1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d (846319), страница 52
Текст из файла (страница 52)
ф~ 0. ди дзи дс дхз ИИ МРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА где а„ вЂ кор уравнения С1 а(йа=— с. а Ео — постоянная влеатродаижупшя сила, приложенная к нонцу х 0 провода. 47. +«е ае Еес«'(1 — х), «~«е — дс« е1п ал (1 — х) )то+)т( и «аег()с()«е+)«1)+Надает)соаае1 ' )) (йа1+)7,=0. Ф8. Решением краевой аадачн Н«=ааНхх, 0<х<1, 0<1<+со, ах= —, се Флор' Н (О, 1) = Н (1, 1) = Не, 0 < 1 <+со Н(х, 0)=0, 0<х<1, (Рй (2) (3).. является: (Ы+ «1«ЛЧ«« ФН 'у е ~ .
(2А+ 1]лх л л' «2А+1 еш а=о 0<к<1, 0<1<+со. 1 В точке х — имеем: 2 (2' 1 л,~ 2А-(-1 а=о Остаток ряда (5) можно опеинть по признаку Лейбнипа («,)~ ~ и, ~ « — «« -"'+,'! / н, а=а+1 В силу (6) имеем: 1'(-2-')! - — ",ш ...' < — е <е при 1 .1е= —.--,— 1«Бйе. «*а* „8 Бя'-'««« — ее (Ту где Я н о — сопротивление н емкость единицы длины провсща, а сс„— полики- тельные корни уравнения ОТВЕТЫ. УКАЗАНИЯ Н РЕШЕНИЯ 2.
Неоднородные среды и сосредоточенные факторы. Ъ'равнения с переменными козффициеитами и условия с о п р я ох е н н я 49. Температура в стержне является решением краевой задачи с(х>р(х)--= — )Л(х> — Г, О«х<Г, О<(<+со, ди д Г ди1 дГ дх ~ д4' и(О„Г) и(Г, Г>=0, О<1<+со, и (х, 0) = гр (х>, 0 < х < Е, с, с, р, р, Л, Л вЂ” константы, характеризуюшие свойства стержней, и(х, Г)= ~~ а е "Х„(х], 0 <х<Г, О<(<+со, л=! (6) где Х„(х) = Ыл мп - — х л О <.с< хо — хо с'"л л (6) мп -„.— (à — х) ыл л ! хо <с< 1, вп —.
(à — х,) и ы„ †кор уравнении Л в Л в — с1д — хо = = с(й — (хо — Г), а л а а Г 1 с (х) р (х)ор (х» Х (х)о>х д )Х )о (6) (О) ГХл(!з= с(х)р(х>Х:()дав 2ппо —" хо 2 л ср (Š— хо> (10) а>по —" (Г Ук а з а н и е. См. решение задачи 164 4 3 гл. П + оо 60.
и(х, Г)= ~', а„е "Х„(х), 0<х<Г, 0<!<+со, (1) л=! (2) (з> где С, 0<я<хо, Г Р, 0<х<хо, ГЛ,О<к<хо,> с(х>= р(.)=-~ -' Л(х>=~ ')1 (4] с, хо<а<1„1 р, хо<а«, ),Л, хо<я<13 31) П1. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА Мп Ллх 0 < х<хо, Хл (х]= 5!п Ллхо »=1,2,3,..., (2) л( х) «о < х < ! ˄— собственные значения краевой задачи — являкпся корнями уравнения с(5 1.»хо — с15 Лл (1 — «о) - - 1.„ ~о ср ср ) ф (х] Хл [х) о(х -(- Сыр (хо) Хл (хо) Ь срхо ср (! — «о) С„' 2 впоЛ»хо 2 впо Лл(! — хо) 2 где и (х, О) =ф (х) — начальные значения температуры, У к а а ание. См. решение задачи 167 5 3 гл.
11. 51. + оо »оно»о 1 мт — — 1, пах и(х, 1]= — ж але 5]п —, 0<х<1, О<1<+со, л л =! 2 Р яаа а„= — (!.— х) ф (х) 5(п — йх, п=!, 2, 3, ..., где через Л обоаначена длина полного конуса, усеченнем которого получается рассматриваемый стер>конь длины 1.
+ "' !»*и* ам) 52. и(х, 1)= у~ а„е 1 1* оо/ Мп —, О <х <1, 0<1 .(-Оз л=! где 2 Р . ппе а = — ~у(г) вп — ах. л 1 жидкости и(х, 1) н скорости движения пласгины 53. Для скорости частик о(1] получаем выражения А»ото + оо 5(п ! — х 45рр %~ е и(х, 1)= — - — —— / 0<«<1, 1 — х вп ˄— ' ои! Л» (1). Алм о !' + оо Мдр!о ~! оу л=~ Л» и(1)= —— 5!о 2ро (21. Л,',+2 +А — ~ ~» '.— -'-)' , р! ро!51 аз=.— -, где л — козффипиеит теплопровсдности, с — теплоемкость и р — плот- А ср' носи. массы материала стержня; 312 ОТВЕТЫ.
УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ где 1 — половина расстояния между граничными пластинами, р — плотность >кидкосги, т — кинематический козффициеит вязкости, а — поверхностная плотность пластины, а — ускорение силы тяжести, ˄— положительные корни уравнения Л!ЯЛ=— 2р! (Л вЂ” собственные значения краевой задачи, умно>хе>симе на 1). у к а з а н и е, !(ля и (т, 1) имеем краевую задачу и,=тсс„х, — 1<к<0, 0<к<1, 0<1<+аз. (4) и( — 1, 1)=и(1, 1)=0, и(0, 1)=о(1), 0<1<+со, (5) и (х, 0) =О, О < х < 1.
(6) Для скорости движения пластины имеем; (у) о [0) О. (6) Так как распределение скоростей частиц жидкости симметрично относительно движущейся пластнвы, то достаточно определить и(х, 1) на интервале О < х < <1. Функции 1 — х Х„(х) = мп ˄— о обобщенно ортогональны на отрезке О < х <1.
(См. ре>пение задачи 167, $3 гл.!!.) 2 3. Метод интегральных представлений и функ!(ни источников 1. Однородные изотропные среды. Применение интегрального преобразования Фурье к задачам на прямой и полупрямой Определение интегрального преобразовании Фурье и общая схема применения к решению краевых задач даны в гл. 11 (стр.
2о6З вЂ” 265). 64. Р еще н не, Умиожим обе части уравнения ди(й, 1) аедзи(й, 1) 1 дг У Рйп и проинтегрируем по й от — оэ до +со, предполагая, например, что функ. пня и и ес производные достаточно быстро стремятся к нулю при й-ь. 2: со. Применяя интегрирование по частям, мы получим: +со +со .->айда = " ц;>ай,ц ! С ди . д 1 Р дпйн 1) Х 2п д1 д( Рс2а ~ + со 1 с дзи =а' — дт — е >ай с(С )гйп 3 др +со =.аз — е Ьч ~ + а" — 1Лие >Д вЂ” АР— - ~ ие-гай с(й = 1 ди >ь и=+со 1 И +со 1 Р'йс д$ (й=- — оо )> 2>с (й со )>2>с — а>сса (Л, 1), ИБ УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА йй — + а'4РП = О. Иа равенства +СО П(Х, !) —.
~ и ($. Г)е гх(с$ 1 при 1=0 нолучаем: +СО +СО 1 ! й[х, 0)== ~ и(к, 0)е сг)с»я= — т) 1'(Г)е-»~4»гй=!(1,) [2) )» 2п )»»2п Решение уравнения (1) при начальном условии (2) имеет вид й [!с„() = ! (Х) е Применение обратного преобрааования Фурье дает +со +со .1-со и(х, !)==. 1 П(йо !) ек" йь= — ( )(й) йн ~ е ' " 'егх'» () йд= )»2н,) )'2и д +со +о» + [» — 4)Π— )($)с[ф 1 е ахмсоаА(х — д)йх=- ( ) [р)е Оом с[(„ и а = Па)'и! "О» о "СО так как + О» й» е о'А'соа игт ОО.= — е 4'ч.
2а о Последний интеграл легко вычисляется дифференпнрованием по параметру. [С вЂ” Сй» г +со г ОО* [Г - т! 55. и(х, () == йт ~ )($, т) с$. 2а)гп ~ )» ! — г 66. Решение. Умногкая обе части уравнения ди [$, !) дна(с, () - ° / 2 н интегрируя по $ от 0 до +со, мы получим для синус-образа Фурье функции и(х„!), П'»' ()», Г) = ~»» — и (В, () Мп Аб сся, -/2 Г уравнение ййс»» ()г сй + а%ой»»» (Зс, Г) =О, 0 ~ [ ~+со. Из (1) найдем начальное условие йм () О)=)'м(А). 314 ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ решение уравнения (2) при начальном условии (3) имеет вид Е'с'(Л, 1) )' ' (Л) е Применяя к нему обратное синус-преобразование Фурье, найдем в силу нзиестншо равенства (4), приведенного в решении предыдущей задачи, + сс Г2 с" и (х, 1) = ~/ — ~ Есм (Л, 1) о +с .
+о» = — „'~И)а~ о о +со -»- » и о о мп Лхс(х= е цап зш Ла миЛхдЛ е " А с (осе Л (х — 1) — соз Л (х+ й)] дЛ = о сс $1» ох+ 1)» ] и(х, 1)= ...—. 1 )(Р]е "*'+е "' ] % 2а )/и) д о У к а з а н и е. Применить нссинус-преобразование Фурье, е "е" т) и(х, 1)==, ф(т)дт. 2а)'и (1 — т) м У к а з а н и е. Применить синус-преобразование Фурье; см.
