1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d (846319), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Для емкости единицы площади плоского коидеисатора получаем выра. женин а а) С=4— ,Ь ответы. нказлния и гвшиния Эалвча в) имеет решенна лишь при А (Ьт — ат)+2аВ С 23 причем решение задачи в) определено с точностью до адаитнвиой постоянной. 33. а) Если Ьа 1, и(а) О, то 1 и и (г) — иш — аай 6 б) если Ьи юг+В, и(а) О, го А В и [г) ~ — (г" — а')+ — (гт — а*). 12 6 У к а ванне.
Искоман функции обладает сферической симметрией, и и(г) и удовлетворяет обыкновенному даффереицнваьному уравнению с правой частью ! Аа — — 1(гш 1(г). г Аг 1 1 (1 1[ 34. а) и и(г) — [гт — ат) — аа [а+а) [[ — — — ! 6 о [а г/' А „В ГА б) и и [г) -о- (гт — а"! + — [г — а) — ае | — [а+а)+ — И вЂ” — — Г). 2 ) 6 2 ))[а Прн А 1, В О получаем первое выражение. У к а а а н и е Решение обладает сферической симметрией и и [г).
2 3. Функция источника Функция влинния точечного исючиика или просто функция источника ()(М, Р) первой краевой калачи для уравнени~ Ьи — 4пр определяется в трехмерном слу ше *) следующими условиями) В(М, Р) — — + а[М, Р), 1 ! [1) 4н.гмг где гд[Р— расстонвие между точкой наблюдения М (х, у, х) н источником в точке Р ($, з), (), а а (М, Р) — функцнн, регулярная и гармоническая всюду а рассматриваемой области Т с границей 2.
На границе 2 функция О удовлетворяет условию В),-О. (2) Таким обРааом постРоение фУикцин источника В в некотоРой области ). сводятся я решелию первой краевой задачи для уравнения Лапласа йо=о в т ври сцецвальном граничном условии ! о) 4пга[Р (3) ) С . щ, гл. )у, 2 4. ЗЧ. УРАВНЕНИЯ ЗЛЛИПТИЧЕСЦОГО ТИПА Электростатическая интерпретация функции источника О [М„Р) очевидна: вто— потенциал в точке алектростатнческого поля, создаваемого внутри объемау' ! варзшом величины е —, акредогоченным в тачка Р, если граничная поверх4п ' ность Е области Т являетсн илеально проволяшей и подаерживается пра ну! ! левом потенциале, т.
е. заземлена! злясь — — потенцизлэарядавнеограни. йп г чеином пространстве, а о — потенциал поля, индуцированного зарядами на Е. Для ряда простьи областей (полупространство, слой, сфера н др,) инду. цнрованное поле может быль найдено с помошью так называемого метода огра. женнй, сушиосгь которого заключается в том, по вне рассматряваемой области по определенному закону помешаются заряды.
Эти заряды называются иэобра- жениями, нли зобрззацпз, исходного заряда относительно данной границы, В случае плоской гранили еабразы» являются зеркальными изображениями оригинала в плоскости или плоскостях, если область ограничена несколькнмн плоскостями. В случае сферических границ для построения изображения при- меняется преобразование обратных радиусов (инверсия) з), В настоящем параграфе помешеиы лишь те задачи, которые могут быть решены методом изображения.
Если функция источника С(М, Р) известна, то решение первой краевой вздачи длн уравнения би — Рвт (4) при условии на границе и! ! меже~ бьггь найдено в интегральной форме (б) ц (М) [Р] <Ьр+ С(М Р) Р (Р) птр дб длр где л — внешняя нормаль к поверхности 3. Полный заряд, распределенный иа 3, дается интегралом Емкость проводника Ю определяется по формуле е' уг з где У' — потеиоиал проволника Е.
! Сц. (Т), гд. !)~ З 4 12" дС где -ч- — производная функции С нз границе Е, нвятая по направлению внешней-нормали к Е. Большинство задач иастоншего параграфа взято нэ злектростатнкн. Юычио помимо потенциала поля интересуются поверхностной плоскостью зарядов, индуцнроваиных на проводниках, а также емкостью проводников. Введем необ. холямые понятии.
