1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d (846319), страница 62
Текст из файла (страница 62)
а=о 381 1У. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА б) Требуется найти функцию и(р, ф), удовлетвориощую уравнению Лвпласа вке круга радиуса р а, краевому условию ди ~ — =)(ф) дт )з» н условию ограниченносзн при р- со. Решение обеих зинич ищется методом разделения переменных виалогично задаче 65. р» А, 68. з) и (Р, ф) = зУ (А„соз еР+ В„мп ву) — — ' ° л=! ил+« А« б) и(р, ф)=— 7, („„.( А)рл» (А„соз ар+ В„з(п лф) — — « л 26 ° (2) »=! где А„и „— яозффициснты Фурье функции ) (гр), определяемые по формулвм (2) задачи 65, 69. Потенциал злектроствтического поля равен и= з 1' +У, У,— У, 2ар з(пф + згс(6 при р(а (внутри цилннлра), и аз — рз (1) У +1'з У вЂ” У 2ир мну 2 + вгс(8 при р~а (вне цилиндра).
и р~ — оз Составляющие поля Вр и В, вычисляются по формулам ди 1 ди ВР— —, В др' " рдф Плотность поверхностных зарядов Ъ'к звание. Метод разделении переменных диет решение в виде рядов У«+Уз 2(У, 1'з) у /р ~зь««ып(2й+1)ф «=о внутри цилиндра (р ~а), Уз+ 1', 2(У, Уз) з а з «1п(2й+1) РР «-о вне цилиндра (р~ а).
'Ряды, стоящие справа, могут быть прасуммнрованы, если воспользоваться формулой Х г~+' 1 ! +з — — !и —. 2й+! 2 1 — з (8) з-е ОТВЕТЫ, ИКАЗАНИЯ И РВШЕНИЯ В самом деле, а)п(2й+1) ! 1 ч йш+~ ш+ Е ч~т йиа+аа-а!»»»ь!ф '=Х "" »=Ю » а » а Обовначаи т=ееач йсоаф+атав!пф Х' $Е ев $СО»ф — ф»)нф и польауясь формулой (3), получаем 1 (1+х)(1 — х') ! 1 — 8»+125 Мпгр 1 фа!п !р ! а — аО.~ а -г — 2$~ ( и(р, ф) «А — мигр, Р а ЗА /р !а и(р, !р) В+ .- р »1п !р — 4А !( — )! »)п 3!р, а (аг Р ЗА %! / р!х» со»2аф м(р.
ф) А — »)пф— и п»~! (О,) 4»а 9' »=! 2) б) Решения внешних краевых аадач даются выражениями и(р, ф)-А — "Миф, Р ЗАО lаф П(Р, гу) В+ — МП ф — 4А ! — х! »1П Чф, Р '(й О ЗА ~З (а !г» со»2»ф и(Р ф! А а(пф 7~ ! ° Р и а'а '!Рг* 4А» — 9' а ! )г) уках а ни е. В вадачах 2) и 3) испольаовать тригонометрическую формулу »Ша р 3 Мп !р — 4 Мп 3!р. Л. Предполагая, что поток движется в стрншпельном направлении Оси к, введем цялиндрическу!о систему координат (р. !р, г) с Осью х вдоль оси ци. ляндра н полврной осью вдоль оси ц тогда распределение температуры в цилиндре дается формулой и(Р ЧП вЂ” Рсоа ф+сопа! 4 й Условие ) а(а( 0 выполнено; аадача инее! Решение.
е Отсюда в силу (2) и следует формула (1) ($ — при р ~а или й — при Р а и Р Р)о) 70. а) Решения внутренних краевых яадач имеют вид ГЕ. НРАННЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА ) (аз+ее) У+(без — ез) "з ) 4в, 4 (Уг — 1'з) в ~змтзрзга+3 з!и (2ег+1) и л ~с (е,-(-е,)ььа+з+(вз — в,)азм+з 2ш+! при р<а, из(Р' гр) 4е. (е,+,1(У,— У,)+4 у, + СО 2 [У,— 1'з) зД Ие, +еИ Раа з+(ез — е,) а™з) Ьма+т н,~з (е,+ез) Ьаа+з+(ез — ез)аиа+з рва+а и(р, Ф- а(п (2т+ 1) ф 2ш+1 при а(р СЬ. и, из, ди, диз прн р .и е, — — вз— др др Решение. Будем искать решение и т в виде суммы и~ г из и, Уз+йн из Уз+де, где функция й г явлнется гармонической, удовлетноряет при р Ь крае ( йг *( йз вону повию ус й,-) У, — 1'з при 0 ~ ф ( л, 0 при л ( гу «С 2п и условиям сопрнжения пра р и.
