1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d (846319), страница 48
Текст из файла (страница 48)
е. вне элемента), значит, тепла будет вытекать иэ элемента и, следовательно, ди первый член суммы (б) нужна брать со знакам минус. Если же — (О, то дх температура левее торца больше, чем температура правее торца, поэтому тепло будет втекать в стержень, первый член суммы (б) должен быть положительным и, следовательно, перед ним снова нужна взять знак минус.
Аналогично проверяется выбор анака при втором члене. Для получения граничных условий (3') и [3") нужно провести такие же рассуждения для граничных элементов [О, Елх) и (1 †, Е), используя в случае (3") закон канвективнаго теплообмена Ньютона. ил=ли„.„, О<к(Е, О((<+со, (1) и(х, 0)=1[к), 0(х(Е. (2) (О, Е)=фл(Е), и(Е, Е)=ф (Е), О<Е(+ (3) — ).аи„(0, Е) ал(Е), )лпи„(Е, Е)=о,(Е), 0(((+оп, (3') и„(0, Е)=6(и(0, Е) — фл(Е)), и„(Е, Е) — Л(и(Е, Е) — фл(Е)), 0<Е(+са, (3") Х где из — коэффициент температураправодности, из= —, Х вЂ” коэффициент тепласр праводнасти материала стержня, с — удельная теплоемкость, р — плотность массь1, а †площа поперечнога сечения, А= --, где сл †коэффицие тепло.
Х' обмена, Е(х) — начальные значеннЯ ты1пеРатУ)1ы, ЯЧ (Е) и фл (Е) в слУчае (3)— телгпературы концов стержня, а в случае (3) — значения температуры окружающей среды у концов стержня; ал(Е) и оэ(Е) — тепловые потоки, поступающие з стержень через его концы (т. е. количества тепла, поступалощие в единицу времени).
Ук а ванне, Если боковая повсрхносп однородного изатропногоцилнндрическаго стержня теплонаолнрована, а изотермические поверхности в начальный момент времени совпадают с его поперечными ссчениялгн, причем торцы сшржня все время остаются изатермическими поверхностями, то изотермические поверкности в стержне будут все время совпадать с поперечными сечениями, т. е. температура в стержне все время будет зависеть лишь от одной пространственной координаты х. Уравнение (1) можно получить, приравнивая приращение за единицу времени количества тепла в элементе (х, х+Лх) агержня, равное ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ 3 а м еч а н и е.
Еслп коэффициент тепласбмена и значительно больше коэффициента внутренней тенлоправадвостн А(а-ьсо), то граничные условия (3") переходят в граничные условия (3). Если же, наоборот, сс пренебрюкима мало (сс -ь 0), то граничные условия (3 ) превржцаются в граничные условия (3'), где д, (!) Ве(С)=0, т. е.
мы приходим к случаю тепловой изоляции кон- нов стержни 2. Уравнение теплспровадиоств в данном случае имеет вш! А ир и, — 脄— (и — ие) ср "" сра где р — пс(имегр поперечного сечении стержня, сс — коэффициент теплоабмена между поверхностью стержня и окружакпгей с)еьай, температура каморой равна из; асталы:ые величины имеют те же значения, что н в предыдущей задаче; начальные и граничные условии записывзготся так же, как и в пре- дыдущей задаче.
У к аз а ни е. рассматривая элемент (х, к+Лх) стержня, учесть в тепло- вом балансе не только потоки тепла через торцы элемента, но и потоки тепла через его боковую поверхность. 3. Для определения температуры в кольце получаем краевую задачу иг — ы„„— — (и — иэ), 0<х<), 0<с<+со, Х яр ((] ср сра и (О, !) ((, !», и„ (О, О „ ((, !), О < ! < + (2) и(х, 0)=)(х), 0<х.-!.
(3) Здесь )с, с, р, а, а, р иммст тот же смысл, что и в предыдущей задаче. Координата х — длина дуги, отсчитываемая вдоль кольца. Если радиус кольца ранен )!, то х=ссв, где  †углов координата; следовательно, (=2пЯ, д ! д — — — и, переходя к независимым переменным 6, й краевую задачу (!), дх й дВ (2), (3) можно прсобразавать к виду Х ир ис — ивв — — (и — из). 0 < 6<2п, О<! <+со, (!') ср)сз сра и(0, Г)=и(2п, !), из(0, !) из(2л, !), 0<С <+со, (2') и(6, 0)=р(6), 0 ° В <2п.
