1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d (846319), страница 57
Текст из файла (страница 57)
У к а з а и и е. См. задачу 9. 11. В среде с переменной проводимостью о о(х, у, а1 для потеипаала электрического поля постоянного тока имеет место ураввеиие д(ч (ойгаг(и!=0, Если Š— поверхность разрыва о, то ди, диа и, им о,— =а,— на Е; ди дл второе условие озвачает непрерывность нормальной составляющей плотиости тока на поверхности Е; (тз гт„, посколькч У к а з а и и е См. Задачи 5, 8, 9, 10. Учитывая ссютношения Е= — Егад и, / оЕ, д(ч г-а, получаем: д(ч (ойгад и1-О Услсаия сопряжения выводятся по аналогии с задачей 9, ГУ.
УРАВНЕНИЯ ВЛЛИПТИЧНСКОГО ТИПА Козффициеит злектро- проводности а Плотность тока г'= — о йгаб и Влентрическое поле постоян- ного тока Температура и Козффнцнент тепло- провоаности А Поток тепла 9 — ййгад и Теплопровод- ность Козффнпнент анф. фузни В Концентра- ция и Поток аешества Е- — Вс б Диффузия Вектор злектрнческой индукции 11 еŠ— з ага д и Вмектросгатнкв Потенциал электрического поли и Днзлектрическая по. стоянная е Потенциал магнитного поля и Мзгиатная проннцае- моль р Вектор магнитной индукции В= — р йгзд и Магнитостатнка о= агади Потенцнал скоростей и Потенциальное течение несжи- маемой жидко- сти Во всех случаях функция и удонлепюряег уравнению Лапласа.
Укаа анне. См. предмдушие задачи этого параграфа и такжей1 гл. П, задачу 49 Замечание. Если на некоторой поверхности Е, константы о, й, Р, е илн р терпят разрын, то на Е, выполняются условяя сопряжения, которые ьюжио представить в виде ди, диз и, ии р,— р,— на Вм да дл где и †иском функция, а р †од из.параметров о, А, О, е, р; цифры 1 н 2 соответствуют предельным значениям рассматриваемых величин на равных сюроиах поверхности Зд при етом б!т (рйгзб и)=0. 2 2. ПростЕйшие аздачн для уравнений Лапласа н Пуассона Значительная часть решений задач этого параграфа либо обладжт круговой вли сферической снмметряей, либо очень просто зависят от угловых координат. Напомним вырюкеаия для оператора Лапласа: 1] в полярной снсгеие координат 12. Следуюшая таблица устанавливаег полобие перечнсленных в условен полей ОТВЕТЫ.
УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ 2) в сферической системе координат 1 дг' ди( 1 д1 ди1 ! д'и йи= — — !(га — )!+ — !(ай! б — )!+ —. ге дг( дг) геыпб дб ( дб) ггипаб дфь' 3) в цилиндрической системе координат 1 д / ди1 ! д'и дти дчи би= — — ~',~ — '~+ — — + — -баи+ —. р др 1 дрг' ра дфа дна дат' При решении некоторых задач следует принять во внимание, что уравнению Лапласа дан=О удовлетворнет полинам и= А (хт — у")+Вху+Сх+()у, где А, В, С, Π— произвольные постоянкые.
1. Краевые з ад ачи для уравнения Лапласа 13. а) и=А; А А б) и= — х, клн и= — рсовф; а а ,в) и=А+Ву, нли и=А+Вр ниф; А г) и=Аху, или и= — рва(пуф; 2 В В д) и=А+ — у, илн и=А+ — р а1пф; а ' а А+  — А А l рт е) и — — + — (хт — уа), нлн и= — 11 — — сов йф)+ 2 2а' 2 ое 2 ( ае ф)' у к а з а н и е. При построении решения следует учесть, что х, у, ху, хт — уа ы нх линейная комбинация являются гармоническими функциями. В правильности решения следует убеждаться непосредственной подстановкой найденного выражения для и в уравнение 1 д l ди1 1даи и„+и О, илн — — !р — )+ — — О р др ( дрг' рт дбл и в граничное условие. Проиллюстрнруем приемы отыскания решения на примере 13 б).
