1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d (846319), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Задача сводится к интегральному уравнению Абеля о). «р (с) 1 «С «"- р(т)«ст уай$ и«(С 3 УС вЂ” т' й где й — ковффицнент теплообмева, входящий в граиичаое условие и„(0, С)=й(и(0, С)-«р(С)]. «с г е а*«с-и 97. «р(С) — — 1 И (т) с(т, бс й] — — (х — о«21 — — с оо о', 2ос сао и (х, С) (х — о ') Об интегральном уравнении Абеля см, ]9], том П, й 79, а также ука азине к задаче 114. где й* — козффиннент теплообмена, входящий в уравнение и, аоихх — й" и. с 1 «С г е а (с 96.
«р(с) — — 1 сс(т) ст, йай )Сп «СС ргС:т где коэффициенты й н й* имеют тот же смысл, что и в задачах 96 н 97. Ю о, ос — — Сх-о«П — — с с +со 24« оао «д+о. ( „( ]6+сот. Т) е"* «х — о«с — 11«(х — е««+1««1 )«е ««и — О з ин«С — тс ]«с(2 оо( <х <-(-со, 0 <С <-]-со. Указание. Перейтн к новым независимым переменным $ х — о„(, С (вто с«ютветствует переходу к подвижной системе координат с началом в точке хо=во() и невой искомой фунниии по формуле и(х, С) оад+рсо(й, С), 100.
и(х, С) оо оо е2ое ](7)(се 4о с а 4о"с до йа Ргй Указ анне. См, указание к предыдущей задаче. 101. сьс)« с 42) ~ а со 1«(т)е сст. (С т)зсз Указание, См. укаааиие к задаче 99. Отвнти, укАзАния и не)пиния |4 т оо аэ г |к — ев| — 1)' " ы — и)- — 'з) 1 ) Г я)гй ) ы| 102. и (Х, Г) 1(2о )' и) )к — е|)+1)г + |к — с|)+1+|В* |ч +е е'| — сз ~~ е -Мд с |к — ио))' + а' |к — ьо)р )Ч 4а~М вЂ” т) Од 1 г )а~|) — О ЬР Л ).
+ 2ез ач ее + се р~~а 1+еда тГ з — РФ вЂ” 1) |к — М+д~ +" |х — ж)+1+ пя |ь ) + ее и- о ае Г |еж| -ж го'ч,) )) ое Ю к аз а и и е. См. ухазание к задаче 99. е) )(оивчиьй отреаох функцией влияния мгионеииаго точечного источника тепла (ефункцией нсточниказ) для конечного отрезка 0- к(1, соответствующей данным гранич. ным условиям, называется температура б (х, $, () в произвольной точке к, О< к < 1, в произвольный момент времени 1) О, вызванная выделением () сре) единиц тепла в точке $, 0(з(1, $чьк зтого отрезка в момент времени (=0, если концм отрезка поддерживаются при саатаештвуюшнх одно- родных граничных условиях.
Таким образом функция источника О (х, $, 1) должна быть: 1) решением уравнения теплопроводностн, 2) удовлетворять состветствуюшям однородным ГранцЧНЫМ уепааняи, 3) ОбржцатЬСя В НУЛЬ Прн 1-ь0 И ХЧЬй И 4) удОЗЛЕПЮ рать предельному соотношению $*х 11|и ) О(.Ь, ) -(). г-ой |жо ялн, что то же самое, !пп ) 6(к, 1, Г)г)х 1 | ой-з г~о при любом )) ) О ее). функция источнвна 1х — 1р е 2о г'иг' для уравнения и) ь" озихк на неограниченной прямой удовлетворяет требованиям 1), 3) н 4), *) Здесь с — удельцая теплоемкость, а р — линейная плотнасп, массы. е) Поедналагается, по 0<$ — Х(з+Х(1, тп.
УРАВНИНИИ ПАРАИОЛИЧИСКОГО ТИПА если к [1) прибавить такое иепрерывиое решение д(х, $, г) уравиеяия (2), обращающееся в куль при Г О, чтобы сумма гз — йр С(х,й,г) ! е ШМ + (х,в,г) 2а г' й( (3) удовлетворяла травкиным условиям 2), то (3) будет уловлегворять всем тре. бовзиням 1), 2), 3), 4), т. е. булет фуикпией источника для уравиеиия [2) иа конечном отрезке, соответствующей граничным условиям 2). Слагаемое а(х, $, 1) может быть построеио для иекоторых типсв гранич«ых условий методом отражений; щим методом решаются задачи 103 — !06. 103.
Реше иве. Продолжим стержень О~а~( в обе оторопи иеограиичеиио я будем считать его поверхиость всюду теплоизолироваииой. Пусть в точке $, О~3~(, в момент 1=О выделилось () ср единиц тепла. Повыпюние температуры (т — йр ! — е 2ар ь' вызванное в неограниченном стержне — со ~ х ~+со действием этого мгиовеиного источника, не равио кулю при х=О и х А Если же, кроме того, и в точках — $, -э $ж2га, а=1, 2, 3, ...э), в момеит (=О подействовали ыгиовениые тепловые источиикя мощностью -э. э(, распределенные, как указаио ма рис. 36, то температура +ьэ ( 1э — а+ма)' Сэ+$+тчПП 0(х, $, Г) = э' (е эеч — е чам /, (21 у2а ау' пг' вызваииая в иеограничеииом стержие — со ( х (+со действвем всех этик источников.
