1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d (846319), страница 55
Текст из файла (страница 55)
гулу / г(х, Г) ~ \би)т ~т$+аз ~((6 — ) — (и — ) ~дт+ е о г +~дт~бщ, т)др. (6) е )га интегральная формула выест о(чнее вначенне для функций нсточнвка, гдовлетворяющнх различным граничным условиям. Если теперь воспользо. ~аться начальнымн и граничными условнямн для и: и(0, т) ф(т), и(1, т)=0, 0<т<+со, и (С, О) =) (й), О < С < 1, (а) (5) ~ гранячньив условяями для 6(х, Н, à — т): 6(х, О, à — т)=0, 6(х, 1, à — т)=0, 0<х<1, 0<т<б (6) е) Вто раненстао получается так же, как равенство (1) Решения задачи 66, еч) Предельный переход в леной части равенства (2) может быть выполнен, : помшцью рассуждений, аналогичных прннеденным в (7), на стр. 260-266 го лля остзшз ряда (6) задачи 10( выполняется неравенство ))от(х, $, г)(<з при О<хД<1, 1*<1<+со. !06.
Представления для фуннцнй нсточнвка получаются нз представлений, найденных в решения задач 106, 104, 105 умножением на е-ги, где Ь вЂ” козфРнцнент теплообмена, входнщяй в уравнение иг=аз脄— Аи. 109. Решение, Заменим в решении и(х, г) уравнения ит=ази „+)(х, (), 0<х<1, О<1<+со (1) г н 1 на к н ж заменим, далее, в функции источника б(х, $, Г) Г на à — т, )<т<1 д ди дб Г дзи д'61 Интегрируя равенство — (би)=6 — +и — =а'(16 — — и — 1+67~) дт дт дт ( дЕз %~3 ю С от нуля до ! н по т от нуля до à — а, 0 <а <Г, получим: ПЕ УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА то из интегральной формулы (6) получится следующее представление решения краевой задачи с помадью функции источника: и(х, !) ~ г($)6(х, 2, 1)с!в+аз ~(р(2) ' ' с(т+ о с ! + $ с(т ~ Щ, т) 6 (х, й, ! — Т) ((2.
о Используя два различных предстанления для функции источника 6(х, й, ! — 2) (см. решеняе задачи 103), получим два различных представления для решении нашей краевой аадачи! ( +44 ! (к — 1+2лйс (к+1+2к((с ) а) и (х, 1) (( ! (сь) 1) е 4а*! е 4ач (св+ уо)гп! ! с +44 (к+ зкс)с ( + со у (к — 1+тки" (к+ $+ елстс) 1 ) +О» «к*аз « =! + ао к*я*ос ь~ 1р и — ч ! л=! ! (+ се ксИЧР 2~~ ~сС! С(~ ° " Ш (а п=! Представление а), вообще говоря, выгоднее прн малых !. представление б) — п и больших !. н ) — при с 11О. п(х, !)=~7(ез) 6(х, 2, !)(сп — аз~(р(т) б(х, О, ! — 2)(12-(- с с +1()231(й, т) 6(х, к, 1-2) с(й, (1) (де 6(х, н, ! — 2) — функция источника, полученная в решении задачи 104. Если в равенство (!) подставить даа разлячных представления длн функции исшчннка, то получается два различных представления для решения нашей краевой задачи.
Ш. и (хс !) (/2 р 1 — О( ~з(йп (х+йл!ф 'К! (Р (( -Рйл!( Л ~ ~ ) ! И ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ 11Х и(х, () +»» ы+ виг -. т (-)'- — -"- (-.('- )3 6 — »» 3, Неоднородные среды н сосредоточенные факторы; ур авневня с кусочно-настоянными козффяпяеитам н я условия сопряжения У»+(Уз Оз) Ф( — — ), — оз < х < О, х уа, 'ггу 11В. и(х, ()~ о,+(и»-и,)Ф~ — ), о~*<+ х Еа,)г( и,—,+о„— йк йз а, «з 1 а, аз У к а з а н н е. Задачу можно решить с помощью следующего яскусстзеннога пряема. Нужно продолжить левый стержень неограниченно вправо так, чтобы получался неограниченный однородный стержень нз (того же материала, что и левый полуограннченный стержень.
