Главная » Просмотр файлов » 1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d

1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d (846319), страница 57

Файл №846319 1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d (Будак, Самарский, Тихонов Сборник задач по математической физике) 57 страница1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d (846319) страница 572021-08-19СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 57)

У к а з а и и е. См. задачу 9. 11. В среде с переменной проводимостью о о(х, у, а1 для потеипаала электрического поля постоянного тока имеет место ураввеиие д(ч (ойгаг(и!=0, Если Š— поверхность разрыва о, то ди, диа и, им о,— =а,— на Е; ди дл второе условие озвачает непрерывность нормальной составляющей плотиости тока на поверхности Е; (тз гт„, посколькч У к а з а и и е См. Задачи 5, 8, 9, 10. Учитывая ссютношения Е= — Егад и, / оЕ, д(ч г-а, получаем: д(ч (ойгад и1-О Услсаия сопряжения выводятся по аналогии с задачей 9, ГУ.

УРАВНЕНИЯ ВЛЛИПТИЧНСКОГО ТИПА Козффициеит злектро- проводности а Плотность тока г'= — о йгаб и Влентрическое поле постоян- ного тока Температура и Козффнцнент тепло- провоаности А Поток тепла 9 — ййгад и Теплопровод- ность Козффнпнент анф. фузни В Концентра- ция и Поток аешества Е- — Вс б Диффузия Вектор злектрнческой индукции 11 еŠ— з ага д и Вмектросгатнкв Потенциал электрического поли и Днзлектрическая по. стоянная е Потенциал магнитного поля и Мзгиатная проннцае- моль р Вектор магнитной индукции В= — р йгзд и Магнитостатнка о= агади Потенцнал скоростей и Потенциальное течение несжи- маемой жидко- сти Во всех случаях функция и удонлепюряег уравнению Лапласа.

Укаа анне. См. предмдушие задачи этого параграфа и такжей1 гл. П, задачу 49 Замечание. Если на некоторой поверхности Е, константы о, й, Р, е илн р терпят разрын, то на Е, выполняются условяя сопряжения, которые ьюжио представить в виде ди, диз и, ии р,— р,— на Вм да дл где и †иском функция, а р †од из.параметров о, А, О, е, р; цифры 1 н 2 соответствуют предельным значениям рассматриваемых величин на равных сюроиах поверхности Зд при етом б!т (рйгзб и)=0. 2 2. ПростЕйшие аздачн для уравнений Лапласа н Пуассона Значительная часть решений задач этого параграфа либо обладжт круговой вли сферической снмметряей, либо очень просто зависят от угловых координат. Напомним вырюкеаия для оператора Лапласа: 1] в полярной снсгеие координат 12. Следуюшая таблица устанавливаег полобие перечнсленных в условен полей ОТВЕТЫ.

УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ 2) в сферической системе координат 1 дг' ди( 1 д1 ди1 ! д'и йи= — — !(га — )!+ — !(ай! б — )!+ —. ге дг( дг) геыпб дб ( дб) ггипаб дфь' 3) в цилиндрической системе координат 1 д / ди1 ! д'и дти дчи би= — — ~',~ — '~+ — — + — -баи+ —. р др 1 дрг' ра дфа дна дат' При решении некоторых задач следует принять во внимание, что уравнению Лапласа дан=О удовлетворнет полинам и= А (хт — у")+Вху+Сх+()у, где А, В, С, Π— произвольные постоянкые.

1. Краевые з ад ачи для уравнения Лапласа 13. а) и=А; А А б) и= — х, клн и= — рсовф; а а ,в) и=А+Ву, нли и=А+Вр ниф; А г) и=Аху, или и= — рва(пуф; 2 В В д) и=А+ — у, илн и=А+ — р а1пф; а ' а А+  — А А l рт е) и — — + — (хт — уа), нлн и= — 11 — — сов йф)+ 2 2а' 2 ое 2 ( ае ф)' у к а з а н и е. При построении решения следует учесть, что х, у, ху, хт — уа ы нх линейная комбинация являются гармоническими функциями. В правильности решения следует убеждаться непосредственной подстановкой найденного выражения для и в уравнение 1 д l ди1 1даи и„+и О, илн — — !р — )+ — — О р др ( дрг' рт дбл и в граничное условие. Проиллюстрнруем приемы отыскания решения на примере 13 б).

