1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d (846319), страница 61
Текст из файла (страница 61)
"а Если свободных зарядов нет (Ч=О), то е,( — ) =е,Ц Рис. 45. Выведем формулу для поверхностной плотности зарядов на границе раз- .дела двух сред с диэлектрическими постоянными е, и зз (рис. 46). Из уравнений Максвелла следует: Е'" — Е™ = 4по. ча аа Рассматривая бесконечно малый элемент дБ, мы будем иметы Еа' Ъо+Е'а', Е'м — Ен' 2по — Е ":", аа ча — аак где Е<о и Е™ — предельные значения в точке М границы Е проекций некто. ла аа ров Ец~ н Ена на направления внутренних нормалей и, и пз, а Е„'" — значе ние Есо в точке М, т. е.
на самой поверхности. па Из второго условия сопряженнч е, (2по+ Е и)+за (2по — Е а') =4пт! получаем: о= 2а! еа — е, + . Еан е, +з. 2п (ег+е,) "а ' Если истинного заряда на поверхности нет, то и — ЕИ1 е,— е, 2п (е,+за) подс4авляя сюда значение е„'н на поверхности 8. можно определи 00. Если заряд находитси в точке Ма(з. ть ь) полупространства аЗ 0(~~0)а .то е /1 е,— еа 1! и ( — —,) прн з)О(е з), е, (г е,+ее г,') ла Ъ 1 при а 0 (е еа), е,+ез гз ТУ.
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА га ММ )/(» С)о+Ь т() +(а Ь)а ММ„'-)((л-ЪР+(Р- У+(е+(Р. Иа формулы ()) видисз чтО пОле В Области с лнвлектрнческой посто!анной ва такое, как будтй все пространство ааполиено дивлектриком ва, в н отраженной точке Мо'(йд™,— (',) находятся добавочный оаряа еа-а, е' — в.
в, +е„ Поле е области а, совладает с полем заряда 2ез о" — е, в,+ег иаходяшегося в точке М„если среда одиоролно я а е, Плотность поверхностных вар ядов, индупироваииых на границе г О равна о е„—. 2азга У к а а а н я е. Решение следует покаюсь е виде е ! е'! + аа (2) Е, Га Е,то'а яа ег ! (з) ез го ГДЕ Е' И Ег — ПОСтОЯПИЫЕ, ПОДЛЕжаШИЕ ОПРСЛЕЛСНШО. ОгСЛОВИЯ СОПРЯжсинв ди., ди, и, и, вз — *е — при.- О дг дг 2е, , ег — е„ ез — о, еа — е. а+в, ' е+е, Плотность поверхностных зарядов равна о Ео гт 2и гез + Сз] з' ' Где Еаа",— первичяое поле заряда е при о О. находяшегося в Мо, равное ЕзгандЂ с о Га Ф Р (х-б)'+(Р— П!'+ьо. Иэ Формул (4) и.(б) следует: и ' е — е— и + е2, еой„а Суммарный аврал, лнлуцированеый иа плоскости г О, равен аа — е, ео .я орг(р е.
ОТО ОТВЕТЫ. УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ и Фа! (всюду в слое ОК«(й), где )/«' + ц'+(г — Гзг, гп — — )г«г+рз+ (г — (2пд+ьг))г, г' = Ухе+ р'+ )г — (2 Ь вЂ” И', /„хп1, г' = )/««+ уз+(г+ ~)г, к=- —, !и'~1 о,— ог и,+о,' Если ( О, т. е. источник находится на пласности г=б, то г г,' и петена шиал равен / 'Ез 1„ и= — + — г 2ип,г 2иог х~г г„' в сО (пШС! где га — — Ргхз+рг+(г — 2пп)г» г гГ««+из+И. Плотношь тока прн г-О равна к/ ! +ы Х «/л (рз+ 4пздз)'/з ' у/ 1 вз р/ Жр~+2и,йг (рг+4пЧР]'б' бгкавание.
Требуется решить вадачу Ьи, О Ли«=О при О Сг(/з, п!зи г) /з, и, =из. ди, дя, оз — = о,— з дг дг при г=/з, 1 ! прн г-~б, при г =О, к чь О, у чь О (г ~ О). — =О дг М ъ леднев условие означает, что отражение в плоскости г О будет четным. ри отражении в плоскости г=й надо воспользоваться методом решешш .аадачи~™бп. Следует учесть также, что для построения решения в слое бе-г, ° ь./з нет необходимости вычислять решение в области г) /г. б!.
Потенпивл влектрического поля, создаваемого источником тока 1, помещенным в точку Ме(О, О, Ь), ранен ОУт ЪЧ УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЦЕСКОГО ТИПА ди, 1 Чтобы удовлетворить краевому условию (- — ~ =От), необходимо помедг ~(а=а стнть в точке М(9 О,— Э) источник тока А Чтобы удовлетворить условиям сопряжения при г й, теперь необходимо поместить в точки М(0, О, 2А — Г) и М (О, О, 2а+ь) источники (,=нА Но этим мы нарушили условия при г=О.
Чтобы удовлетворить условию при г=О, необходимо в точки М (О, О,— 20+~) н М(0, О, — 2д — (,) поместить источники тока 1,. Но этим мы нарушили условна сопряжения при г=й. Продолжая этот процесс, мы сможем удовлетворить всем граничным условиям лишь с помощью ряда (44).
