1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d (846319), страница 53
Текст из файла (страница 53)
и(х„г)= — С(х,й, 1), — оз(х, 4(+оэ, хФ$, 0<1(+со. (ц () сро где е аг г — 1>' б(Х, 5, Г) ==с ае>Г 2ау' ) епь фУнкциа истсмника дла УРавненна и>=азиза — 1>и в слУчае неогРаенченной прямой. Примечание. Если мгновенное выделение количества тепла () произошло не в момент времени 1=0, а в момент времени 1 т, то и(х, 1)= — б (х, $, 1 — т). — со(х, $(+ос> х чья. т< 1(+со, (3) сро е-аи т' (х-4>' б(х, 4, 1 — т) е ~'*(~ — т). 2а)> и(1 — т) (4) 63. Решение.
Заменим в решении и(х, 1) уравнения иг аеихх+/ (х> Г) *) См. ответы и указания к задачам 56 и 63 4 2 гл. 11 и к задаче !53 63гл. П, йля разыскания температуры в стержне можно носпользоваться также .дельта-функцией е], решая либо задачу 313 ОТВЕТЫ. УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ х и 1 на с и т; заменим, далее, в фушшии источника б («, "-, г) = 㫠— Е?« 1 = —.е ь?'г 1 на 1 — т, 0(т(б Функции и(в, т) и 6(х, $, 1 — т) 2аР и( удовлетворяют уравнениям их=а'и?Е+/(Е, т), б,= а«бы, по ?тому д / дги Ф61 (6,) .?16 „,, )+б/.
Интегрируя последнее равенство по $ до — со до + со и по т от 0 „о à — а, О ( а (1, получим (ссли предположить, что и и ее производные по Е храннчеиы при $-ь -?" со или стремятся к со, но не слишком быстро): + а .;- О г — а +са (би)т г а?($= ~ (би]т ь?$+ )г ?(т )г б/с?В. Переходи к праде.чу в равенстве при а-?-0, получим «)с +с« +сю и(х, (]= )г ~р($]б(х, $, (]?(3+)г?(т )г /(Е, т)6(х, Е, Ю вЂ” т)а$. (3) 69.
Ответ даегсн формулой (3) решении преаыдушей задачи, где под 6(х, $, () нужно понимать функцию источника, найденную в решении задачи 67. У к аз авве. Задачу 69 можно решать либо непосрежтвенно, либо свс денном к задаче 68 путем замены искомой функцни и(х, 1)=е ьго(х, (). 70. 1 = , и ,„ (х)= т)е 2а™«ср)' 2па! х — 3 [ «? а () 1 с' — ьт — —, бт — -. )«~ 71. и(Х, 1]= — 1 а Ь?Ч=, П(Х)= Е а ' ср 2а)? ?с )Г'г ' 2сра)? Если поверхность стержни теплоизолирована, то 1пп и(х, 1)=со. г +» и (х, 1) = (/а ~ Ф (=) Ф ~=)~.
где Ф(з) == 1 е Е с(й есть так назыиаемый интеграл ошибок, таблицы )пЬ значений которого можно найти в [7), а также в таблице 1 приложений насгоящей книги. *) Переход к пределу а левой части равенств«,2] при а-?.0 выполнив аналогично тому, как зто сделано в [7), на стр, .'юΠ— 233. )и. РРлпнения ИАРлвОлическОГО тиил , („!) а ! — Ф вЂ” +лай(ф — ак-) а*кн ( ! х 74.
и(х, () (/ае "'~Ф~ —,.) — Ф~ ф ['А либо заменой иско- У к а ванне. Воспользоваться решенном захачи мой функции и (х, () =е "'о(к, !) свести к задаче 72. (к — «»т)' ! р е [а'(! — т) 7б. и(х, ()= .. л! и = 2аср !'и ) ! — т 2асрр и (к — »»)+«,")' в частности, температура стержня под печкой равна и(о«(, !) — Ф[( — !).
! аиа)'( ) срц, ~ 2а б) Полрирллая [к — ц» [к + З) ° '! . ) ~ вм(! — т) е [а*И-И ~ 2а г' и (( — т) О<х, 5<+аз„х~~, 0<(<+со. В л „ае, если на поверхности стеРжня происходит коивективный теплоабмеи ой, температура которой равна нулю, то выРажение для функции источника получается из (!) умножением на е — Л ((-т) (2 () где Н вЂ” козффицвент теплоабмена, входящий в уравнение и от ))„ Указа" ие Выр"'ение для ературы и(х, () и для О"(х, й,'! .) можно полрчнть, РассматРиваЯ неогРаниченный стержень — х предполагая, что в момент времени (=т в точке х=в выделилась мгновенно () единиц тепла, а в точке х — з выделилось мгновенно — (( единиц тепла, т, е., как иногда говорят, помещая в точку х=й мгновенный положительный источник мощности (2, а в точку х= — с †мгновенн отрвцательный источник мощности — () *).