также решение слелуннпей задачи. Ей. Применяя ьосинус-преобразование Фурье ') н используя граничное условие и„(0, 1) =ф ((), получим: + с» 4=+с с(й»с»(Л 1) - /Г2 ~ д»и . 1/ 2 ди = а»1/ - - — соз Лз с(а =сд 1 — — соз Лс + да о ]а=о +о» а=+ со Г2»- ди, / 2 / 2' У и и и й-о +со - Г2 Г2 а»Л»1/ ц (с () созда а а. 1/ ф (1) а»Лад»с» (Л 1) и дцсо(Л г) Г2 д) + а»)ей»с» (Л 1) ааф»р (1) *) При етом предполагается, что и и производные и по $ стремятся достаточно быстра к нулю при $-е+оо. и). уРАВнения пАРАВОличесиОГО типА где /2 4.
Ц»с»(), 1) ~ и(ф 1)созЦ»ф Из (2) находим: / 2 4". й"1(А, 0) 1Г/ — и($, 0)осе)а 4(6. Решение уравнения [1) при начальном условии [3) имеет вид 1 а. »- — а)/ — ~.-'"'"-',аа. Г2 (» и(х, 1)аа ~/ — паа ()», ()создх»[)»= +»а = — — 4 4[)(т)4(т» е — аонк-т) СОЗ АХ »й а о ( к» вЂ” » =е »а»(1-т) Дт. а ( [т)— Р;3)/(— т а (к-1)* +с» 4а» (1 — т) !6. Т) г~) — т о» вЂ” 1Р )а»(1 — т)+ дт 1 ф„т) )/г — т (»+1)» 4а" Н вЂ” т) 1 60. и(х, 1)= -ъ,-.—,' с (к+))' »а и — т) 1 61. и(х, 1)= 2о)/я 6) 62.
Указ ание. Установить сначала, что для косинус-образов ))а'(Ц е ")", я»а' (ц= „оригиналами являются Л»+6 к» 1 1 /и ) (х) = е и», 6(х) — зу/ — е-"», )/2»т й р/ 2 63. У к аз ан не. Установить сначала, что для косинус-образов )да' [)») аа Е "А, 6'а~ [А) „ОрИГИНаЛаМИ язпяЮтея к» 1 -/и ) (х)==е 4и 6 [я) ="46/ — е-"", — » -1/2 Применяя обратное косинус-преобразование Фурье (е силу равшютва [4) из решения задачи 54), получим: ОТВЕТЫ.
РДДЗЛНИЯ И РЕШЕНИЯ +ю ай 1»+ й)« > 1««о~-~ +~ -а-гчч«- Указа вне. Воспользоваться результатами задач 62 и 63. Р 1 ' й) г»+й) 1 66. и(х, г)= —... )1з) е ь>«г -1-е чач 2а 3~'и) + 1»+й+ч)«ач — 2Д е гаи «)>) «)З Указ ан ив. Всспользоваться результатами задач 62 н 63, 2. Однородные изотропные среды. Построение функций влияния сосредоточенных источников а) Неогроии«еииал иринах 66. и )х, Г) =-- -6(х, ц, Ф), — со(х, 6(+со, О <1<+со, х ~$, с)ю где (» — йр 1 й(х, $, 8) = е 2а)> пг есть так называемая функция источника для уравнения и«=а'и „в случае неограниченной првиой или «фуннпия влияния мгновенного точечного источника тепла для неограниченного стержня с теплоизолированиой боковой поверхнос>ью».
Указа ни е. Можно предположить, что количество тепла 1). мгновенно выделившееся в точке Ч в момент 1=0, мгновенно >ке равномерно распределяется по малому интервалу 1$ — б, $+б); тогда начальная температура стержня будет равна О, — оо(х (й — б, и)х, О)=Ь)х)= 26,  — б(х<В+б. 2бсро ' О, ч+б<х(+со, Решая задачу и,=а«и„„, — со(х(+со О()(+со и) . О)-)а1»).
— <х<+ ' П) 12) ф>>рмулы 16) нз решении задачи 64 н пе)ж оди в ученном ре шенин к пределу при б-«-О, получим ответ. 317 мк хплвнпния плолполм инского типа и,=азихю — со(х(+со, 0(1(+со, и(х, 0]= — 6(х — $), — со(х, 5<+со, сро (4> с помсзцью упомянутой формулы (3) нз задачи 54, либо задачу иг=изикк+ — Ь(х — $]6(Г]. — со<а, $(+оо, 0(1 =+со, (5! () и (х, 0) = О, — со ( х «+ со, (6) е пемсп>ью формулы (1), приведенной в ответе к задаче 55. Для решения краевых задач (3), (4) и (5). (6) можно не прибегать к формулзм (3) и (1), а воспользоваться интегральным прелставлением для дельтафункпии (см.
[7[, стр. 276 — 276). Функция источника для уравнения и>= — ааи„л на прямой — со -'х «+со может быть также получена на основании соображений подобия (см. [7], стр. 22> — 235] или с помощью предельного перехода в выразгенни функции источника для отрезка О(х < 1 при 1 — ь+со (сл>. [7[, стр. 217 — 222). Примечание. Если мгновенное выделение тепла в точке х=$ произошло не в момент времени Г О. а в момент времени (=т, то и(х, 1)= — б(х, $, 1 — т), — со(х, $(+со, хФ$, т(1(+со, сро (х 4>> б(х, 4, à — г)= е е>'(г т>; 2а [' п(à — т) 67.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