Затем нужно найти температуру йолученнсго неограниченного стержян пря условия, что его начальная температура равна У, пря — со<х<О я О," прн 0<х <+ос, где Уà — пока неопреде. ленная константа. Аналсгнчно (нужно поступнть с праным полуограняченным стержнем, Константы У; в У» находвтсн нз граничных условий (условий сопряжения) в точке к О. (и,(к, (), — со<к<0,) )ый и(х, 1) ') О <( <+с . ((из (х, Г), 0 < к < Л-оз, ) из (х, Г) ~ )з($) (е с +е ) ай+ ~~% ) а, Г ф (т) аЫа» а(г — о +„Э ( И-1) С +И( н из(хе 0 ) ~ )з(з»)(а» +з ) й»ь ~л 1 с к» аз Г ср (т) 1 а Г Ф (г) ср (т) — — ~ — аг, пат3 г'т — з +»» 1* 1 Ф (2)~ — т» ~ !зЩа» ай — — ~ !з (й) а ' а$ 3 п1. ЮРАВнения ОАРАЕОлнчесхого тнпд иг(0.
[) иэ(0. [), Аэи,х[0, 1) йза (О, [). ф [[) А,иь» (О, 1) А,ик, (О, [) Полагая в решая задачу теплопроводвости с заданным граничным условяем второго рода для полуогранвчениого сгержня — со < х < 0 и для полуограннчениого стеРжни 0 <х <+со, мы выРазим иг (х, 1) и иэ (х, 1) чеРез начальные УсловиЯ и через пока еше иензвестнуш функпяв ф [1). Используя первое условие сопряжения и, (О, 1) из(0, 1), мы получим интегральное уравненяе Абеля для определения функпнн фа: — Ф (х). ф (т) дт Г'1 — г Ршпеввем этого уравнения является ф (т) — — дх.
1 д г Ф(з) л дт Есле Ф'(х) сушестзует н непрерывна *) при Озбз<+со, то, выполняя в правой части последнего равенства сначала ннтегрярование по частям, а затем дифреренпярованне, получим: ф(г)-- " ах+ 1 Р Ф (х) Ф [ 1 О) т — з лг'т Зта формула может бьль прнменена, н частности если Ф (х) нисона(. В этом случае Ф' (х) — 0 и ф [т) Ф(+0) л ПЬ. Решением краевой задача д[)г, дэа — а' —, — со<к<0 0<1<+со, д[ ' дхэ' дбз,д Оз — а' —, 0 < »<+со, 0 <1 <+со, а[ эдкэ' 6, бм А, — Хз — пРн к 0 О<1<+по дб, дбз дх дх э Нш 0 О, — <»<О, (2] *) См., например, [2], т.
П, $ 79. ~з) При ВЗЗЛЕжаШВ» ОГрЗНИЧЕНняХ На [З В [З Этз будст ВЫПОЛНЕИФ Указание. Фуикпнв ик(х, 1) и иэ(Х, 1) Лпзжнм быть соответственно решеннямн уравнении теплопроволвости иц а',иг„„п иы йэиктх И УДОВЛЕтворять условиям сопряжения ОТВЕТЫ. УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ Ае (*-2 )' 04(х, С, 1) — ° е пря со<х<0, из 4ао )Ч „Дз 2а„У"ги о,+я, (4) (х+ 1У 4 «и Д« ()а(х, $, 1) е ' + ° = при 0<к<+«ю 4«м е, и, е 2и« и( +)4 2и, ~Г«и а, о, (4') Р е ш е н и е.
Перейдем к безразмерным величинам (см, решение задачи 13 насгояшей главы), причем так, чтобы уравнение тедлопроводиосги для правого н левого стержней имело ввд и« озидж 14(ы Имеем к 1'с, — со<С<0, к 1С, 0<С<+со, ( т, 1' оо И е,е). Граничные условия (2) принимают внд и, (О, т) из(0, т), )ч ди« (О, т) )44 ди«(О, т) и, дб Будем искать решение при — со<2 <О, как «преломленнуюз на грашще И «Л« 1 раздоза $0 фуикпию — е 4«, т.
е. как функшпо, имеющую вид 2 )'пт (б) 1 И вЂ” 1«И а,— г — -е ! 411«74 а решение прн О < й <+со — как сумму — -т= е тт и слагаемого, 2 У пх представляющего собой результат «отраженна» нв гранипе раздела 4 0 фуик- Я(-10' 1 Пия -т= Е 4«, т. Е. Н ВИДЕ 2 У ггг и-$«п 6-3«)4 1 1 из(с, т) а«=е 4«+ —.