Полагая затем й й (р)'р(ф). й -)гз(р) Ф(ф). находим, как обычно, функцию Ф(ф): Фа(ЧФ=( н для Р, и йз получает уравнения й / йк, 1 р — (р — ~ — из)Г,=О при 0 Ср(и йр( г I Юз1 Р— (Р— т! — лз((з О пРи а (Р ~ Ь йр'( йр / с условиями сопряжения )гза (а) (тза (а), вф'за (и) аз/(за (а) и,условием ограниченности )т,„(О). У к а з а н и е. Требуется найти решения уравнения Лапласа в круге радиуса а(и и,) и кольце аш.:р~ь(и (из) при граничном условии )' У, при ОСф кл, и,(Ь, у) ( при л(ф С2л и условиях сопрзження ОТВЕТЫ.
РКЛЗДНИЯ И РЕШЕНИЯ 234 Отсюда находим: ))во=А Р" Вяо Сор" + —. Р" ,Условна сопряжения днюю Ао — Во, 2е е,+е, Со = о ~ асоВл. в,+св Общее решение задачи, очевнднгь можно написать в виде йо(р, 2) У !Р" + ь ' — 1(Во созову+Во Мп лгу), а ~ ( вв+ео Ра г' =в йв(р, гр) ьу — Р" (В„сов лгу+Во нп еу). цт 2е, где В„н „— коэ$$нцнешы, определяющиеся нз краевого условия прн р=(г. 73. и~ и (Р, <р)= — соз<р. авоо Р но= — овх — огр сов ф. и ио+й, Полагая получим для й вторую внешнкво краевую вцпачуг Ей=О при р )а. дй ~ — оо сов ф.
др (о=а ТЕ. а) Если шар движется в направлении осн а, то в снстеме координат (р, О, ф с началом в центре шара потенциал скоростей жид~саста равец ! а' .- Р О)- —..— 2 гв б) Есле жидкость двннгется в отрицательном направленнн оси в, то ав ( и и(г, О) оо(г+ — в)сгвО. У к а з а н н е, Вводя систему коордвюп (Р, гр, в), связанную с осью цилиндра н осью в вдоль его осн, получаем для потенциала скоростей и=и(Р, ~р) краевую задачу Ьи О прн Р)а, ди ~ бо сов гр.
а' 1 74. и(Р. Р! — оо (Р+ — совЕ. Р Указание, Если поток двнзгется вдоль осн х, то потенциал певозму щенного движения жидкости ранов 1У, УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА У.к а а а в н е. а) Требуется найти решение уравнения би О при г ~ а с гршсоиккм условием ди ~ оа Ом О дг)г а и условием регулярности на бесконечности. б) Полагая и=оа+й, где ив=пег=оег совО, получим для й краевую задачу пункта а). Решение. а) Поскольку граничное условие не зависит от ~р, то и по тевциал не будет аависеть от ~р, т.
е. и и(г, О). Уравнение Лапласа для функции и (г, О) имеет вид ~ге )+ (апб — )~О. Решение будем искать в виде и(г, О)=Е(г) сот б, что для Е(г) дает: ~гт ) 2В О, )г' (а) — ое. й 1 йЕ( дг йг Полагая Е(г) г", найдем. о1 1, пт — 2, В т. е. обшее решение уравнения имеет вид Е(г) Аг+ —, где А и  — посто. янные М1 Ив условий прн г п н на бесконечности ~) В(г) ) ( — ~ получаем~ г г' А О, В ееоа 2 так что па )г (г) - ое —.
2гт Задача б) после учета укааання к ней решается аналогично. 76. Вводя сферическую систему координат (г, О, ю) с началом в центре шара и полярной осью, направленной щюль внешнего поля, длв потенциала электростатического поля Š— йтаб и получаем: Зе, иг — Ео — гсоаб прк г(а, 2е,+е, (е,— ет)аа ! 1 ит — Ее (г— — 71ом Ь при г Са, 2е -)-е, где а — радиус шара. Поляривация шара равна р З (е,— е,) Е 4п е,+2еа а его днпольиый момент 4 , (ег — еа) еа р — паа Р~ аа Ее~ вг 1+4пим аг+ 2еа 16 и АЬ итака а АР. ответы, нцлзлния и нешения Решен не.