Перека)(я ют переменных (р, ф) к переменным (х, у), перепишем граничное условие в виде А и — х. а ~Отсюда видно, что искомым решением являетсн гармоническая функция А А и (х, у) — х иля и (р, ф) — р соа ф а а !4. Задачи 14 а) и 14 г) посгавлеиы неправильно, так нак в случае второй ж веной задачи р ди ) ди О,— должно выполнятьсн условие ~)д -О. б) и(х, (у) Аах+С илн и\р, ф)=Аарсоаф+С, в) и — а(ха — уа)+С или и(р, ф) — ар сгжйф+Са А 2 2 ГУ, УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА д) и (А+0,75В)у — ' (3 (х»+у») у — 4уз)+С, 0,25В или В и(р. ф) (А+0,75В)р»1пф — рзвпЗф+С. Решение второй краевой задачи, как известно, определнетсн с точностью до врон»вольной постоянной С.
Указание. Остановимся лишь нз решении одного примера, например И б), в котором дано Функция и=()х илн и=бр пнф является гармонической. Дифференциро- вание по нормали совпадает с дифференпированием по р. Требуя, пабы она удовлетворила краевому условию при р а, находим П=Аа, так что и (х, у) =- = Аах нли и(р, ф) =Аарсозф. В примере 14 д) следует разбить ) на даа слагаемых: )=)»(ф)+)»(ф). », с» з1п ф, )»= 5 мп Зф, и искать решение в виде «=)(»(Р)6 (ф)+В (Р)(»(ф) 15.
а) и (р, ф)= А. Аа а) и(р, ф)= — со»ф, Р Ва» в) и(р, ф) А+ — з(пф, Р 1 а» г) и (р, ф)= — А — мп 2ф, 2 р» д) и(р, ф) А+ — зш ф, Р А+В А — В а» е] и(р, ф)= — .— созйф. 2 2 р» Указание. Перейти всюду к полярным координатам. Если граничное условие при р=а имеет вид и ~р а='Азсоз йф, то искать решение в виде «(р, ф)=)7(р)со»уф, »де )г(р) — функпия, удовлетворяюшая уравнению р»)("+р)( — й»у=о и следуюшим граничным условиям: )7(а) Аз, ()7 (со) ! (со.
16. Задачи 16 а) к 16 г) ие имеют решения„так как не выполняется условие ди — а»=0. да б) и(Р, ф) — — созф+соп»1, Аа» Р Аа» а) и(р, ф) — совйф+со»в1 2р» ОТВИТЫ МКАЭЛННЯ И РЕШЕНИЯ д) и (р, (7) (А+0,7ЬВ) — з)п ч+ О,Ы — з1п 22»+С, р ' йрз 1п— Р а !7. и и(р)=*«,-1 (и — и,) —. Ь ' 1и— и, Емкосп едивицы длины циливдрическсао коидеисатора разве 1 С 1п— и Указание. Так как граничные условия ие зависят от ф, то и решение должио обладать циливдрической симметрией, и и(р). Емкость С проводиика, ограиичеииого поверхиостью Е, определяется выра жеинем 1 Рди С вЂ” — — дг для трех измерений 4«из ~ ди 1 гди С вЂ” — ~у — »(з для двух измеревий, 2«из $ дл с где из — патевциал проводвнка, 1.— контур, ди Вл ди — нормзльиая саставляющаи вектора электрическою поля.
«(р т) или и (х, у) — агс12 —. из р а х' У и а в а и и е. Записывав уравиеиие Лапласа в полярных координатах д 7 д«1 1 дзи д»и — — р — )+ — о, р др 1 дрт' рз д»рз видим, что функция, линейная отиосительио»у, является гармоцической фушг, цией.
12, и (х, у)»)»»+ ' згс(й — „° (1) Сравиеиие (1) с решением задачи 13 показывает, что (1) соответствует частжвзу случаю и и формулы (1) в задаче 18 а 20. а) и» из, б) и и(г) — из и,— и» /1 21. и иы) из+ 1 1 (,г Ь/ а Ь тт. МРАВнения вллиптическОГО типА 1 Л/ Фц! Указание, Решение уравнения Ди — у — !(гз — ) О имеет ввд ц г д 1 д ) ° и(г! а+ —, где а н й определшотся вз условий и(а! цз, и(Ь1 и,. й 22.