Абсолютная и равномерная сходимость этого ряда, а также Х и производных рядов, обеспечивается условием (н(~1. Пользуясь формулой ( = — и цгаб и, нетрудно найти составляющие плотносгн тока при г=О. 62. 1)отенциал над нлоско- Рис. 46. стью х, г (у ~ 0) равен сумме потенциалов самого заряда е и его семи иэображений, расположенных следующим образом (рнс. 46): е в точке Ма(ха, уа, га), — е е' в точке М',(ха. — Уа, га). — е -се в точке Ма(саха, с'у, с.га), — сг' са в точке Ма( — с'ха, сгуа, сага), ге' в ючке М,( — х, у, г,), в точке М; ( — ха. — Уа.
га). в точке Ма(саха. — сау(ь сага) в точке М.', ( — саха, — сауа сага)а и е,— еа с —, е' — е Ь ' еа+гч Потенциал в диэлектрике при У~О можно получить, используя только изо. бражения в области у) О и подставляя вместо е заряд 2е, е,+е,' (а 11 11 оа-п, (а (1 11 + ~/+ — ( — + —,1 при у О, 4пиг ')га г',/ па+па 4ни, '(г, га/ 63.
Потенциал электрического поля, сгедаваемого точечным источником тока, накодвщнмса в точке Ма(О, -Ь, г), мощностью Ам Равен Отпиты, ккдзания и рнп1нния Плотность тока прн у О, ( О ото 1в в онов)в 1О, -)- Ов)М И» )а ' в (а~+От) Н Р~ ) ) гов в р о )/рв ) Ьв рв хе+ге 1о, +о,) и )св ' 64. Потеипяал поля вне сфер равен где с„и е'„— варяды, величине кснорых определяется по рекурреятным фср мУлам а с — р,в+, а с-)йа+1 аввы - — — ева-в, сев+в — — т — -евв, рвв-~ Ь ртв».1 а с — р~+~ 6в+ ~ ° тв — ы сев+-.
' 6в. Ь р', ' -' !в Эти аарнды находятся в точках (рнс. 47) Мв(рс, бв, чч) и Ив(р», бс. 4е), Рис 47. где р а р„' определяются рекуррентными ФОРмулами кя — Ь") р — авс вв-х рных ср — ав мв-в ав (с — р Рва+в с(с — р ) — Ь" ва ав (с — рв„) Рва+ а с(с Р' ) Ьв ° 1У. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА причем »-») — Ф 1 — »» — и р» с — р» с р а Ь «Ь ев е, с» — -е, с',= — е, е, е, рв * ' с — рв' ср» — а' »»'»» — ь», где пл — угол между ОМ„и ОМ„, Π— начало координат, ̄— место источ- ника, М» — точка наблюдения.
$4. Метод разделенна переменных 1. Краевые задачи дл» круга, кольца и сектора 66. Если на границе круга ршшуса а искомая функция и ~р а=) [»р), то и(р, »р) — + у ~ — ) (А»сова»р+В»в)пиз») при р(а, [1) »= 1 где А, В„-коэффициенты Фурье функции 1 [р), равные 1»" А» — ~ р[»р)совпрйр 1 à „— 1 )(»р)мпарйр (л О, 1,2,...), [л 1,2,...). Из формулы (1) можно получить интегральное представление для решевия первой внутренней краевой задачи для уравнения Лапласа внутри круга (формулу Пуассона) 1" ав — рв (р ч) 2— „в+в 2 ( 1[ф)(Ф (3) 1 дг ди1 1д⫠— (Р— )+ — — -О внутри етого круга и граничному услонию (б) «!р- =)[»р)» гдз 1' †заданн непрерывная функции.
Решение. Требуется найти функцию и(р, »р), непрерывную в круге О»йр ~а, удовлетворяющую уравнению ОТВЕТЫ. УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ Задача решается метспом разделения переменных (см. [7), гл. 1У, й 3) Решение ищется в виде суммы и(р, р) ~ ил(р. ф). л-о еде и„(р, р) = Йл (р) Фл ( р), Ф.(ф)=( „.„~' Рл(р)-~'„~ и(р, ф) — л+ у ~ — ) [А„осе лф+В„з!пер). (О) л=-1 Пользуясь краевым условием при р=а, приходим н (1).
67. а) Решение второй внутренней краевой задачи для круга рл и(Р, ф) = Ч Р (Ал соз еу-(ьВл ми шу)+Сы б) решение внешней задачи цз ольг и (Р, М= — Ъ вЂ” (Ал ф+В„Мп жр)+Сз, лрл л=! где С, и С,— пРонзвольные постоЯнные, а — РадиУс кРУга, Ал и „— кокай. ди ~ фицненты Фурье функции /Ор)=-к-- ~, с — направление внешней нормали сч ш л к рассматриваемой области.
указан не. в) Требуется найти функцию и(Р ф), непрерывную в круге О~р=.а, удовлетворяющую уравнению Ли=О внутри зтого нруга и граничнсв~у условию — -Ир) дч (р л зл на его границе прн р=а, а ~анже условию ~ ) Ор] дф= О. (2) где а — радиус круга, Ал и Вл определяются по формулам (2) задачи Об. У к аз а вне. Требуется йайгн функцию и(р, ф), удовлетворяющую урав- нению 1 д 1 ди) (дзи — — ~Р— ) + — —, 0 вне круга, р др ~ др) рз дфз краевому условию и ',с л — — 1(~р) н усзовню ограниченности при р -« с , Решение ищется методом разделения переменных Из условия ограничен- ности на бесконечности следует, что Се=О, и мы получаем частное решение в виде /о (л ил (Р. Ф) ~ — ) (Алсос и(р+ Вл з)п жр). Р Общее же решение дается рядом (р* ф)= Х ил(р* ф).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
