Главная » Просмотр файлов » 1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d

1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d (846319), страница 65

Файл №846319 1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d (Будак, Самарский, Тихонов Сборник задач по математической физике) 65 страница1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d (846319) страница 652021-08-19СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 65)

д)= ~'„, А«Х«(т))'п(у), где и=г .Х„(х) — собствеииая функция краевой задачи Х" +)Л =О, Х (О) =Х (а) =О, 1'„[ь) ори д ( Ь, У (д)= =( -' г(д) ири Ь .,д(Ь вЂ” решевие задачи ӄ— )иди=О, Ё;,— )г7„=0, )'„[0)=0, У„()г)=У«(6), е,)', (Гф=е«У«[Ь), .определяемое с точиссгью до псстояивого мггггжггтсля, !О!. и (х, у) =- — [(у — Ц« — (х — а! [+гопы. где Ь вЂ” козффициеит тепло2аЬЬ проводи ест н. У к а з а я я е. Требтется решить вторую краевую задачу для уравнеиив ,и,„„+ит«=0 внутри прямоугольника при краевых условняк Ьит(х, О)= — -, Ьгг,(0, у)= — —, их(и, у) О, иг(х, Ь) О.

0 ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ И атом случае сведение втой задачи к двум задачам, у каждой из которых на трех сторонах взяты нулевые краевые условия, невозможно, так как при этом нарушится необходимое условие разрешимости второй краевой задачи — да=О. ди дп с Решение. Так как граничные знзчеиня не меняются вдоль сторон, то можно искать решение в виде гармонического полинома и (х, у) = д -(- Их+ Су+ Пху+ И (х* — у'). удовлетворяя краевым условиям, находим соответствующие значения коэффи- циентов и в реаультате приходим к формуле ответа. Решение можно также найти методом разделения переменных, полаган и (х, у) = ~ ил (х) ул (у), л=э где 1'л(У)=сов г Ллу †собственн функция краевой задачи У"+Л =О, 1" (О)=У (Ь)=О, Г ип)з соответствующая собсшснному значению Л =1 — 1.

') ь)' Найдем: Ь ил(х)= — 1 и (х, у) ул(у) йу для п)0. 2 =ь.) е Подставляя сюда и интегрируя дважды по частям, получаем ь ил (х) = — — — Ь'Мз — (пирл)е+ ихх)'лл с(У Учитывая краевые условия в уравнение и„„+и„„=О, будем иметь: 2() 1 и (х)= — — + — ил(х), »ЬЛ» )"л или 20 ил(х) — Лли (х)= —. пай ' Интегрируя краевые условия при »=0 н х=и, получим условия для и„(х)р и»(0)=0, ил(и)=О.

Отсюда находим: и (х) — — — при и ° О. 20 й»ЬЛ» Чтобы найти иэ (х) = — и (х, у) ду, 1 Г ь ~ 1У. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА проинтегрируем уравнение Аи О по частям, что дает: ае (х) — ио (О) = — и (а) = О, аЦ» откуда ие (х) — — (х — а)'-(-сопа1, 2аЬЬ Таким обрааом мы получаем. лп и(х, у) — — (к — а!'+ — г — +оспа(, 2аЬЬ дал~ л~! и Оп у) — ((у — Ь)т — (х — а)Ч+ сапа( 2аЬЬ так как лн 4Ь ЬУ вЂ” (у ь)г. и л' в=! 102.

Еслн поток д вадан иа стороне у Ь, то „(2т+ 1) л л (2т+ 1) у г(п Ьлг л~г (2т+ 1) л (2т+ 1)в ь имеет внв и(к, у, г) и,(к, у, г)+иг(к, у, г)+иа(х, у, г), где и! (х, у, г) ~' У т=! х=-! ((г)ае а)! т"' х+(!!) аь чтоо (а — х) лт ла Ф „»~ ип Ьуйп г' ет а с Г »ит пг ги' л ~/ — + —, ' у' ь 'с'' 4 Р лт лп !! — 1! (у, г) а!и — у а1п — г Ду !(г тй ь (1 1,2). Функпнн иг(к, у, г) н иг(к, у, г) определнкпсь аналогичными»рормулаын. У к а а а н н е.

