(х, у) моясно представить в виде суммы четырех гармони. ческих фуша[ий, йюкдая из которых принимает заданное значение на одной а 2 Р» гтл та — [ (х) з[п — х г[х, а~ а е 2 Р- ттл — ф [у) з[п — у ау, Ь~ Ь » 2 т па ф» — р [х) з[п — х г[хг ь 2 Г-, пл Т - — йе х[у)ып — уау. Ь ~ Ь нл уравнения эллиптичесКого типа из сторон и обращается в нуль на остальных трех сторонах, Найдем одну из таких функций о(х, у) из уравнения оь»»+о,ха- 0 при краевых условиях И)а-е=о, И!х Ь=ф(х) ох)» з,а — О, Полагая о,(х, у)= Х (х) У (у) и подставляя зто выражение в уравнение, будем иметы Х' У вЂ” = — — = — Л. Х У или У вЂ” ЛУ=О, Х" +ЛХ=О.
К последнему уравнению следует присоединить условия Х (О) О, Х (а)= О. Решая зту краевую задачу для Х(х), находим собственные функпии лл Х„(х) = з)п — х, а соответствующие собственным значениям Из уравнения н условия У' — ЛУ = О, У (О) = О, являющегося следствием успения от(х, 0)=Х (х) У (0) =О, находим: Ул (у) = А» зй — у. лл Решение задачи ищем, как обычно, в виде ряда пл, нл ох(х, у) У' А„зп — у мп — х, а а »=1 Условие при у=Ь дает~ 'т» Аз= —, ил з)г — Ь а так что з'и — у п.л пл И(х У)= 7 ГР» — мп — х, нл а ь — ь а Теперь уже нетрудно написать общее решение нашей задачи, ОТВЕТЫ.
УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ 94. а) Еелн заданы граничные условия и „)(х), и(„~=ф(у), и„1„=ф(у)„птах-ь=т(х). причем ! (О) ф (О), ьь иОК д) ~(0)+ г' ~ 1, гг (2 1, ~г)асЬ вЂ” !2п+!)(Ь вЂ” д)+ д ~сЬ вЂ” (2п+1) 6 .о + ьЬ вЂ” (2п+ !) у ~ ° мп — (2ь+! ) х+ й (2п+ !) 2а П ! Г и ~фпсЬ- (2п+ !)(а — х)+ сЬ вЂ” (2п+ !) а 2Ь фп ьЬ вЂ” (уп+!) х| мп — (2п-(-!) у~, где(а, фп, ф„, дп — козффнпненты Фурье соответствующих функпий, прнчем 7(х)=Г(х)-)(0), ф(х)=ф(х) — Г(0)„ф!О) Г(0) О. 6\ Есле заданы граннчные условна и!тд=г(х), и!т ь=.ф(х) их!х.о-ф(у), их~к-а-Х(у).
то решение уравнения Ли=О имеет внд ! Г пп ! пп и (х„д) = у — !)и ьн — (Ь вЂ” у)+ф„ьн — у)1 в --х+ ьЬ - — Ь а 1 и Ь Г пи ип ! . лп + и 1, ~ 6 р„сЬ вЂ” х — ф„сЬ вЂ” (а — х)~ мп — у . на ьЬ вЂ” а Ь пу 2!' Ь и (х, у) = — агс!Е 5Ь— Ь Решен не. Метод разделения переменных прнводнт к частным решениям — — к — х! ип(х, У)=(Апе +Впг ! зкт — У. Ь Из ограннченностя решения прн х-ьсю слелует. что Вп О. Составляя ряд АГ~ и„н удовлетворяя краеному условию прн х О, получим: ч 1 (ем+ Н и ь!и у (2пг+ !) и и(х, у)= — ~~ в м ь ГШ УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА Этот ряд нетрудн просуимировать. В самом деле, о (тм+ ~)Я МП вЂ” ЛУ 2ш+ ! Г Ях Яае тм+! — к ь Яч ~е е ь Ь~ ОЭ !1= '~ е — — = 1гп 2ш+1 л' е 2ш+! „=-о -о Полагая ег! Яа Ье Ь н учитывая, что Х 2етш 1 1+ Д вЂ” = — 1п —., 2т+! 2 1 — У' [3) будем иметь: 1 ( — — ) тлх ях Ь (;2е ь ей1 ." 'Ь у! 1ш — 1п яь еегх ь Омпи+» ь Ь ь пу ь „~ )( а(п — агс(2 2 агс1я В атом случае и(х, у)=-- агс(я —, 2У у л х ЛУ ЛУ 96.
