1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d (846319), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Из теории цилиндрических функций известно. что Следовательно о-- ~ ~ ( ~оо) ) о(. ргг Р)г, ~о,е~ — — У (г з1п фа(не)е гсосооо'ез)п ЕДЕ з(п 1 Г 2 о Сделаем в етом равенстве замену г сов ф — алг, г з(п ф=(с(, гз Гз(аздз — сз). Тогда получится равеисгво +оГ д".'К~:.~ --,' ~ с(о)/ ~-яг). ое + 4М (о ~с ~/1 — -йд)е Пр — ~~-. Отйеты, указания и Решения Положим при < — < ~» ! ! 1. Ф (Р) уз (с )/ !з — — ) при < — < ( ! ! ). (18) Тогде ас +О» 7~ (~ ф' Сз — (' )ась с -Р~с(8 ~ Ф(8)есь' Р'с(8. (17) +СО +СΠ— с(Л ~ фф)есьск — В»с(8 ф(г) 1 уп в точках непрерывности ср(г). В нашем случае г х — $.
В силу (!7) 1е(с 1ус Гс — — 71 прн х — ас($-ага+а(, ср (х — $) = (х — 8)з ! аз 7' О при — со ( $ ~ х — а(, х+ а! -С $ ~+ оп. Поэтому +СО к+ аг и,(х, !) — ~ ф5)Ф(х — $)с(5= — ~ ф($)1О(с ~/ сз — ~с($. (18) 1 к — ОС Напомним первоначальные выражения для +СО +СО .О.с — ! О ! »с»» О»». 1 Г Г мп 1)' а~У вЂ” сс 2п ~ )'азЛз — сз +СО +О» и (х, !) — ~ с(Л ~ ф(й)соа! )сазЛС вЂ” сзесьск Л» с(й. 1 йп Сопоставляя выражения (19) и (18) для из(х, !), мы получим, интегрируя (М) по 1, М +О» +СО из(х, т)с!т — 1 с(Л ! ф(и) ! Г Г а!п 1)СазЛС вЂ” сз ЕСЬ ск-$» С!ОЗ у 3 азЛС сз о СΠ— СО к+Ос ! ~ ( -~/ (х — й)з~ „ О) Си еесдеиве к решениям задач настоящего пункта.
Выполним в правой части раиенства (1б') сначала интегрирование по Л и 8. По интегральной формуле Фурье ') получим: и. и лниниия гипнгнол!гчнгкого типл Дифференпировзине последнего равенства по 1 дает: а+ а! и,(х, ()= ф(х — ат)+гр(х+о(! ! !' д / l (х Е)з! 2 + — 1 ф® — 1 (с зт гз — —; г(В= з — ш ,(, иГ 2 оз Складывая (1В] и (21), получим формулу (!) ответа. ! «+а (3 — т! 176. и(х, Г)= — ~ г(т ~ )($, т)(а~с ~г (1 — т)з — ")йЦ, (1) 2 .) а' ! о к — а!г — т! Указ ание. Для получения формулы (1) ответа можно воспользоваться методом решения задачи !75 х+ аг 177. и (х, 1) ф(х+а()+ф((х — а( ~)з!яп(х — а() 1 2 2о !к — а! ! l 2 Ре ш е н и е, Умножим уравнение ига=лен()д нз згг — мп Ас, проинтегрируем по $ от О до -(-со, проделаем то же с начальными условиями; зто и приведет к уравнению лзни1 ()Г Р '" ,)+ )Рп (Д, )=О с начальными условиями и"'( О)=Р" (Х), ПГ"1(Л, О) ф(з)(ц, (2) где "'а а-г'-* ~ .а.
° и., Г" в-уг:„'- ~ за~за а а)-)/ ~ ~ теы ча. Решая уравнение (1) при начальных условиях (2), получим! Ша (д, 1)=1 а) созаи+ф Ог)""'17. (В) а)г 2 Умножая оое части (3) на 1уг — - мп)!х и интегрируя по )г от О до +со, ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ получим + са + с Г2 и(х, ()-йг 2 ~ д ° (А, ()мпАкяА=1; — ~1 )св»~ов(~А()мпАхяА+ 0 0 + с» 1 Г 2 г" —,, в(п (аА() мп (Ах) [(А а р' я А 0 11Г' 1- + о» вЂ” 1[à — рв )св[ (А) [в(п А (х+а() )- в)п А (х — а()] [(А-(- 0 1 Т/ 2 [' —,, [совА(х — а() — ссаА(х+а()] А О если х)а(. а»чита[вен, что к-[.