(3') В. — =аз — > сьг<х<+оо, 0<с<+со, ди дзи (!) и ( зс, !) = р(!), О < ! <+ (2) и(х, 0) О, 0<х <+со. (3) В. для определения температуры и(х, !) в проволоке получаем краевую задачу Х ир ())з)! ис — 脄— (и — ие)+ —, 0 < х < ), 0 < ! <.+аз, (!) ср "" с(ю сра с ис (О, !) =)ли (О, !), гзис (! !) Хаил Д. !), О < ! <+Оо, (2) и(х, 0) )(х), О<х<(, (3) где с и с, — теплосмкости клемм. 1 †си тока, )! †сопротивлен единицы даний провода, 3 †коэффицие пропорциональности в формуле В 3)з)!Ах, (4) выражающей количество тепла, выделяемое током ! в единицу времени в эде.
менте (х, к+ах) провода. Коэффициенты Х, с, р, а, р, а имеют тат же смысд что и в задаче 2. ПС. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА У к аз анне. При выводе уравнения (1) нужно воспользоваться соотношением [ч). Б. Для определения концентрации и(х, 1) получаем то же уравнение и те же граничные условия, что и в задаче 1 для опрслеления температуры, с той, однако, разницей.
что в случае диффузии аз=А О, где 0 — коэффициент лиффузии, а и — ком)зрициент проницаемости каждой из граничных плоскостей. 7. Для определения козщентрации и диффундируюшего вещества получаем уравнение (1) ис=Ви — еи„ где 0 — коэ44ициеит .*ффтчии, а и — гс прость движения среды. У к аз а н ие. Для ь ксучсния урне сияя (1) нужно выделить элемент с поспжнной площадью попере, го сечения, параллельный оси х (рнс.
33), и Рнс. 33. рассмотреть количества вещества, проходящие через сечения х и х+Лх за счет диффузии и за счет переноса движущейся средой. 8. Для определения концентрации взвешеннык частиц получаем уравнение ди д'и ди - — =0 — — о —, дг д22 д2 где 0 — коэффициент диффузии, а о — скорость оседания частиц, причем ось г направлена вниз. Условие непроницаемости плоскости г=гз имеет вид ди 0 — — сир 9 при г=гз. дг У к а з а н и е. Сзс. указание к прсдыдушей задаче. Вместо потока диффундирующего вещества за счет движения среды нужно учесть поток вещества за счет оседания частиц.
9. а) пс=Впхх — )сси, ()с)0; б) ис Вихх+ ()зи рз ) О. где 0 — коэффициент диффузии, рс — коэффициент распада, а ()з — коэффициент размножения. Указание. В случае а) в единице объема в единицу времени разрушается количество диффукдирующего вещества. равное рси, а в случае б) возникает количество днффундирующего вещества, равное ()зн.
ответы. укАзАния и Решения 10. Если скорость подвижной плоскости сохраняет постоянное иаправле. нне, та скорости частиц жидкости будут, очевидно, параллельны этому направ. пению. Направляя ось по толщине слоя и помещая начало координат на неподвижной плоскости, для определения скорости частиц жидкости получим ирзевую задачу где ! — толщина слоя, оэ(!) — скорость движения граничной плоскости, р = — — иинематический коэффициент вязкости, р — плотность массы, р — дина. р мический коэффициент вязкости, входящий в закан Ньютона для определения напряжения трения между слоями вязкой жидкости Указание. При выводе уравнения (1) нужно пренебрегать градиентом давления па сравнению с градиентом сил трения, что можно сделать, если жидкость обладает большой вязкостью.