будет равна все время кулю как в точке х=О, так в в гочке ,х =1. Действительно, каждому источиику мощностью +Я согласно рис. 36 соответствуег симметричиый отиосительио х 0 источник мощностью — Я„и О чэ О 40 е е -л-Е -л -л+~ -1 -Ф (э ~ Т л-Ел а+~ Рис. 36. чбратио, каждому источиику мощностью — О соответствует симмегричиый отио. сительио х 0 источиик мощностью +9, так что их действия в точке х 0 взаимно увичтожаются. То же самое можно сказать и о точке х 1, Представим О (х, й. 1) в виде (» — 11* 1 эам 2а)'й (3) +о) ( )з — 1+ таб' се+ 3+ ва) ) 2а г' й( дь( ) Точки — $, -и- $ .в- 2л(„л 1„2. 3, ..., получаются из гочки й по следовательными симметркчвымя отрюкеииямн относительно х' 0 н х 1, Отнеття. хцАЗАния и Решения +0» / гх — 1+2»0 [»+1+2»(!й) ~ (~й~», й, ()(= ' чт( ( "" — е ("! /~~ 2а) н( 1 [» — В+ аль 1 (л Ов (* <=е ( ! < е *! прн О<х<1 0<2<! (б) Аналогично для остатка ряда из членов с отрицательными а получаем оценку ((т — !РР ()(л(х, $.
1)~«=е»ч 2а г' н( Таким образом для остатка ряда (4! имеет место оценка ((т ((ар 1)(л(х, й, М)1< е а', О<х, $<1, 0<(<+со. (6) а р'((( Нетрудно установить, что при а-/(» А(» — раг — -1-1 2 будет выполняться неравенство *) (и — $(ьв (а(- (!ьи 1 1 =е»ч а= — е а~И а рп!» пйи О Е( (». (Е) (й — (Рм ') Для етого в функции (р(1) = е ач перейдем к ново а)! пг (А( — 1) 1 зависимому переменному т —, Мы получим: а г(( 1 1 (р(!) (р (т) ()2-1)1У зм ()у — 1)(р'м + СО 1 Символом )) ( ) обозначен ряд (2) за вычетом члена (1). Члены 2а)' и! л =- — »» ряда (4) имеют производные всех порядков по х и ( нсюду при 0<х<1, О <( <+со. Ряд (4) сходится абсолютно и равномерно при 0 <х< 1, О <(< (, где (» — произвольное положительное число; так же ведут себя й ряды, пслучаощнеся из (4) почленным дифференцированием.
При (-» О, () О каждый член ряда (4) стремится к нулю. Таким образом 6(х, г» 1) удовлетворяет всем трегюваниям 1), 2), 3), 4) определения функции источника. Оценим потире(висеть, допускаемую прв замене суммы ряда (4) его частичной суммой г' при 0<я<1, 0»(=(~(». Рассмотрим сначала ряд нз чле»= — г( нов с положительными п, Если раскрь(ть скобки, то он станет знакопеременным рядом, удовлетворяющим условиям теоремы Лейбница.
Повтому для остатка ряда получаем оценку П!. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА Решая методом разделения переменных краевую задачу и! = ази, 0 < х < 1, 0 < Г <+ со, и(0; Г) и[1, !) О, 0<(<+со, и(х, 0)=б(к), 0<а<1, (9! [10) [11) получим для функция источника выражение + сл лспсл* 2 ю ! ! лпх пссй О(л, й, Т)= — У е ! а(п — а(п —.
(12) )(чтя ряды (12) и (4) формально пресбразусстся друг в друга ), однако их роль в представлении функции источника различна; если ряд (4) сходится тем быстрее, чем меныае (, то ряд (12), наоборот, сходится тем быстрее, чем больше й Нетрудно получить оценку погрешности, допускаемой при замене суммы ряда (12) его частичной суммой. Мы имеем: + сл лсыас +сл лялс ~ 2 ът р ! ппх ппр,~ 2 с! — и с ()г (х, й, с)1 — 7 е з1п — з(п — ~ — 7 е < л=м-ь! л=В+! +со ~ а ' и'ба $ ей ай 1 ~, О)(И Р~~~ НЗ) ас Аспл У7 при 0 =л, 4<1, 0<(<+со. где Так как 1 — 2тз 1 ф'(т) — с 0 при т) —, ес ас2 то ф (т) монотонно убывает на отрезке — < г <+оэ: следовательно, (р ()) 1 Р'2 2(А! — 1)с (з монотоиио возрастает при 0 <1 < ), Значит, при всех А!, удав а* лепюряьхцих неравенству 2 — (з)сл (т, е, неравенству (7)), будет выпал (А! — 1)з оз .мяться иеравенспю (8).