Перека)(я ют переменных (р, ф) к переменным (х, у), перепишем граничное условие в виде А и — х. а ~Отсюда видно, что искомым решением являетсн гармоническая функция А А и (х, у) — х иля и (р, ф) — р соа ф а а !4. Задачи 14 а) и 14 г) посгавлеиы неправильно, так нак в случае второй ж веной задачи р ди ) ди О,— должно выполнятьсн условие ~)д -О. б) и(х, (у) Аах+С илн и\р, ф)=Аарсоаф+С, в) и — а(ха — уа)+С или и(р, ф) — ар сгжйф+Са А 2 2 ГУ, УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА д) и (А+0,75В)у — ' (3 (х»+у») у — 4уз)+С, 0,25В или В и(р. ф) (А+0,75В)р»1пф — рзвпЗф+С. Решение второй краевой задачи, как известно, определнетсн с точностью до врон»вольной постоянной С.

Указание. Остановимся лишь нз решении одного примера, например И б), в котором дано Функция и=()х илн и=бр пнф является гармонической. Дифференциро- вание по нормали совпадает с дифференпированием по р. Требуя, пабы она удовлетворила краевому условию при р а, находим П=Аа, так что и (х, у) =- = Аах нли и(р, ф) =Аарсозф. В примере 14 д) следует разбить ) на даа слагаемых: )=)»(ф)+)»(ф). », с» з1п ф, )»= 5 мп Зф, и искать решение в виде «=)(»(Р)6 (ф)+В (Р)(»(ф) 15.

а) и (р, ф)= А. Аа а) и(р, ф)= — со»ф, Р Ва» в) и(р, ф) А+ — з(пф, Р 1 а» г) и (р, ф)= — А — мп 2ф, 2 р» д) и(р, ф) А+ — зш ф, Р А+В А — В а» е] и(р, ф)= — .— созйф. 2 2 р» Указание. Перейти всюду к полярным координатам. Если граничное условие при р=а имеет вид и ~р а='Азсоз йф, то искать решение в виде «(р, ф)=)7(р)со»уф, »де )г(р) — функпия, удовлетворяюшая уравнению р»)("+р)( — й»у=о и следуюшим граничным условиям: )7(а) Аз, ()7 (со) ! (со.

16. Задачи 16 а) к 16 г) ие имеют решения„так как не выполняется условие ди — а»=0. да б) и(Р, ф) — — созф+соп»1, Аа» Р Аа» а) и(р, ф) — совйф+со»в1 2р» ОТВИТЫ МКАЭЛННЯ И РЕШЕНИЯ д) и (р, (7) (А+0,7ЬВ) — з)п ч+ О,Ы — з1п 22»+С, р ' йрз 1п— Р а !7. и и(р)=*«,-1 (и — и,) —. Ь ' 1и— и, Емкосп едивицы длины циливдрическсао коидеисатора разве 1 С 1п— и Указание. Так как граничные условия ие зависят от ф, то и решение должио обладать циливдрической симметрией, и и(р). Емкость С проводиика, ограиичеииого поверхиостью Е, определяется выра жеинем 1 Рди С вЂ” — — дг для трех измерений 4«из ~ ди 1 гди С вЂ” — ~у — »(з для двух измеревий, 2«из $ дл с где из — патевциал проводвнка, 1.— контур, ди Вл ди — нормзльиая саставляющаи вектора электрическою поля.

«(р т) или и (х, у) — агс12 —. из р а х' У и а в а и и е. Записывав уравиеиие Лапласа в полярных координатах д 7 д«1 1 дзи д»и — — р — )+ — о, р др 1 дрт' рз д»рз видим, что функция, линейная отиосительио»у, является гармоцической фушг, цией.