(2) Р е ш е н и е. Напишем систему уравненьй Максвелла ") при условии, что в рассматриваемой области отсутствуют объемные заряды и сторонние элгктродвижущие силы: д!т 6=-0, д)ч Н=О, (среда проводящая!) в виде го! Н= — Е. 4ло с (П') *) См. (!), стр. 444. ог тоах' О < л < !' О < ! <+со' о (О, !) = О, о (1, !) = сз (!), 0 < ! <+со, о (х, 0) =О, О < х < 1, д! 4нор дьэ ' дН Ф дэН д! 4нпр д~~ го1 Е+ — - — — = О, 1 дд дг 1 д!) 4п го( Н вЂ” — — — г, с дг с 1 д!) Пренебрегая токами смешения — — в уравнении (Н) с д( и используя (У) и (ЧП), перепишем уравнения (1) н (11) го! Е+ — — =О, И дН с д! (!) (2) (з) (Ш) (1 т*) (т!) (У!) (ЪЧ!) ИК УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧБСКОГО ТИПА го! го! и =Огай б[ч а — б[ч йтаб и *); зто приведет к уравнению — б!ч ягаб Е.
дЕ дЕ 4пор Аееалогвчно получается уравнение дН ст — д!ч цгад Н. дЕ 4пор (4) По условию Е=Е(Е, Е). Н=Н((, Е), где С вЂ” расстояние, отсчитываемое от некоторой фиксированной плоскости, В прямоугольной декартовой системе .координат 14, гй ь) оператор Лапласа заннсывается в виде д'-' д' д' д!ч йгад = — + — + —, дсв дт[э д[,з ' а следовательно, дэЕ дйч йгад Е= —, дьа ' дЯН б!чйгаб Н дьз Поэтому уравнения (3) н (4) преобразуютсн в (!) и (2), 2. )[еоднородные среды, сосредоточенные факторы; уравнения с переменными козффнцнентамв н условия сопряжения !2. Если ось х направнть по стержню, поместив начало координат в месте соедннення стержней, то краевая задача об определения температуры в составном сеерлгне может быть ззпнсана в виде ди, дЕ а' —, — со~х(0, дзиг дхе О -С Е <+ со, ЕМиа а,' —, О ( х (+ со, дхз Е) )тиг„(0.
Е)=)чизх(0. Е), О(Е(+со, Е) )чивх (О Е) — ) гитх (О Е) = Ссигг (О, Е) =Сапы (О, Е), О цЕ ~+со, и,(х, 0)=((х), — оэ(х~О, из(х, О) Е'(х), 0(х(+со. диа дЕ а) и, (О, Е) =из(О, б) и„(0, Е) =из(0, *) Это равенство справедливо длв любого дважды непрерывно двфференцнруемого вектора а. Возьмем го! от обеих частей равенства (1'), проднфференцируем по Е равен- ство (И'), ясключнм нз полученных результатов Н, воспользуемся соотцоше- ниямн (1Ч) н (71) и известным равенством векторного анализа ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ вЂ” =К)с —, — 1<(х(0, ди, д'и, д1 дхк ' дик д'ит — =и —, О<х<1, д1 дхк ' 0(1 <+со, и, ( — 1<.
1)=0. ик (1к. 11=0, 0<1«+аз, а) и, (О, 1) = из (О, 1), 0<и<а (О, 1) Вк икс (О, 1), О ( К (.+со, — 0<и<„(О, 1)=о(и<(0. 1) — ик(0 И) 1 ) К + — Л<лид (О, 1)=и(и,(0, 1) — ил(0, 1)), 1 и,(х„О)=К(х), — 1< (х(0, и< (х, О) = К (х), 0 < х < Кл. !4. Если в момент К 0 печь находилась в тачке х=О стержня, то крае- вая задача об определении темперагуры в стержне может быль записана в виде ди, дли, — =ил — —, — со ( х ( ае1, дК длз ' ди, дник — =от —, олК ( х (+ оэ, дК ' дх' ' и,(алК, 1)=ил (алс, 1), Ло [и, (олК, 1) — ил(оеК. 1))=К), 0 (1<+со, и,(х, О)=К(х), — <х<0, ие(х, 0)=К(х), 0 < х <+со, где Π— количество тепла, кнделяемое зле<стропечью и единицу времени, Л вЂ” козффициент теплоправоднссги, о — площадь поперечного сечения стержня.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