-е 2)'йт 2У пт (8) Подставлви (7) и (6) в (б) н (6), найдем а« и аа, Что И Привсдат К Ответ ( вернуться к прежним едннипам измерения). 116. Решением краевой задачи и и«и „, О <х, (<+со, с«иг(0, 1) Ми«(О, 1), 0<4 <+со, и(х, О) 1(х), 0<к<+аз. (1) Ф (3) «) Речь идег о численном равенстве, а не о совпадеияи Размерносшй. Игп 6. О. 0<х<+«ю, хвала; в точке х «при Г-гО, Оа имеет особенность «»а 4 — 1П 1 е У ° (3') 2а, Уй( тп. Ридвнения пАРАБОлическОГО типА ззу являеосяо + ао гх — ер 1 г" и(х () ~ р(ре ° Л 2а(о'оп' ~ / /[х) при — со<х<О, ( /(х) при О <х <+со, к 2 соток Гоо- — ', ' о оооо+оооон ) * ~ ого — ь+ 'го — ооО -"'о-" Ч е )о5 пй аоСа' Иу. Решением краевой задачи дик о доит — -а' —, О < к < Е ((), д( 'дке' О<1<+соо — поо — ', $(() <х<+со, ! ,(2(1), (),(4(ПА ЕД и,(О, О Вм и,(+ . г> Им (2) где температура замерзания принята за нуль, к '-(/) — координаты фронта промерзавия А,— — З, е) -Ср —, О<(<+о, ( ди, ди) оЯ дк дх)к=ар) оМ' Я вЂ” скрытая теплота плавления, р — плотносп массы жндкости, ио(х, О) У„О<к<+аз, нвляетсш х и, (х, Г)-Ао+Вое~ — '1, '(2ао )о т / ие (х, () Ао+ВоФ ( (2ао ~'(/' (4) (4') и 'ФЬ вЂ” ") Ао Ухо Во — о, Ао оя — парень транспендентного уравнения ио ао као оао )го0те ' Гго(о е "( — ") "!'- Й)1 В = 1 — Ф( — ) )о — козффипиент теплопроводносги стержня, 3 — плшошдь поперечного сечения, от — коэффициент температуропрояоднссги стержня.
У к а з а н и е. Воспользоваться утверждением, сформулированным в аадаче 82. ГЛАВА 1т' УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА Е 1. Фнанческне вадачн, прнводяп(не к уравненням эллиптического тапа, н постановка краевых задач 1. Краевые задачи для ураинеиий Лапласа и Пуассона в однородной среде 1. Уравнение для температуры стационарного теплового поля в однородной нзотропиой среде имеет вид Ьи — )(к, р, а), )г тле . — р — плотность источников тепла, т.
е. количество тепла, выделяю. й ° щегосв в единице объема в единицу времени, й — казффнциент теплопроводиости. Краевое успение первого рода и!х А означает, что на поверхности Е задана температура гг! условие второго рода ди! ди! дл!х — )з, нли — Л вЂ” ~ Цз, (Гз — )зй), дл !х — на Е задан тепловой поток величины гк краевое услоние третьего рода д» вЂ” +ди~ )в или — д — й(и-/,), й М, ди дл дл Ь вЂ” на Е проясходнт теплообмен по закону Ньютона со средой теьщературы г.
Необходимым условием существования стацнонарюй температуры для вто рой краевой аадачи является выполнение равщктаа ~ )ьдп О, т. е. суммарный поток мпла через поверхность Е должен быть равен нулю. Нераяномерное распределение температуры вызывает тепловой поток, величина которого по закону Фурье равна () = — аагаби. Проекщгя его ва направление л, очевидно, ди рвана () — й —. дл' Р ею е и и е. При выводе уравнения (1) следует написать условие теп.
левого баланса для произвольного объеме и затеи воспользоватьсв формулой Остроградского. ГЧ. ВРАВНБНИЯ ВЛЛИПТИЧВСКОГО ТИПА Ураввенна теплового баланса для объема Т с граныцвй 2, очевидно, ымеет внд слева — суммарный поток через 2, справа — количество тепла, выделяющегося в объеме Т. Формула Остроградского дает: б(т (а йгад и) дт — Рдт, (2) откуда в снлу пронзвольностн объема Т н постоянства а получаем уравнение (1). 2. а) Уравнение днффузнв з покоящейся среде есть А О, (1) где и(х, у, а) — концентрацыя б) Если среда движется со скоростью е (о, о„, о„), причем д!То О, то уравненне днффузвн прннвмаег внд ди ди ди 06и — о« вЂ” — о -- — и —- «дг ад„«дз (2) где 0 — коэффнпнент хыффузнн, о .
о„. о — проекпни скорости е ыа коорднматные осн. Если о о, из о„б, то уравнение (2) прныимает внд о ди Ьи — — -- 3, (3) Од« ылн о ы„«+и„„+и — — и О (уравнение газовой атаки), Указ а на е, Диффузионный поток вещества прн неравномерном распределеннн концентрации равен () — )) йгад и (4) Кроме диФФузионного потока ыадо учесть поток переноса (транслнпнонный поток), равный так что суммарный поток равен — () йгад и+ ив Для вывода уравнений (1) и (2) следует аоспользоватьсн законом сохра вення вещестна длв произвольного объема н затем применить формулу Остро градского (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