(* В» („) !) ! 77. б(х, й. ! — т)= (е ["'и т)-(-е [а«н — т)~ 2а)' и (! — г) О < х, с <+со, т < ! <-(-со, х -и $. ()ри наличии конвективнога теплообмеиа на поверхности стержня функции источнике получас)ся из только что найденной умножением на е «) Функция источника для полупрямой определяется аналап(чво фушщии источника для капечного отрезка; си, введение х решениям задач подпункта в) настоящего пуннта. ч ам е ч а н и е.
Выражение для и(х, () получено при условен, что тепло- обмен иа поверхности стержня, не соприкасающейся с печкой, пренебрежимо мал. ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ У 'к аз ание. См. указание к п е решается аналогично. к предыдущей задаче; настоящая задача 78. (х — ЕИ (х+4)с 1 . б(л, с, ( — т)= (а и — щ ( и (а (! — т(~ с 2о )~п(( — т) (.с -," -(- св" — 5 — дс( О~«, ч(+со.
«Ф~, т(((+ос, где Л есть козффиниент, входяш Т едящий а граничное условие их (О, () — /ш (О, () = О. Прв наличии конвектнвного теп ообм источника получ ет : . на тепл сна иа позе х а ся из только что най р ности стержня функиия на денной умнонсе~ж~ на Указание. Йспользовать п т тепло мена, входящий в ав ур внение и,=о'и х — Ни. овать предложение, сформулированное в задаче 82. 1 Р ) — 1 — (+1( 79 и (х () — ( ф (то) ~е (оч (ач о ( .) ((оос (( — т( 2а 'гс и .) (( — т)'(с е -(- со !х — ЕЯ (х+ЕИ + ~ )(~ т)(Е хо*(( — с( (о*п — т(~ Указание.
Пусть и(с, т) есть решение анне У на и ., ешение уравнения ит=асиЕЕ+)(Е, т), и очипка, найденная в решении задачи 76. дт дт + дт ( (+ д дн дб ( д и Рб( ар дйз ( по $ ст О до +со и по т от О до ( — а, где О (а ~б получим( —,. = 1 „—.— — „.1 + со +со 1-а +о Оби)т (-а дь 'с (би)т о с(се=аз ( дт с "б— (— — а +со с — а +со (дб ди ди дб — ) д ~ д$ (~~~~ "+ ~ "т ~ б(~%. е е Налагая надлежащие ограничения иа порядок роста оста и и — пРи т-: -).со получим: Э +со — 1( — )Е.
- ~ +со (-а е с дбс ( — а +со (ба)т ( а с(с ь1 (бм) е с(сь о () ~(с ~ с( т+ ~ дт ~ б/((Е. «) ото равенство получается так же, как равенство (1) в решении задачи 63, ыг. кидвыкыми цлоднолмчнокого тмг(л 321 Переходя к пределу црн сь-э0, получаем*): 1нп ) (6«)т, „~ф=а(», Г). и е е +ш Г гх рл ~*+В'') 80 ц(х () 1 ф(ф)(с гач +е гяч ~ ф 2а У пг,) л е Указание. Задача (может быть решена аналогично предыдущей (см, указание н предыдущей задаче). 81. и(х, г) е е +~' ~х+чи е е 1 ~ от +ь» 1 ы-$) <а+акр + — 1 — ~ И. ф "*и-"+ й2оаУп 1)'( — г ) е е +" — ( +(+и' а — ь (.
«- '",] е Указание. См. указание к задаче 79. Задача 81 может быть решена аналогично. 82. Указа и п е. Воспользоваться тем, что а) если г (х) есть функция нечетная, то функцня + СО (» -$(» ( ) 3 р ( ~ ) а 4 й2о аУ п( 03 равна нулю прп х=0; 2) если ц[х, 1) есть решение уравнения иг отме„, то М дха евкже является решением етого уравнения.