с- — ', . ! ! а Ь Указание. Учесть, что в присутствии швлектрика плотность поверхиосгиых иерихон равна 1 1 ди о = — Вз — — е —. 4п ап ди' 23. Емкость сферического конденсатора равна 1 е /! 11' + ~ — ) а с е (Ь с) Р е ш е и и е.
Требуетса решить краевую аздачу /(и,-О при а<гСе, бит=О при с~г СЬ, зде и, и из удовлетворяют при г =и и г=Ь граничным условиям из! 1. и ! з О и при г с — условиям сопряжения и,=ц „ ди, дцз ез — зз —. дг дг ' Четыре козффипиента А,. Аз. В,, Вз определяются нз двух граничных условий при г а н г Ь и двух условий сопряжения при г с. В результате получаем: /1 !1 е, /! и, !+Аз! — — — ), из — Аз!1 — — — ), (г а)' зз '(г Ь)' где 1 1 ез/1 11' 1 а с г (Ь с) Емкость вычисляется ио формуле С = — ~ ~ ( — ) азЖ вЂ” з,аз( — ) =Азез.
ч1бшее решение имеет вид и (г1= из- + Аз ори а~г~с А~ В, из= — + В, при с~г~Ь. Г 352 ОТВЕТЫ. УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ 24. Требуется найти решение краевой задачи !д/ ди) б и, — — (р — »1=0 при а(р-цс, р др(( дрУ' ! д ( диз) б н — — р — 1 О при с(р(Ь» р др'( др/ и =1 прнр=а, из О при р Ь, ди, ди, и, и, е — =е — прн р с. ор др для емкости получаем выражение е, 1п — + —" 1п— а е с При ес сз а имеем: е С Ь (ив й Указание.
Решение ищется а виде ит А 1пр+Е; из= В1пр+(). 25. Потенциал поля равен ! + су— н= ее ез прн а(г~с» е» вЂ” ез 1 — + а ез с е, 1 и=из ез г при г)а. е,— ез 1 — + —— а еа с Частные случаи: и 1) при с-»-со получаем и=из — при г)а — потенциал поля сферы г радиуса а, заряженной до потенциала из и накодящейсн в бесконечной однородной среде; 2) прн ез-» со (среда 2 ндеально провсдащан) 1 1 г с нз 1 1 — ° если с~~ (с а с О, если г>с; 3) если е, ез, то и и — (г~с) (ср.
со случаем 1). г Указание. См задачу 22. Учесть, что на бесконечности функция н должна обращаться в нуль. 26. Влектростатнческое поле Ь вЂ” атас и, Пг.'УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА где и — потенциал, равный Ь 1п —. «=и (р) =и, Р ь 'ив а И. Решение зависит только от переменной а и дается формулой а и и(а)=иг+(иь — иь) —. Ь ет 4++-'2 (Ь-Ь,)~ е, 23. Искомая гармоническая функция зависит только от перемеиной рг и и, +(иа — иг)— Д Ь Ук ав а и н е. Решение искать в виде гармонического полииома. 2.
Краевые вадачи для уравиенвя Пуассона 1 и — (рь — ае). 4 У к а а а и не. Искомая функция и=и(р) обладает круговой свмметраей и определяется из уравиевия Ы( В=' при условви и(а) О. 31. Решение существует, если выбрать аА 6 2 ° и определено с точиостью до проиввольиой цостояиной Ара и и (р) — + сопз(. 4 А А 4 Ь и(р) " + — (р' — Ь*)+ + — (Ь вЂ” ) 4 Ь )ив р ь !и— 4 и(р) и,+ — (рь — аь)+Ь ~6 — — ~ йт— А г АЬ( р 4 и (р) — — а ~ — — В) 1п р+ соль(. Ара гаА 4 12 32. а) в) 12 б м, булав а аа, 23.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