и (к, у) = — агс(Š— + — еу — — е агс!2 =Л ~ ЛХ) Ь Л - ЯГ ') аи — ) Ь еь +осе'. ЛУ ь Предельный переход при Ь-ьсо дает: и (х, у) — агс !ц — (х та О, у ) О). 2У у к а' к а з а'и и е, Исномый потеипивл удобно представить в виде суммы и(х, у)= — +из(х, у)+и (х, у), уеу Ь (2) где ие (х, у) — решение задачи Об, а и (х, у) удовлетворяет уравнению дие О в области х) О, О -у(Ь и условиям уеу из!с е 'Ь ° ие(ь-е ь откуда и следует формула (1). Заметим, что с помошью предельного перехода Ь -ь со из (1» сразу получает~я решение уравнения Лапласа для четверти плоскости при краевых условиях и(х,,=у, и!хе=О.
ОТВИТЫ. УКАЗАНИЯ И РЕП!ИНИЯ Перное слагаемое в (2) означает потенциал полн е плоском конденсато«с. Определяя отсюда из(з, у), мы приходим к рнцу — лл ОЭ е ь з!п — д из (к, у) — 1~~~ 1)„! л л ! аналогично ряду (2) задачи Об. мп хай у л «2и'+') и " (2т+ ') 2т+1 л (2т+ !) 41/ Ь Б?п у зй л (2т+1? л (2т+1) Ь (а — к) л ~~,~ 2т+ 1 л(2т+ !) т=е зп который суммируется Предельный случай и-~-им прн а-~.со. и,(к, у) прн у<й, и(х, у) и,(к, у) при й<у<ь, где !'! (к у? ~ Але " ! л (у) з?п р Х„д )У()л йл й л(у) .
—" ° ип д ).л (Ь вЂ” й) л=! из(к, у)= ~~Р А„з л ге(д) л ! е! + е, )у)з)')и ~а!и р Хай мп угу„(Ь вЂ” й)~ е,й,(ь-й) 2 апзь'Хлй 2 мпз$%„(ь — й)' Ал — Л-й КОРЕНЬ тРаНСЦЕНДЕНтНОГО УРаВНЕНИЯ „с!УР"Лй+з, !2 )!Х(Ь вЂ” й?=О. (2) б!з (з угаб и) О, где -( е, при у<й, п й<у<Ь, и граничным условиям и, О при у=О, из О при у Ь, и! у прн к О. «и! прн у<О, Решение. Требуется яайти функцию и=ч( непре- 1 из при й<у<Ь, рывную а области к)0, О~у<Ь, удовлетворянм!ую внутри области к»О, О <у < Ь уравнению гч.
ураннгния эллиптпчнпкого типа Гглп учесть, что а кусочно постоянно, то длн и, н иа получаем ураане. няз Л1, =.О, биа О, а нв границе разрьща у й и, в иа должны удовлетворять условням сопряжения дит диа и,=им е, ав — при у й. ид ду Полагая и (х, 9) Х (л) Г (у), нз уравнения (ви„)„+(еи,)„=О получаем после разделенна переменных дг") ду( дд ! — в "- +зЛг'=О, Х" — ЛХ=О, У(О)=О, У(Ь)-О.