Удобно представить решение в виде суммы и(к, у) и,+о(к, у), где о(х, у) — решение уравиення Аи О, удовлетворяюшее краевьш условиям о О прил О,к а,у О, — ьог(к, ь)» д. 103. Решение уравнения Аи О внутри прямо>гольного параллелепипеда при краевых условиях и!к е 7»(у, г), и(х =)г(у, г), и!» )г(х, г), и! Ь )»(х, г), и(г ~=)а(х, у), и(х 'а(к, у) ОТВЕТЫ. УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ Реп~ение, Искомую функиню и(х, у, г) можно представить в виде суммы трех гармонических функций и„и,, и,, удовлетворяющих краевым тслоющн и,:„, !г(у, г); и,)„',(д, г); и,=О при и=О, Ь; г=О.

с. г"!и-о (з(х, г); из|с-ь=)о(х, г); и,=0 при х О, а; г О, с, из з-о=)з(х, у)1 из1з-с=)з(х, у); из=О прн х О, а; у О, Ь. ()становнмсн на определении и,(х„у, г). Полагая и, (х, д, г)=Х(х) и(у, г), после разделения переменных получим для о(у, г) краевую задачу о собст.веннык колебаниях прямоугольной мембраны с закрепленной границей с „+ею+Ли О, с=О прн д=-О, Ь; г О, с, ворннр 1вонные ссбствгннью функции которой чмеюг виа / 4 . пю ли с .„(у, г)=1à — мп- — дз(п -г (т, =1, 2, ...), Ьс Ь с Г юз пз( а собственные значеннв равны Л пз! — + — ). Определян затем ив урав- озО Ьз з пения Х" — ЛмоХ=О функцию Хм„(х), получаем: и, (х, д, г) ~ ~Р ~(Амо знугхмох+Вомс(з Р Л,„„х) им„(У, г). о1=! о=-! Коэ)фицненты разло сипя А „и Вмо определяются из условий при х=О н х а.

Аналогично находим функции из(х, у, г) и из(х, у, г). Заметим, что при решении первой краевой залачи для прямоугольника мы свели вспомогательный гармонический полипом, с помощью которого значения граничных фуннций в углах стали раиными нулю. В задаче длн параллелепипеда построение такого полиномв значительно сложнее и это сделано не было. Построенные ряды поэтому сходятся неравномерно в окрест.ностях углов параллелепипеда. 104. Потенциал электростатического поля равен 16У и(х, у, г)= — ' ч пз мп — х зю д зн и 1 — + — (с — г) (2щ+1)п .

(2и+1)и 1уу (2т+1)з (2и-1-1)з т=с о=с (2ю+ !)(2л+1) зпп ),' + с Г(2ю-(- !)' (2л-(-1)з из При с оо получим ре~пение для полубесконечной трубы и(х, у. г)= мп (2ю-~-!)и . (2и+1) и Х МП вЂ” д ~/ ггм Ь!)з+(Вор !)з пз о~о лм (2ю+! ) (2и+ 1) м=оо=о ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ Ам,„, Вм,а, С,„, 1) .„— коэффициенты разложения функций /(р, ф) и вл й (а) 2 Г Г И3 -=1',."=';) йп и / (а) в „- „, ('~ьею и„) — ~~~ге ° .