ас + о» к+а[ Г р Г2 [" к — са [» к — а' 2 [' -„, сгеА( — а() — с[аА(х+а() „ ]»р (А) А получим к+ а[ и(х, () + — ~ [р(в)[(в прн х)а(. (4) 2а Если же х~а(, го под знаком синуса и косинуса нужно заменить х — а( на а( — х, что приведет к изменению знака перед синусом и для и(х„() получится выражение ш+к ) (а(+ х) — (а( — х) 1 и (х, () + — ~ гр (в) с(в при х.
а(. (5) 2 Объедяняя [4) н (б) и одну Формулу, получим приведенный выше ответ. [р (х+. 0)+Ф (] — 'а(]) + 2 »+а[ 'к — аг[ + — ~ [р(г) [(г — в(йп (х — а() [) (г) [(г . а'к ага н и е. Применить косинус-преобразонанне Фурье, 0 ,ри б~(~ —, х 179. и (х, ()= 1[(» — — 1 пРн ( а) а* 271 И. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА У к а з а н и е. Применить синус-преобразование Фурье. ъ Г2 Решение. Умножим обе части уравнения игл=а~асс *) на~вус — вш ЛО И ПРОнитЕГРИРУЕМ ПО $ От 0 ДО +СО, ПРИМЕНЯЯ ИитЕГРНРОВаНИЕ ПО ЧаетЯМ оо) и вспольвун граничное условие и(0, !) р (1); это дает: + о дви'в'(Л, !) Г2 Г дви .:с I 2 ди . ]в=+" =аз 1рг -- ~ — в(п Лв сГЕ = аз гвг — — яп Лэ ~ д(в р' и,] д$~ р и д$ ~1 О о — ав ~Гл — Л (сов Ц) и ~ — авЛв 1/ — ~ и яп ЛЭ сГВ = ]Е=о и о l 2 = — авЛв!с'в' (Л, !)+азЛ ~/ — р (!).
ди(в, !) При этом мы пользуемся тем обстоятельством, что и(в, !) и ' стре мятся к нулю при э-о+со. Так мы приходим к уравнению +авЛвст'я (Л, !! =авЛ 1с' — р (!), Так как искомое решение + со и (х, !) = у — ~ дссв~ (Л, !) яп Лх дЛ -.Г2 о должно удовлетворять нулевыы начальным условиям и(х, 0)=иг(х, П) =О, О~х~+со, то, решаи уравнение (1), для Грс'(Л, !) следует взять нулевые начальные условия сЫ'с'(Л, О) и'в'(Л, О)= ' =О.
с(! (2) Решение уравнения (1) при начальных условиях (2) записывается в виде /2 Г и'*'(Л, 1)=а 1Г/ — ~ р(!) в!паЛ(! — т)дт„ о следовательно + со 2 Г и(х, Г) а — д! дЛ~ р(т) в!пЛхяпа)л(! — Т)с(т. о в Меняя порядок интегрировании, вычислим сначала интеграл + со + со 2 Г 1 à — яп Лх в!паЛ(! — Т) дЛ= — д! совЛ(х — а(! — Т)]дЛ— и и о + со 1 — — сов Л ]в+а (! — Т)] с!Л 6(х — а (! — Т]) — б [х+а () — т]). о о) В и (х, !) заменим х на $.
оо) Ср. с решением методом распространяющихся волн, задача 73. ответы. указания и реп«ения Так как 0<т <1, то 6(х-).а [( — ъ[)ввО при х~-О; следовательно, + ао 2 Мп )«х созаХ(« — т) «()«=6(х — а [« — т[) при О <т <«, О < х <+со. о Позтому ./.. /-.$// //а-./-ч/~-~/(/ — '.)/а- )хО при х х1 х р ~« — [ при ау а' и(», т)= — а ) т(з)«(з. о У к а з а н н е.