Чтобы определять поле ввутрн н вне шара, недо решить для потенцнвла следующую залечу. Полоюнм пз па+бе где и — Еаз — Ег соз 6. Ддя определення пт н йз надо решить урзвнсння бит О прн г Сп, Ьиа=б прв г~а с крвевымн условнямн и,— а,— — Е, отме, ) ди дйз прка и ет — еа — — ваЕа сов 6 т нг дг н условнем регулярности для йа на бесконечности. Решенне этой задачи естественна искать в виде ит(г, 6) Ит(г)соз8, дз(г, 6)=йа(г)созе. Подстановка в уравнения в креевые условна дает: г%т+угй; — 2)тт О, тай(+2г)т' — 2)7а=о, Ит (а) — Яз (и) = — оЕ,„ М ет)тт(о) — ез(та(п) — еаЕа (йтз! с — прн г-гсо, где М вЂ” некоторая постояннея.
Отсюда уже нетрудно нзйтн )(т я )(з. Зная потенциалы, нетрудно найти поля Е, — йгвб ит, Е, — йгаб из. Вектор электрнческой полярнзецнн Р шара определяатсв следующим рзвенспюм: (е, — еа)Ет Р, Внутри шара отлична от нуля лишь компоненте Еат дн, Зеа Еа — — ' ." Еа» дз 2еа+от твк что Зе, Е Еа= к — + — Еа. ее+ ст Поэтому полярнзвцяя шара равна Зез (е, — еа) нтгта*т а' 77. Выбираем скстему координат тэк, чтобы ось з былв направлена вдоль осн цнлнндрз, а поле Еа — вдоль осв к. Потенциал поли внутри и вие цилиндра дается формулами 2ее и, (р, ф) — — Е„рсовф при Р~а, е,+е, е,— е ав( гге (р. 9)= — Ее (р+ — — ~ сов ф при р ~ а, ив+ее Р! где а †ради цилиндра. Поле внутри цилиндра равно и направлено вдоль оси х. Поляриаация (е,— и ) ев ) Ее.
если начало сферической системы координат поместить в центре шаре, а полярную ось х направить вдоль внешнего поля Ео. Указание. Потенциал следует представать в виде суммы и=ио+й, где ие — Еев- — Еог сов 6 — потенциал внешнего поля. Для потеипнала иска. женной части пола й получается следующая краевая аааача: Лйл й при г)а, й=Е»асовВ при г а.
+Во)пр+Ао (1) вш УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО типА дипольный момент на единицу длины (е, — ет) ев р=ллвРг = авЕ». Указание. См. задачу 76. 78. Потенциал поля вне шара равен ав( и (г, ф) = — Ее (г — — ~ сов 6 при г ) а, г'в 79. Потенциал поля ав1 а и (р, гу)= — Ео (р — — ) сш <р. р Плотность поверхностных зарядов равна ал»2Е»север.
Указание. См. задачу 78. 80. Есля «)Р ~=)(гу), и) ь Е(гу). н(р, |р)= ~' ~(А»р»+ — »)стнлф+(Слр + — "-) вшлгр~ »=г где Ьлр'и алф' )Ь»)»" а»Е'„и) алЬ» Ь»рм' — ал)'„ь (Ь )„'" — а Е ')а Ь Еоо Ьвл е» ° » Ьвл «ш е о= /а — ро е )п— Ь 1па — )о«1п Ь а 1п— Ь ОТВЕТЫ. УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ причем 1»п, 1» и равные яи Ф', Ром — ком)хйициенты ФУРье ФУнкций ! (ф) и г" (ф), и 1 )(ф)бр, 6 = — ь!(ф)тьпфг)ф и 1 Г = — ь )(ф) з)плфдф.
е (»=1, 2, ...), и (р, гр) = )! (р) Ф (ф), получим: )Т„(р)=А~Р»+ — ", Ло(р)=Аз+Во!пр. В отличие от задачи для круга здесь следует сохранить оба слагаемых, так как точка р=й находигся вне кольца. В результате мы получим частные решения вида ио(р ф)=Аз+Во!пр, и„(р, ф) ~А»р» + — ) созпф+ 1 С»р»+ — 1 мп и р. В» )-~» ~ Составляя затем общее решение и требуя удовлетворения краевым условиям прн р=а и р Ь, будем иметоп Аз+Во 1па+ !)' ~(А»а»+ — ф) сизиф+(С»а»+ — ») мп пф~=р(ф), »=г Ао+Во 1п Ь+ ) ~ ~А»Ь»+ — ») созлф+ (С»Ь»+ — ») з)п лф1=Р(ф) »=-М откуда н получаем уравнении для определения А„, В„, С„и В» А ио+ — "=)о, С„а" + — "=)й', Аз+Во!пС=)а", » а» ' " и» = А»Ь»+ Ь» Р», С»Ь»+ Ь» =о», В„ , „ и„ Ао+ Во 1п Ь = Ге '.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
