1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d (846319), страница 51
Текст из файла (страница 51)
зная квадрат нормы собственных функций, рассматриваемых в задаче 111 гл. П. нетрудно получить кшщрвг нормы собственных фуикцкй (8). Ответы. уклзлння н Решения гве се (х) Н вЂ” — — )~ )'И / )7И р'И )7И ) ! )'И (7з — — (ут (Н 5!т — 1 — — сй — 1~ ~ сй — х а '( а а а 1! а + (- )— 1Р+ — ~ зй — 1 И аз) а 1 , Р'И з'Й ~ГК '! 1 Р'И ест Н сп 1+ 3!1 — 1 /+ (тзН~ зй — х (Н+ — ",)з ~" + со — (о'лйа + а) е 1 Н о(х 1! ~„апе " ~соз)сох+ — 3!П)снх)ю и=! (3) (6) ос=отсс — И [и — ис[, — л < х < н, О <1 <+со, (!) и (х, 0) = [ (х), — и < х < и, (3) и( — и, 1)=и(п, 1), и„( — и, 1)=ссх(н, Е), О<1<+сю, (3) является: и (х, 1) = ар+ е "'о (х, 1), + со о (х, 1) = ~ ', (аа осе пх+ Ьн мп пх) е о=о ! Г ос= й" ~ [1 (х) ие)с!с (6) ! Г ! Г ап — ~ [[ (х) — из! соз пх дх, Ьн = — д! [! (х) — ие!'е!п пх дх.
(7) и и Если начальная температура колька [(х) кн и,=сопя!, то и(хс 1)=ио+е "'[ит — ие! б) Надачи пмплоправодноспси с переменными ераничными рсхоеиями и сиободсисии чхенама, зависящими опс х и 1 33. Решением краевой задачи ие ази„„, 0<к<1, О<1<+со, и(0, 1) О. и(1, 1)=А1. 0<1 +со, и(х, 0)=0, 0<х <1, (!) (2) (3) 11 йе, ".и (х)=с!вднх+ .'.-мийох я а» определяются так исе, как в ответе прей„ дыдупсей задачи. 32.
Решентсс с кривой задачи И1. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА является! и(х, 1) — х1+ — (хт — Р)+о(х, 1), 0(х(1, 0<1(-]-со, + «а лвв«'ав (в ( лих о(х, 1)= ~ а„е (в Ип —, л=-1 (4У (б) ГДЕ д г ллг а — — ~ г(гв — Р) яп — «1» л Зав(в (б) о (в и т] « 34. и(х, Е]= Ф(т)е ( «Ет яп — -+ о + ав лвлвав + У аае (в аш —, О(х<1, 0(1(-].со, (1] (1) (2) (3) (1) (2) (б) является + са ьал ав 2(]1 ъ' ! Е р (1, ллх . лихе и(х, 1)= — у — !(! — е Р Е! а!п — ' яп — '. срл'ав д~, лв !] (4) л=- ! ( 2 Р .
лпг ал= — ~ /(г) яп — «Ег. л — ! (2] о У к а з а н н е. Частное рещение уравнения, удовлетворяющее граничным условиям (см. условие задачи], вюяио искать в виде лх я (х, 1) =-«р (Е] яп —, (б) где «р (1) — фуякпия, подлежа(дея спределсиню. Зб. а) Решением краевой задачи и«-— -(Рива+/(х, 1), 0<х(Е, 0<1<+со, и(0, Е)=и(1, Е)=О, 0(Е(+со, и(х, 0)=«р(х), 0(»<1, е(х, Е] Где 1(х, 1]= ' —, стлясгся: ср ( Е 4» «««,вав 1 2 чйт (: ', «Глх . ал$ и(х, 1)= ~ «р(т); т е е«п — яп — «14+ ! е л=! ( + ав авлвав ~ 2 и! (в (( «! . ллх .
ллф 1 + ~ ит ~ /((, т)1 — ув е ( яп — ая! — «/в. о е л =-1 6] Решением краевой задачи . и(=ави,х+ — 6 (х — хе), О ( х < !, 0 (1 <+со ср и(0, 1)=и(1, Е)- О, О 1<+аз, и (х. О) =О, 0 < х < 1, ОГИЕТЫ. УЕДЗЛНИЛ И РЕШЕНИЯ 36. Рсюеаисм нраевой задачи иг=аи „вЂ” Ьи-(- — е- 6(х — оо(), 0<я<1, О<1< —, А сро оо и(0, 1)=-и(1, 1)=0, 0<1- ьо и(х, 0)=0, 0<а<1, является: +го мп— ппх 2А ы т]1 1 1 .