Применить косинус-преобразование Фурье; см. точное решение предыдущей задачи (ср. с решени м задачи 74). х.«-а « — М 1 Г и(х, «)= — ~ дт ) (з, т)/(з; — р„~ о 1»-а(«-т>1 161. а) б) и (х, «) а+а «« — М 1»-а « — П1 1 à — 1 ««т [(з, т)«(з — з)яп[х — а(« — т)[ «(з, т)«Хз . 2 мп а)«(« — «) мп )«х юм Х [х — а(« — т)) — соз [х+а (« — т)) )« х+ап — и зш Хз /(з соз)/ [а (« — т) — х» — соз [а (« — «)+х[ )« х — а «« — т« а««-т)+х з(п аз «(з а(«-т) — х н аналогнчнымя соотношениями воспользоваться в случае б). « — х /х' ° /ш х — [ /*)/,« /Π— ч — М/.
Указа ни с. В случае а) применить синус-преобразованве Фурье и в случае б) — ьссккус-преобразование Фурье. Воспользоваться в случае а) также равен«:аом ги нндвниния гипенволичиского тсепд Указание. Можно искать решение краевой задачи в виде с-х н (х. 1] ~ ф (с) те (с гс(1 — т)з-хс) с(т, (2) где ср(т) есть ф пкпн „ фу я„подлежащая определению из граничного условия. с — х и.
о. с-сс-о-.* ( .мс Ь'"=*"=а с.. ос] )' (1 — т)з — хо — йи(х, 1] н(1 — х) — сх н(т) '( ( ) с]ч, )' (1 — т)з — ха +со + со + со 188. ~ ]т(Л)я(Л)е ~ххс(Л вЂ”. ~ )(Л)е посс]Л ~ я(з)асахи 1 +со +со +со = ~ я(з)Из ~ 1(Л)есйс" *'с]Л ~ й(а)((х — з)с]з. 186. +:о ш о + со + со ! О)Сос) -)Г-- ~! ~ с( + со + со /2 с. — к (з) 1тс — ~ ]со (Л) (соз Л (х — з]+ ссн Л (х+ з]] с(Л о о + оо 1 à — я(з] [Щ х — з 1)+1(я+з)] с(з. 187. Указание. См. решение задачи 186. + со 186. и (х, 1)= — ~ ф (х — 2Л 'г~ас) (нп Лз+созЛз) с(Л— + со 1 — — ~ ф(» — 2Л]'Ы)(жЛ вЂ”.~Л)йЛ, (1) 12л .Р Прн ср(х)=Ае ссо, ф(х)шй получим: , соси Ай — х' сл /х~ з1п е 1 (2) У к а з а н и е. Воспользоваться решением предыдущей задачи, (, ) раееой задачи удовлетворяет сбыкновенному диф- 184.
Решение и(х, 1 к ференциальному уравнению ОТВЕТЫ. УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ где )(совб4 йв, Асмп б=а1. Укааание. Пршвенить преобразование Фурье с ядром васс на прямой — со.е Х.С+со. Воспользоваться соотношениями + со 1 1 ! хв . ха 1 = сов(ссфве-свеса= — сов — +в(п —, )!2п 22)си ~ 4сс 4сс) + со 1 (с 1 ! хв, ха 1 = з(п («2)в е"!бк ас = — ( ссм — — вш )12п ~ ' 2 г'и сс 4« 4«) + со + со с"- ! о" В-" 'с сов (а(в)вср (в) е 'се с(с= = ~ ср (х — 3) ~ссв — +яп — ) с(в, (П!). 2 )' а( ~ ~ 4аг 4а() +со + со 1 Р ! вв 2)с «1 в(п (а($)в ф (В) е-'Вк щ = ~ ф (х — в) (сев — — аш — ~ с(в.
(1Ч) 4а1 4а( ~ + со + со СОВХВах= ~!с — - И ~ ЯП ХЕС(х=ф (3) свс именно, подстановка х=д — 1 дает: ссв хв = с0$ (ув+ (в) сов 2(у+ Яп (ув+ (в) в(п 2(д, яп ха = яп (ув -1- (в) сов 21д — сов (ув+ й) яп 2(у. Представляя сов и яп от ув+Гк через сов и яп ог у"" и Тс, получим пения (из (3)) для разыскания интегралов + со + со сов ув сов 21у с(у и ) яп дв ссм 2(у с(д. даа урав- (4) Так как + со + оо сов дк яп 21д с(у = О я ) яп ув бп 2(у с(у = О, то мнимвя часть искомых интегралов (1) и (И) равна нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