12, и (х, у)»)»»+ ' згс(й — „° (1) Сравиеиие (1) с решением задачи 13 показывает, что (1) соответствует частжвзу случаю и и формулы (1) в задаче 18 а 20. а) и» из, б) и и(г) — из и,— и» /1 21. и иы) из+ 1 1 (,г Ь/ а Ь тт. МРАВнения вллиптическОГО типА 1 Л/ Фц! Указание, Решение уравнения Ди — у — !(гз — ) О имеет ввд ц г д 1 д ) ° и(г! а+ —, где а н й определшотся вз условий и(а! цз, и(Ь1 и,. й 22.

с- — ', . ! ! а Ь Указание. Учесть, что в присутствии швлектрика плотность поверхиосгиых иерихон равна 1 1 ди о = — Вз — — е —. 4п ап ди' 23. Емкость сферического конденсатора равна 1 е /! 11' + ~ — ) а с е (Ь с) Р е ш е и и е.

Требуетса решить краевую аздачу /(и,-О при а<гСе, бит=О при с~г СЬ, зде и, и из удовлетворяют при г =и и г=Ь граничным условиям из! 1. и ! з О и при г с — условиям сопряжения и,=ц „ ди, дцз ез — зз —. дг дг ' Четыре козффипиента А,. Аз. В,, Вз определяются нз двух граничных условий при г а н г Ь и двух условий сопряжения при г с. В результате получаем: /1 !1 е, /! и, !+Аз! — — — ), из — Аз!1 — — — ), (г а)' зз '(г Ь)' где 1 1 ез/1 11' 1 а с г (Ь с) Емкость вычисляется ио формуле С = — ~ ~ ( — ) азЖ вЂ” з,аз( — ) =Азез.

ч1бшее решение имеет вид и (г1= из- + Аз ори а~г~с А~ В, из= — + В, при с~г~Ь. Г 352 ОТВЕТЫ. УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ 24. Требуется найти решение краевой задачи !д/ ди) б и, — — (р — »1=0 при а(р-цс, р др(( дрУ' ! д ( диз) б н — — р — 1 О при с(р(Ь» р др'( др/ и =1 прнр=а, из О при р Ь, ди, ди, и, и, е — =е — прн р с. ор др для емкости получаем выражение е, 1п — + —" 1п— а е с При ес сз а имеем: е С Ь (ив й Указание.

Решение ищется а виде ит А 1пр+Е; из= В1пр+(). 25. Потенциал поля равен ! + су— н= ее ез прн а(г~с» е» вЂ” ез 1 — + а ез с е, 1 и=из ез г при г)а. е,— ез 1 — + —— а еа с Частные случаи: и 1) при с-»-со получаем и=из — при г)а — потенциал поля сферы г радиуса а, заряженной до потенциала из и накодящейсн в бесконечной однородной среде; 2) прн ез-» со (среда 2 ндеально провсдащан) 1 1 г с нз 1 1 — ° если с~~ (с а с О, если г>с; 3) если е, ез, то и и — (г~с) (ср.

со случаем 1). г Указание. См задачу 22. Учесть, что на бесконечности функция н должна обращаться в нуль. 26. Влектростатнческое поле Ь вЂ” атас и, Пг.'УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА где и — потенциал, равный Ь 1п —. «=и (р) =и, Р ь 'ив а И. Решение зависит только от переменной а и дается формулой а и и(а)=иг+(иь — иь) —. Ь ет 4++-'2 (Ь-Ь,)~ е, 23. Искомая гармоническая функция зависит только от перемеиной рг и и, +(иа — иг)— Д Ь Ук ав а и н е. Решение искать в виде гармонического полииома. 2.

Краевые вадачи для уравиенвя Пуассона 1 и — (рь — ае). 4 У к а а а и не. Искомая функция и=и(р) обладает круговой свмметраей и определяется из уравиевия Ы( В=' при условви и(а) О. 31. Решение существует, если выбрать аА 6 2 ° и определено с точиостью до проиввольиой цостояиной Ара и и (р) — + сопз(. 4 А А 4 Ь и(р) " + — (р' — Ь*)+ + — (Ь вЂ” ) 4 Ь )ив р ь !и— 4 и(р) и,+ — (рь — аь)+Ь ~6 — — ~ йт— А г АЬ( р 4 и (р) — — а ~ — — В) 1п р+ соль(. Ара гаА 4 12 32. а) в) 12 б м, булав а аа, 23.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
6,07 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6418
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее