1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d (846319), страница 49
Текст из файла (страница 49)
С помощью импульсной дельта-функции краевая задача может быть сформулирована более компактно: ди д'и дК дхн ср — = ик — — + — <) ( х — анК), — со < х <+ со, О < 1 <+со, и (х, 0) 1(х), — со < х (+со. !5. Помещая начало координат на поверхности металла и обозначая через й(1) глубину, на которую распространилась затвердевание к моменту 1, получим краевую закачу ди, д<ис — а,' —, 0 (х(К(К), дК 'дхн' О <1<К!, — =к',—, й(1)(х<1, и,(0, 1) (К<=сапа(, — — — -кр,—, ~О<1<!и дх !ий <Е дх )х-а <с< дК' и<(й(1).
1)-ил(й(1), 1)=0, О «1(10 и .(1, 1)=0, 0<1 <К,, и,(х, О) Ом 0(х<1. !3. Направляя ось х по оси цнлнндров и помещая начало координат в месте соединения цилмщров, получим краевую задачу 3!Ц УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА Здегь эа ну ь температуры принята температура плавления (температура заг- вердевания) металла. Лг и Лз — коэффициенты теплопроводности твердого и я сз- кого металла, аа и а„' — их коэффициенты темнературопроводности; н — скрытая теплота плавления, рз — плотность массы расплавлеивого металла, 1,— нреия, при котором с(1г)=1.
Если температура меняется в очень широких пределах и нельзя пренегречь зависимостью коэффициентов теплопроводпости, эениоемкостей и плотностей ьшсс ат темперзтуры, то уравнения (!) должны быть заменены ураниеинями ср,— = — (Л вЂ” ), 0(х<$(1), ~ диг д 1 диг] ' 'д1 дх'( ' дх)' ) 0<1 .Лгг. (!'] ди, д 1 диа] сар,— = — !(Ле — ), $(1)(х(1, ~ д( дх ~ дх) 1О. Помещая начало координат в плоскости пластины, направляя ось х перпендикулярно к слою, а ось и вертикально вниз, для определения скорости ььгтнц жидкости получаем краевую задачу и,=ни„„, -1,<х<0, 1 ' !! 0 <1 <+ со. и,=тих, 0 <я(1з, и( — 1г, 1) О, и(йм 1)=0, ( и(0 — О, 1)=и(0+О, 1) =ю, ) О <!(+со, где ю — скорость движения пластины, г(ю ря — — = — (их(0+О, 1) — их(0 — О, 1))+л, 0(1(+сю, д1 '1 ю(0)=0, и(х, О) О, — 1т<х<0, О<к<!а.
Здесь у-масса единипы плошади пластины, р — плотность массы жидксстн, 17. Лля определения температуры в стержне получаем краевую задачу 2и !— ( ! — —.) — аз — ~( ! — ) — 1 — и, 0 ( х (1, О<1<+оп, и„(0, 1) О, и„(1, 1) О, 0(1(+со, и(х, 0)=иы О. х<1, Л аз— ср Здесь Л вЂ” высота полного конуса, получающегося продолжением данного стержня, у — половина угла раствора конуса, г„— радиус болыпего основания усеченного конуса, 1 — его высота, Л, с, р — коэффициент теплоправодности, удельная теплоемкость и плотность массы материала конуса, сс — коэффициент коивективного теплоабмена между поверхностью конуса и окружающей средой 3.
Подобие краевых задач !6. Краевая задача о нагревании стержня с теплоизолирааанной боковой поверхностью — задача (1) ди' дзи' Л вЂ” „= из — аз = —, 0 ( х' < 1', 0 (1' (+ со и'(О, 1']=гР'(1')ОьО, и'(1', 1') О, О(1'(+со, и' (х', 0) О, 0 ( х' < 1', !О Б. ы, Бглаи и ав. ОтВеты. Еклзания и Решения аналогична ираевой задаче 1Π— зазаче (11) — о движении слоя вязкой жидкости — т —, О < л" < г, 0 < 1" <+ со, дй дтй д1" дх"л' и (О, 1")-~р (1")ЕВО, й(1", 1') О, 0<1" <+со, и" (х', 0) = О, 0 < л < 1".
(2') (3') Для того чтобы задача (!) была подобна задаче (П) с козффнцаенгами подобия А„-, лг, йю необходимо и достаточно, чтобы выполнялись соотношения гу'(1')=»айд(1"1 пРн 0 <1" <+со, (4) где 1'=хг(', и йх 1' аз — ч, Ах Аг и'(*'. 1')4 й»й(л» 1") прн х'=1»л 1'=М" причем (х', Г) п,обегает О!(0<х'<1', 0<1'«+со), когда (х", 1") пробегает Тлн(О« "<1. О<И<+ ). (6) Тогда должна выполняться равенство и'(О, 1') хай(0, 1') прн 0 <1" <-1-оз„т.
е. в силу (2) н (2') должно выполняться равенспю (4). Дифференцируя равенство и'(х', 1')=лай(л», 1") по х" и 1" н используя равенства х" =Алл, 1'=)о1", получим: ди' ди' ., длй д'й д1' " д1" ' дх'л "дл»' Так как й(л, Г) должно удовлетворять уравнению (1'), то, следовательно, должно выполняться равеясгво 1дй дзй! ди' л Е-"и' ! — — т — ! =»г —, — тй» вЂ”,= О, " '( д(" дх»з) 01' дх'л т. е. для и'(х', 1') должно выполняться уравнение ди' й» дзи' — — 0 < х' < 1', 0 < 1' < + со.
дг йг дхз Таким образом и'(х', 1') должно быть не только решением краевой задачи (!), (2), (3), на и решением краевой задачи —; = а — —,, 0 <.х' < 1', 0 «1' <+со дй лх дли' д(г й дх'3 ' и (0„1')- р' (1 ), О <1 «+ и (', 1)=О, О<~<И. (2") (3') Р е ш е н и е. Установление аналогии является очевидным. Докажем необходимость и достаточность условий (4) н (5). П е о 0 ходи мост ь. Пусть ик уплнт1ения плнлноло!ческОГО типл Отсюда заключаем, что выполняется соотношение йх аз — т — =О, й/ что и требовалось доказать. Достаточность. Перейдем к безрззчерным величинам $, т, и в крае- вых задачах (1) н (П) с помощью формул х'=1$„Р=/',т, и'=и„'и(С, т), х"=1"$, /"=/от, и'=пои(й, т), гд константы /;, н Г„нмектт размерность времени, а ао и ио имеют соответственно размерности й и а, прочем зтн константы выбраны так, что — =йь — „=й .
о Напомним, что, кроме того, выполняется соотношение /о-= —. Краевые задачи (1) и (11) приму. вид ди дт Ро дсо ' — = —,тао — 0<$<1, 0<т<+со о и (О, т) = -т ор' (Го, т), 0 < т <+со, Ио и(е, О)=о, о<е<1, д(/ /,", оои д — — — -„'-'- т д, О < В < 1„О <т <+ ь 1 и(о, т)= — „ф" ((,"т), о<т«+ Ио иа. 0)=о. 0<1<1. Из (4) следует, что —,ф (/„т) = — „ор (/ т), 0<т<+со.
1,, 1 '1О "о Из (б) следует, что (11') 1; 1," о р о /о т. е. у задач (Г) и (Н ) тохсдественно совпадают уравнения„начальные и граничные условия; следонательно (в силу теоремы едннстпенности), совпадают н их решения. 10» Действительно. вычитая (!") из (1), полуоноо йо'1 дои' 0= — 1ао— дои' Если бы мы предположнлн, что —, ыо, то в силу уравнения [1"/ (или (1)) дх'о ди' было бы —,жо, но зто невозмажно, так как а(0, Е) ор'(р), прнчсн ~р'(т) ~0. Следовательно, ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ Таким образом Ц~..)- 1, '(', 1')- !.(" 1"), и» и» т.