Поверхностная плотность зарядов на проводнике с понерхносп,ю Е, помешениом в среду с диэлектрической постоянной в, равна ОТВЕТЫ. УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ Лля двумерной обласга 0 с границей й функция источника 6 [М, Р) определяется аналогично б(М, Р) — 1о — + о(М, Р), ! 1 [у) гтаР а[ О, (8) где о[М, Р) — регулярная в 0 гармоническая функция, т. е. в этом случае ф) икция С имеет логарифмическую особеиносп в источнике. 1. Ф ункци я источника для обл астей с плоскими границами 88.
Потенциал точечного заряда е равен и=с~ — — — ), где ге= МР =)' (» — Е)з-1- [у — т))з+ (х — ~~~, гг=МРг= [х — 4)т+(у — т[)з+[г+[)з, м (», у, х) — точка иаблюдеяия, Р те, т[, Д вЂ” точка, в которой находится заряд. а Р,(е, т), — ь) — его изображение в плоскости »=О. Плотность поверхностных зарядов 4п '[дг!» О 2п [[х — Г)з+(у — т[)а+аз) "' Полный заряд, распределенный на плоскости х О, равен е' )) одхг[у — е. Функция источника первой краевой залечи лля уравнения Лапласа в полупростраистве, очевидно, равна 1 /1 11 6(М, Р)= — — — —, (2) 4п'1 е гг)' а решение первой краевой задачи в полупрострвнстве х )О даетсн формулой ("( 2» 4п 5 5 Кх — Е)з+(у — т))з+з"] й Решение. Отражая зеркально в плоскости а О заряд е, поммцсииый в точие Р(й, т), ь), получим в точке Р(а, т[, — Ц заряд величиной — е; его е потенциал в неограниченном пространстве равен — —.
Негрудноэзметить,что гт ' 1 1 6 ' е. заРЯды е(Р) н — е(Рт) компенсиРУют дууг дууга на плоскости х О. оэтсму, пользуясь принципом суперпозиции, лля искомого потенциала будем иметь: и е~ — — — ). ИА УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА 1 Функция источнике 6(М, Р) соответствуете= —. Вычисляя затем нормаль4л иую производную ( — -~:= =. дб '1 2г ) и' пользуясь формулой (6), нз стр. Збб, получаем решение первой краевой вздачи Ьи=О (г)0), н)г-з [(х у).
йб. Потенциал заряда г (Рз) равен и=йлзО, С(М, Р)=— 4л к~1 ~г„гз ~' п — оз где гзз Уг(х — 0)з+(у — ТР+[г — (2л(+~))з, г' )'(х — К)з+(у — з))з+(г — (2л( — щз, заряд находится в точке Рз(0, т), ь), м(х, у, г) — точна наблюдения. ! г, ! т Рнс. 40. Ряд (1), а также ряды, получаювшеся почленным дифференцнровзннем рцкз (1), скбдвтся равномерно и абсолютно в области О ~г 1. Р е ш е н и е.
Для построения ряда (1) надо производить последовательные отраженна в плосиостяк г 0 и г ( (рнс. 40) н найти пологкение нзобра. отняты. эцлзлмия и иншнния женнй — енсточннковз я. »стоков». Пронзведя отрвженне в плоскости г=О, получим функцню и е( — — —,), 2п!+ь, И'-2п1 — 1. +е -е где и — целые числе, привнмаюпгие значения в пределах от — со до +со. Пользуясь принципом суперпозиция н суммируя действие всех изображений е(Р„) и — е(Р„') и реального заряде е (Р). получаем ряд (1).