Учитывая разрывность а, будем иметь для ут(у) пря 9(Ь, 1'(9)- у (9) прн а(9~9 условии У'"+Лг'=О, Т" +Лт О, У(О)=О, )'(Ь)-О, Г(д) у'(й) У уф ю)ч ((г) Решенне втой задачи ищется в виде — э1п р'Лу =- ип д Л(Ь вЂ” у) )'(у)=, )'(у)= . оггчг " Бтти-'ч' Подставляя зтн выражения во второе условве сопряжения, получаем харзктернсгнческое уравненле для определенна Л: , С(й)~Лд+Еа С(й)ГЛ(Ь вЂ” й)-О. (4! Пусть Л„Лэ, ..., ˄— корни этого уравнення, 1'„1'„..., Гч (9) — соответствующее собственные функции.
Из общей теорнн задач на собственные значенна ч) следует сущестаовзнне счетного множества собственных значений (Л„), которым соответствуют собственные функция (да (9)), образующие ортогональную с весом е(у) систему функций ум(д) 1;,(у)е(у) ду=О при щ~и, нлп а ь а,~)Г (9)Г„(д)ду+з,~У (у)г„(д)99=о прн щ Лп. Для нормы собственной функпнн ',Уа( получаем: Ь а Ь () (э=) 1'а(9) а (9) ид=ег ~)ч (9) 99+аз~ гл (9) г(9.
д ) См. [7), гл. 11, $3, п. 9. ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ М РЕШЕНИЯ Вычисляя втн лнтегралы н учитывая уравнение (4) для Ха, находим: е,Л ез (Ь вЂ” Ь) (б) 2 з(п Угу„Ь 2 Ь з )/Х„(Ь вЂ” Ь) Козффнцяенты разложения некоторой функцни / (д) в ряд по собственным функцянм );,(д) определяются по формуле Ь 1 = —. т /(д)Уа(д)а(ИАд. !) лпе ) е Из уравнения (3) находим: — . Х Ха (л)=А» Общее репкнне задачи имеет вид и(х, д)= ~~, 'А„е " У„(е — )/~,„ а ! Для определения А„используем условие прн к=0 У= ~', А„У„(д). «=1 Отсюда а !) а '9( У Х„)У,(а(а!и Ь/)(„6 а(при„(Ь вЂ” Ь)~ 99. Потенпнал электростатического поля равен зЬ )' 'Ае (а — х) 5(1 )(» и и=! У„(д) прн д ( Ь, а (д)= У„(д) прн Л~9(Ь, выражения для У„(д), А„н квадрата нормы даки в ответе к предыдущей задаче 99, Ха †коре уравнения еч(9)/ИЬ вЂ” Ь)+аз(ЕИ,И =о. Предельный переход прн а-ь со дает решение задачн 96 пеа ,'а = ш яез' так как ай )/Аа (а — х) — Г' Ай а ((щ и =е е са зп) А„О У к а а а н и е.
См. рещение задачи 98. гу уРАВнпггия эллггптггчпскОГО типА 100. Напряжеииосгь злектрического поля Е= — йгаа и, где и — потеггкггаа, равный (.; иг(х, д) при (Ь. и(х, д) и (х, у) при Ь(д(Ь. Г (2Ь+1) 6 „[2Ь+ !) Ь л,~,~ л (2«+ 1) л(2Ь+ 1) „ «=о ег [0 (Ь вЂ” Ь)+е [Ь гг (2Ь+ 1! з[г — — ч Х . л(2Ь+ 1) з[п — х, [2«+ 1) зп Ь 4д %) Г л (2Ь+ 1) иг (х, д) = — - 7 ~з[г д+ л з"„з ( а «-о + ! '" [Ь л(2Ь+1) Г [[г ' (2Ь+1) Ь Г 11 г (2Ь+1) Ь Х [Ь л (2Ь+ [) ( Г, + л [2Ь+1) Ь а и гг(2Ь+1) х Х „л(2Ь+1) Ь (2Ь+ 1) з[г указ а иие. де[пение ишется в виде и(х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