«) См. 17), сср, 479 — 491 Следовательно, при А1, удовлетворяюшях неравенству (7), будет удовлетво. ряться неравейошо !Л вЂ” !)си (с7!Т(х, $, ()!<=е " прв 0«(=-(*, О~», ~<1, (б) а гсп(л ОТВЕТЫ. УКАЗАНИЯ И РЕШЕВИЯ Выгоднее, однако, выполшпь оценку не остатяа ряда„представляющего функ« цию влияния, а оценку остатка ряда, яредсгавлякзцего решеняе краевой задачи, получейное с поьющью втой функции, так квк янтегрнровзние, вообще говоря, улучшаег сходиьюсть ряда ч). 104. А(в)одом отршвеняй получаем: Е ш ( (з З+ Зз)Р Сч+ $2МР) б (х, $, г) — У )а чзч «-е ззч ), (1) уа РЙ аы 0<в<1, О<(<+со, Схема соо)вештвующего расположения мгновенных источников тепла мощностью 9 ср азображена яа рнс.
37. Д"6 "Л -Л+6 "1 -6 () Д 7 Д-6 ЗУ Дт Рис, 37. )хХФжтз)Р ) — е чоч < е зч 2а ~ГЫ 2а Г' й)ч (2) а -Г)ч при О<хД<1, О =Г ц1ч, пгн — — +1. 2 Таким образом дли осгатха ряав (1) имеет место оценка +ю Ю вЂ” ))~Р +сч ЗФ 2 нт ()7)г(х, $, 1)(че= Я с вч <= 3 г а™~ах арй .2> арж— 1 з и+) )т (3) 1 ~ ( )й) )~ (4) а — Гйвк О (нй)*. А)~а 2 при О~хДчц1, (6) Меп)дом разделения перемеиньш вля втой же функция ксточинка полу- чается вырюкение + сз в~зРа~ 6(х, $, 0 — + — у е соз — соз а.. 1 2 'К) Р я их а ай з') и 1 Дли оста)на ряда (6) получается опенка Г Р-Ъ а Кн) 1 пря О~хД а(, О<1<+со. (6) ь) См. оценки, выполненные про решении задач 22, 27, 26, зз, 46 ва стоящей главы, В салу соотношеняй (7) и (6) решения предыдущей задачи длн членов ряда (1) имеем: 331 1П.
УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 103. Методом отражений получаем: + ' ( 1 -4+т О)" 1л~В+Я 1)л) 6(х, $, 1)- )' ( — 1)л(е ь*ч — е ллч ). (1) 2а У' и( лы Соответствующее распределение мгновенных точечиых источников мощвостыо 4) ср и — () изображено иа рис 33. -г(-Ф -Л-Л+Ф -У -Ф и Ф г Л-Ф Л Л+ Рис. 33.
Метод разделения перемеииых даеп 2, — ~ 1 2 1 2п 1 пх б(х $ 1) — ~ е лп соз( + ) ~сов + ) . (2) 21 21 л е 'Оценка погрешности, допускаемой при замене суммы ряда (1) его частичкой суммой, выполняется либо с помощью неравенств, аналогичных иеравеиствам (4) и (3) вз решения предыдущей задачи (грубая оценка), либо аналогично тому, как вто было сделано и решении задачи 103 (более точная оценка).
Для остатка ряда (2) получаем оценку [(2)У+ 1) )'(1) аУЛ)' ~ 2! 100. а) Если И удовлетворяет неравенствам а - Грев )У» — ~/ — +1, -(~г 2 И 7Я )п!2 )ГМ 1+1, (2) то для остатка ряда (2) решения задачи 103 будет выполняться веравеиство ))( (х, $, 1)(~з при О~хДла(, Ол--(~тл. (3) б) Если А) удовлетиориет иеравеиству , ()Упа )Г(" ~ 1 епа.Г)л 1 / (4) ао для остатка рида (12) решения задачи 103 булет выполняться иеравеиство ()1 (х, $, й)(~а при о~х,$~1, глл--(-<+со. (5) 3 а м е ч а и и е Неравенства (1), (2), (4) позволяют при мданном Ф иайти какое тл, чтобы выполвялнсь соотвошекия (3) и (3). 107.
а) Если Р/ удовлшворяет неравенствам а /(л А(з: — ~~ — +1 2 бг( — „=) ~ 1-в1, (А1 ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ го для остатка ряда (1) задачи 104 выполняется неравенство !)7т(х, Ч, 1))<а прн О.-хД~1, 0<1~ать. 6) Если !У удовлетворяет неравенству Ф(_#_™ )) 1 — апа $' Ге, г 1 г — а ~ (би)г г гф ~ (би) па+аз ~ ((6 -) — (и — ) ~ дт+ о е + ) дг~б)д~. (2) 1ереходя в раненстве (2) к пределт прв а-ь 0*а), получим ннтегрзльную фор.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