ипоог оо( пить( оо( ] и(х, 1)= —,е ~ —, —,— ! мп — — — соо — + — ). сра! йн „ггопоао '( 1 пп 1 пп 1 , от+в Р (7) (8) (9) где 1 (х, 1) =1(х, 0 — (ига+(]1) тр( (1) — (аях+()о) фо (1), <ро (х)=ф (х) — (игх+(]о) г)г (0) — (агах+От) фо (О). Репнине краевой задачи (7), (8), (9) будем искать в виде + со о(х, 1)= ~ о„(1) Х„(х), 0<х <1, 0<1 <-(-со, о. ! (10) (11) (12) где Х„(х) — собственные функции краевой задачи Х" (х]+)оХ (х] =О, 0 < х < 1, Х'(О) — ЬХ (0)=0, Х'(1)+ЬХ (1! 0*), (!3) (!4) ") По навозу определения собственных значений Ьа к нормы собственных функций Х„см. ответ к задаче 30.
37. Пуконо решить краевую задачу ого=ахи„х+((х, 1), О<х<1, 0<1<+со, (1) их(0, 1) — Ьи(0, 1)=ойг(1), их(1, 1)+Ьи(1, 1)=фо(1). 0<1<-]-оэ, (2) и(х. 0) ф(х), 0<х<1. (3) Если потребовать, чтобы функция ф(х, 1) (ах-]-()г) фг (1Н-(аох+(]о) фо (1], О <х < 1, 0 <1 <-]-со, (4) удовлетворяла граничным условиям (2) краевой задачи (!), (2), (3), то козф- фнциенты а,, (),, ао, (]о определяется однозначно: ! !+Ь1 ! ! 2+Ь1' ' (2-]-Ы)Ь ' о 2+Ь1 ' ~о Ь(2+Ь1) ' Ренские красной задачи (!), (2), (3) можно искать в виде и(х, 1)=о(х, 1)+ф(х, 1), 0<х<1, О<1<+со, (6) где о(х, 1) — новая нскомая функция, а ф(х, 1) уже определена.
Для функции о(х, 1) получаем краевуго задачу ог=аоо„а+)о(х, 1), 0<х<1, 0<1<+со, о„(О, 1) — Ьо(0, 1)=0, о„(1, 1)+Ьо(1, 1) О, 0<1<+со, о(х, 0]=фа(х), 0<х<1, и1. РРлвннний пАРаполнчнского типа ФУикцни же ол(!) подлежат опРеделсиню. ФУнкпиа о(х, () Уже УдовлетвоРЯет граничным условиям (8).
Если потребовать, чтобы о(х, 1) удовлетворяла также Равненшо (7) и начальномУ Углови1о (9), то отсюДз опРеделнтса фУнкции ол (!). ла етого разложим в ряд по собственным функциям Хл(х) правую часть уравнения (7) и фл (х) +со !л(х. П= ~~ ~Ол(!)Х„(х). 0<я<1, О <!<+со, Л.=1 где )'л (16» +со Ч'(х)= ~', а Х (х), 0<х<1, (17) о=1 а„= „+ „+ „~ 1)' (г) Хл [г) 1)г. (18) +оо ~ , '[о„'(!)+а%.,'о„(!) — 8, (!)]Х„(х)=О„О< к < 1, 0<! <+ос.
(19) Для выполнении равенства (19) достаточно, чтобы выполнялись равенсгва о„'(1)+аЩо„(!)=8„(!), 0<1<+со. л 1, 2, 3, ... (20) 1 ах мы полУчаем диффеРенциалыпле УРавнениЯ длЯ опРеделениа фУнкций ол (1). Полагая в (12) 1=0 н сравнивая с (!7), мы в силу (9) получвм. + со ~ (ол(0) — а„) Хл (х)=0. 0 < х< 1, (21) Для выполнения равенства (2!) достаточно выполнения равенств л„(О)=ал, л=1, 2, 3 (22) Решая дифференциальные уравнения (20) прн начальных условиях !л2), чим: — лаьл! (!) ~ л ли ю0 ( )л + л~л~ а полу- (23) Зтим решение задачи закавчнваегся.
38. Рсшениеы краевой задачи (!), (2), (3) (см. условие) яаляетсш (4) и(х, 1)=о(х, !)+ф(х, 1), 0 х<1, О<1<+со, Подставляя (12) и ( !5) в уравнение (7) и предполагая равномерную сходил1ость получа1ошихся производных рядов, получнм1 ОТВЕТЫ.
УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ +СΠ— ( О.з+А)1 — И Хе (Х) Х„(г) б(х, г, 1 — т)= е =Х [Х )з (6) [Хе [з и Хе имеют те же значения, что и в ответе к задаче 30, [* (х, 1) =[ (х, 1! — Игр (х, 1) — г)1(х, 1), (7) 1р* (х)=11(х) — ф(х, 0). (3) А 1г"'"+и соз [И (х — 1)+и!)+е-ест+и ссе [й(х — 1) — ы1) 30. а) и(х, 1)= с!1 2И1 — осе 241 ез '1 .г' соз [й 1х+ 1) + ы1 [+ е М с™ соз [й (х+ 1) — ы1) ~ с)1 2И1 — соз 2 1 е» ПЕИ ХЫЕГ ~Е ~1+и Х Ыиг 0) и(х, б — )(е[(! — 1), + йй [ еепм 1 [,- ЫЫ ,аи-АХ-1Е1 з-Ьа-1 Х-1ЬХ~ + (1+1) за'1-П1+е "'1 !'1 А Е" <1Ы1~~аз1 Е-Ьпм1х 1ьг в) и (я, 1) - = ((е 1 ([И(!+1) — И) ЕЬ'111'1-)-[И (1-[-1)+И) Е-З 11+1~! гза ОХ !Ег г ЗП ил 1ЬЗ + [И (! — 1) — И) ее'гы|'+[И (1 — 1)+И[ е-ь'1-1~ 1) ' где И= — ~7 а)1 2 У казани е.