е. и (х~ 1)=й«и (х ° 1,' что и требовалссь доказать. 19. Краевая задача об определении температуры в стержне, на боковой поверхности которого происходит конвективный теплообмен со средой, темпе- ратура которой равна нулю, ди' Рг~' с»р,, )» д(' дх'з сра ' ср ' —,=а' — — - — и', а'= —, 0(«'(1', 0 <1' <+со, (1) и'(О, 1')=~р'(1'), 0<1'(+са, — ~ О, ди' дх' « =г и'(х', 0) = О, О ( х' ( 1' (з) аналогична краевой задаче аб определении концентрации днффундирующега вещества, скорость распада которого пропорциональна концентрации, ди" дэи" .—,-„=0 — — йй, О «Р, О <1" <+ д(» дх"» (Г) (2) У'к а з а н и е.
Доказательство необходимости и достаточности условий (4), (Б), (О) проводится аналогично тому, как это делалось для условий (4) в (5) в решении предыдущей задачи. 20. Задача (1) «Найти напряжение электрического тока в проводе конечной длины с нренебрежнмо малой самоиндукцией, если к одному его концу при- ложена электродвижущая сила, меняющаяся по заданному закону, а другой конец за»силен черю сосредоточенное сопротивление )1з» аналогична сформу- лированной выше (см. условие задачи) задаче (П) сб определении температуры в стержне.
так как задача (!) может быть записана в виде *) ди' ! д»и' б —,= — —,— — и', 0(х'(1', О(1'(+со, д1' )(С дх'» С (1) и'(О, 1') р'(1'), ( —,+ — и'1 =О, 0(1'(+ !ди' )г (дх' )1е « =г и'(х', 0)=0, 0<х'<1', (з) (2) «) Па поводу обозначений см.
задачу 2 гл. П( и задачу 19 гл. П. й(0, (')=ю'(("), 0(1" +со, — — ~ =О, дй дха «"=1" (2') и" («, 0)=О, 0 <х" <г-. (З') й(ля того чтобы первая задача была подобна второй с заданными коэффициентами подобия й., йи йю необходимо и достаточно, чтобы выполнялись соотношения ~р'(1')=й«хэ" (1') при 0(1" <+со, где К=йг(", (4) а»= — О, В=в Г ' «1"' ар ! — = — 0! сра йг (б) Ии УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА а эаддча (П) — н виде — ав — — — й, ав —, 0 <х' < 1", О < 1' <+со, дй двй ар ). д(" дх"в сро ' ср ' "(О.
Ф")=Ф" (1"). ~д —,+-Х "1~ .=О. 0(1" (+ ( да" а 1 и" (»', 0)=О, 0(х" (1". (3') Для того чтобы задача (1) была подобна задаче (П) с коэффициентами подобия йх, йг, Аа, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись соапюшення ф (1 )=диву (Г') О (1" (+со, где 1 =йг("» 1 Ах Р— = — ав„й„ А, (4) (3) 6 1 сер С А1Йн [6) А' 1а Й> й„, )в ди' д'и' ) —,= в —, ав —, О« 1', О<К<+ д1' дх'в' ср ' и'(О, 1') (/з, и„' (1', 1)=0, 0(1'<+со, (й) и' (х', О) О, 0 ( х' ( 1' (3) аналогична сформулированной в условии краевой задачи а распространении плоского электромагнитного поля в проводящем слое 0 (х'(1" †зада П— дй св дай — — — О < х" ( Г', 0 < 1' <-(-со, д(» 4пор дхвв' и" (О, 1")=Нш и~(Р, 1")=О, 0(1" <+~, й (х" „О) = О, О < х" ( 1в.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