Докзжем, что этот ряд равномерно сходится. Для этого рассмо трим его л-й член 1 1 и» г„г' Пользуясь теоремой о среднем значении, будем иметы ~д (1)3 2~(г — (2л1+~')) откуда следует И 2 1иа(~(,)» ~ (2„1)з)-еэ, тек кэк Ь» (1 ! г — Ь»1<1 н, следовательно, Р ( — й)'+(р — т))'+( — (2 1+Г))' ~ (2и — 1)1. полученная оценка показывает, что ряд ~ а„ сходятся равномерно » = — ЯЭ н абсолютно, тэк кэк межорэнтный рвд ~", йз сходятся.
Докэжем теперь равномерную сходнмосгь в слое О г(1 рядов, полу венных одно. и двукратным почленным дяфференцнровэинем ряда (1). Оценим пронзводные Ог '( г„' г„ г» ° а-(гэ которая удовлетворяет граничному условию и О пря г О л не удовлетворяет условию и О прн г 1; производя затем отражение в плоскостн г 1, получимг и, е ~( — — —,) + (-- — —,)~, так что и О пря г 1 и и»ЧьО при г О. Продолжэя этот проиесс поочередного отражения в плоскостях г=О и г=1, мы приходим к ряду (1). Имея в виду, что прв кюкдом отрзженни э»ряд е переходит в заряд — е я обратно. нетрудно установить, что координаты нзобрзженнй выражаются формулой л, ввлвнения эллиптического типа Учитываа далее неравенства гэ ) ~ л(/, г,', ) (л 1 /, получаем оо откупа и следует абсолютная и равномерная сходнмость рядов р Й.
мт дп дг и ~ - ф-, поскольку рялы ~~) дон' и ~~) Ь'„в сходится. Алело о — оо о» и — оо гично доказывается равномерная схолимость рялов Таким абрагом рвд (1) ыожно дифференпировать дважды 1 Поэтому ряд (1] беэ члена — всюду в слое О(г</ удовлетворяет го уравнению Лапласа, поскольку все его слагасмые удовлетворяют этому урав- 1 ленив, Первый член — дает нужную особенность в источнике. го 37. Прямоугольные составляющие электрического полн равны — о где о — проводимость среды, / — мощность источника тока, (г — $)о+(у — обо+ [г — (2л/+д)о, 1 (2) )' (г-с)о+(у — тдо+[г — (2л/ — ь))о. Ряды для компонент поля Е„, Е, Е, сходятся равномерно и абсолютно и представляют функпии дважды дифференцируемые, следовательно, удовлегво- рякхцие уравнению Ьи *О всюду, кроме точки го О (г $, р *о), г /), в которой онн имеют нужную особенность '"-- — - (-)+-- ' — — ж( )+-" / д/11 Ео +- (2) 4по дг )го/ У к аэ а н н е.
КаждаЯ иэ компонент поли Е„, Е„„Ег УДовлетвоРЯет уравнению Лапласа, так что ЕЕ *О, и имеет требуемую особенность ($) .в источнике. ОТВЕТЫ. УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ При а=0 должао выполняться условие Е О. (4у По((ешди источники мощности ! а точках й„=йл(-~ и Ьа=йл1+~с, суммируем и ~ля от атнх источников Š— ' — лт йгаб ~ — + —,!1.
Л ОЭ Граничное условие (4) будет выполнено, так как — (2п!+ Ь оа (та/~=с ба ~т /( =с «(х — ~)а+(у — тйэ+(йл!+Иэ)'А Равномерная и абсолютная сходимость ряда (5) не вызывает сомнения, по скольку ~дЯ~ ~а — (2л1+П~ 1 А тде Я вЂ” некоторая поспжнная. Если суммировать не поля отдельных источников, а их аотенциалы, пэ получается ряд который расходится, так как его члены положительны и имеют парадокс ! л Почленное дифференцирование ряда (б) ноэможно, так как прн этом получаются равномерно и абсолютно сходящиеся ряды. 66. Ищется решенно краевой задачи Ьи=0 внутри слоя 0( а ~ 1, при условнв, что в точке р(х ь, х=к, р ц] потенпиал и имеет оссбенносп, ! 1 и~в 4по тэ ' ,р $Г(х х)э (.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