Рен1еиие краевой задачи в случае граничных а) при произвольном начальном условии, т. е. решение задачи иг=азихх, 0<х<1, 0<1<+со, и(О, 1) О, и(1, 1)=А созыт, 0 <1<+со, и(х. 0)=ф(х), 0<я<1, условий (!) (2) (3) ион<по иснать в анде и(х, 1)=о(х, О+ш(х, 1), 0<х 1, О<1<+со, (4) где о (х, 1) — частное решение уравнения (!). удовлетворяющее граничным условиям (2), а ы(х, 1) есть решение краевой задачи ш „, О<х<1, О. 1<+ ~, ш(О, 1) ш(1, 1)=О О <1<+ ш (х, О) 1р (х) — о (х, О), 0 < х < 1. Функция о(х, 1) может быть найдена как действительная часть частного решения краевой задачи (3) (6) где ф(х, 1) имеет то же значение, что и в ответе к предыдущей задаче, а 1 1 ( о(х, 1)=)1(т)[е(г, т)б(х, г, 1 — т)1(я+~фа(г)б(х, г, бах, (3) о о ш, хндвпниин плрлволичнского типа которое беэ затруднений ма!нет бьггь найдено в виде (l (х, Е)=Х(х) еган.
Таким образом 1 а(х, Е) = — (Х(х) егие+Х(к)е !ага, 2 (7) (8) где черта над Х (х) является символом комплексного сопряжения. Согласно (8) а(к. Е) не содержит членов, стремящихся к пуп!о нлн к бесконечности прн Е-ь+оо, н так как !!гп ш(х, Е)=О, то а(х, Е) представляет ! +со аснмптагичеснне значения температуры при Е-ьсо. В случае граничных условнй б) нли в) задача решается аналогично. и(к, Е)= — е "! — + у е сових . лора 2 ч- — -! В точке, днаметральс з протнзоцоло>нной псточннну *), + со и(л, Е)= — 'е — — + е ( — 1)а . ы( ~з .-! лгра ( 2 а=! Ряд, стоящий в прав й чс.-ти по-лепного равенства, удовлетворяет условням теоремы Лейбница а анакопсрененных рядах; поэтому погрешность, допускае- мая прн замсне его суммы частичной суммой, не превосходит по абсолютной велнчнне первого нз отброп4езных членов, з) Задачи дифгружзи !ц~раа 8 з е 4!* 0(Е)=1 Е! 1--~ ~ (2„+!), а=о 41.
У к а з а н и е. 9 (Е) = а ! и (к, Е) дх, з )с дц )с и, (ц, т) дт = а' ~ дт г )и к (ц, т) 44ц а б а з с использованием грапнчных условия. ') По поводу обозначений см. задачи 3 и 32. где и (к, Е) — нонпентрация днффунднрующего вещества в цилиндре в момент времени Е. Заметим, что ЕЕ(Е) можно определять также с помощью потока днффунднрующего вещества через открытый конец: ()(Е)= — ига ~ !' ди (О, т) дк !) Эквивалентное!ь этих двух выражений ле~ко проверяется с помощью ннтегрнровання обеих частей основного уравнения ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ Выра!кение для и(х„1) может быль получено кзк частный случай решения задачи 27.
| ) ( » ». — л,*) » 1 Н » е -е»х сс Н ~сов Х„х + Фпдах) ах дл 42. СС (1] =(Сео ч=! где )»е — корин трансцендентного уравнения х„ с(йй»»1- Н, а Н вЂ” коэффициент, входящий в граничное условие и .=Н (и — (ср) при х=й. У к аз а н и е. См. указание к предыдущей задаче. Выражение для и (х, ср может быть получено из решения задачи 30. »4(С)=(С о 43. е) 'Задач» алаиародинамихи +»»»» е — с!»и» 4б. о(х, С)=В + е~Х вЂ” е 4 (Ее — !'е) %Л ( — 1)" с!»лс (2а — 1) пх и соз 21 а=! 0(х (1, 0 (1 с.+со, где Ее — постояяиая злектродвнжущзя сила, приложенная к концу,» — 1 а ).
и С вЂ сопротивлен и емкость единицы длины провода. 46. ъ» !»Яа (1СС +рк~+С»а») сс зш а п=-! Указание. См. указание к задаче 41. сш 44. а) 1„= —, )сф па б) 1зр==- ° 2)с () в) при любой длине пилиндра процесс нарастания коицентрапии имеетлавинный характер; здесь () — коэффициент размножения, входящий в уравнение — =И вЂ” +()и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