") Переход к пределу выполинетсь анааогнчно тому, как вто сделано и 171, иа стр 230 — Жй 11 в. и. вдавя я ыь ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ 83. Указание. Воспользоваться тем, что 1) сели )с (», 1) есть функпия нечетная по х, то фуикпия с + со и(х, 1) — — ~ — ~ г($, т)е ~~ ~с(в 1 Г дт 1' ЙУ'к 3)«=т 3 з равна нулю при х О; 2) если и(х, 1) есть решеияе уравнения ис азиза+1 [к, 1), 0(х, 1) у Ав дьи Рн 1) дх» является решением уравнения ис азиз + 7, Аь дь((х, 1) дхз ь=а х и (х. 1) С/сФ 1=1. (й УУ)' Скорость движения фронта температуры а()з, сс=сспз(. О~сх<1, равна Рис. 34 Рис. 35.
дх пй — —, где й — коРень Уравнения Ф(х) а. Графики изображены соошет. а отвеяно нв рис. 34 и Эб Т «а 4изйз ' где д — корень уравнения Ф(г) 1 — а. Указание. С помощью подстановки и(х, 1) обс, 1)+(с а дится к предыдущей. х+! аЛ йб. „„, () () 1;мд, ~~ 1Ф("~') Ф~ -~)1 вЛ' и!. вРАпннния пАРАЕОличнскОГО типА 67. и(», г) ОеФ(=1+ага+ ~~(те[1 — Ф! — +алг'(ф (1) Чтобы погрешность, допускаемая при пользовании йюрмулой (б) условия, ие вревышала е) О, достаточно, чтобы выполнялось неравенство цг 4паейееа (3) У када н ие.
Интегрируя последовательно по частям, можно получать равенство +ге ( гг е (1 ! ! 3 1 3...(2п — 3)! ае — — — — + — —...+(- 1уг ' "' + 2»з 2е»1 2 -! 1»-! г ) ( !)а -' ц [4) ! 3...(2и — 1 г". е 2» ~ а г причем, очевидно, ~ е 1'~ ~е * ~ ф. (б) Замечание. Если частичную сумму, стоящую в фигурной скобке фор. мулы [4), заменить бесконечным радам, то получится расходящейся ряд, нимегаемый аснмптотичсским. Опенка (б) покавывает, что погрешность, потерей допускается при отбрасывании в формуле (4) остаточного члена +ге 1.3...(2и ц р -1' (-1у~ ' —.
— ",ф ,) г" г стреммтся к нулю при каждом фиксированном л и а-г-[-со 66. и[», !) ~0е — ) ~~ — Ф(=)~+ — е г+ — е"ач+ ~1 — Ф ( — =+ ад у7)). 66:. и [», !) ° 2ад ф~ — е еа'г — а» [! Ф ( ри)~, 63. и(л. !)-и,+((Уе — [Ге)е- Ф~ ' 1+ (2 йг(У » »г"а »»у! е — ", "(. ~,- ~ — *-ге)1+. ~- [ — „' +г~~). Погрешность. допускаемая при пользовании формулой (4) условия. ие превышает !.3 ° б...(2л — 3) ! 2» аае»' [2) ОТВЕТЫ, ИКАЗЛНИЯ И РЕШЕНИЯ 91. и(х, Г) +'е з~~(1 — Ф( — ~/ — — )/ — )~+ +езй з гео(1, ~ х -~/ )»»С -~/ С()~ где гг', С, С вЂ” сопротивление, емкость и утечка едивипы длины провода 92.
п(х, () )/ъ и"'иъ) ' +о» заЛ = с-зп»(9 з з сове (в 2Ай Г з Г,» Г (х+»))зт з з (ау= (2) — ~/ — "+й о 2 Первое слагаемое в пРавой части равенства (1) представляет собой затух „, с рошом х температурную волну, периодическую по С Второе же с бесконечно мало прв г -)-со. ,, ~( ./ '! а Скорость распространения теипературной волны с частотой ю риша »(х — а )' 2ы. »(г Указание*). Можно найти установившиеся температурные во „ действительную часть комплексного решения задачи иы, как иг=азб»хю О(х, г С+со, и(О, Г)=Аз!и», стремящегося н нулю при х-ь+оз.
Это номплексное решение имеет () (х, () Х (х) ев»». — ~/ —, лс 1/Т 94. о(х, г) Езе г сш~зи — х $ — ДСю Е 2 / — — ' 'й з-Рз(пргдц воз где Е и С вЂ” сопротивление и емкость едииипы данны провода. ') Подробнее о решении задач без вачальных условий стр. 243 — 247, з з» ие РРАВнения НАРАЕОлиыескОГО типА Указание, См. указание к предыдущей задаче. с 90. — Хих (О, С) = д (С) )««с «" р(т)«ст дс 3 У( — ' о У к из а н не.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