ати(х„(р("1)1' ~~ ~ (2) Задача решается методом разделения переменных. Подстав- Решение. .ляя выражение и(р, ф, г) 1/(р, ф)Х(а) в уравнение ! д/ ди1 1дзи дти — — (р — )+ — — + — -О РМдр/ рдО д .н разделяя переменные, получама для г'(р, (р) уравнение 1 д/ д)'1 1дтр — --~р — )+ — — +и =о РМ др1 р д4 с граничным условиеи (4) (/(а, ф)=О и для Л(г) — уравнение Полагая далее будем иметь: Л" — Ха=О. Р(р, й-В(р) Ф(ф), — '„—" (О ~В)+ ~д — ') /(=О, (в) — ' — "(р"— В)+(Л вЂ” "—,)/( О с граничным условием В(а) 0 я естественным условпем ограниченности в нуле а) ~ В(0) ~ «со.

.Отошла находшп В(р)-/.О/) р) Храничное условие прн р=а дает: Уа (р) О, где р= )/А а. ") Си. (71, добавление 1. Ф" +АРФ=О, (у) где ч — постоянная разделения. Из условий периодичности функции Ф по углу ф находим ча ла. Для Д(р) мы имеем уравнение Бмхеля (Ч. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА Обозначим Р(")„Р(п), ..., )»(и) корни этою уравнения.

Таким образом крае- (' )((и'(з вая задача для Ъ'(р, ф) имеет собственные значения )иип=~ — ~ » которым и»п — '( соответствуют собственнью фуннш(и — / „) образующие дие ортогональные системы фуннций, для которых 1)'ш-1'-'2 Р'()"ш'И'-- Г' Р = 2 [у.'(Рщ')[гя 2 при п=О, гп ( при и г:0„ а»довлешоряя краевому условию при г=0 си»О ,(и) Х ') (Аиьпрм, +В~,~7~, )з)( — "(=)(р, (р), »и ( п=о мы найдем: В ( ° п ,(и)(» з)(— »и й (»и.

и (п)» а)) й гп и =~ ~п., )р .Р„„ ги и »»пьп [»уи [а»» (Р» ф)ум, (Р ф)р()Р((ф ф))тпьп(Р. ф)Р((Р((ф. Общее решение нашей задачи представится в виде ряда и(Р, ф, г)- Ч»', 1»', (Аи, Ре.п(р» ф)+Ви,жиги.и(Р» ф)) 2п„ф(г)» ш=(п е (де 2п„„(г) †решен уравнения (5). Поскольку искомую функцию и(р, (р, г) можно иредставнть в виде суммы и(р, ф, г) и, (р, (р, г)+из(р, (р, г), где и) (р, (р, г) и и,(р, (р, г) — гармонические фуннции, удовлетворяющие условию и)!» О, и,)и е — — )(р, »р), и, ~ ( О. и (~ =О иг!хе=0 их'(и-(=Р(Р ф). то достаточно ограничиться отысканием функпин и,(Р, (р, г). В втом случае (и) 2 п (г) = з() — "' (( — г).

ОТВЕТЫ. УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ Р'м (1 — г) )сяы" А аЬ +Вщ аЬ / <а! и и /р, и и(р, г) 1) „, /е!( — р). рят' '( а а! ! аЬ вЂ” 1 и где р,'и — иьй корень уравнения /,(р)-О, а коэффициенты А„, н Вя даются формуламн а аи! 1 пп и=и(р, г)= 7 /„' ' яп - г, а=! /а~ 1 и) 108. 1 /: (г)+ — /'(а) — /а(х)=П. г Частные случаи! а) /„= —, (1 — ( — 1 )а), 2/а 4А! Е) /а= — (1 — ( — 1)") (ппр /н (2т+ ц ( и (2ак+ 1) /а( р) яп а пэ а',,~ /и (2а!+ 1) ( (Ет-1- 1)а я=о /а( э 2 !" .

пн где /„= — /(г! яп —; — г «г — коэффициенты Фурье, /а(г) /а(/я) — функция Бесселя нулевого порядка от мнимого аргумента, удсялвпюрякяцав уравнению ж тилвнпния зллнптнчпского типа В частности, юЬ вЂ” (1 — г) рю а Ою 111. и (р. г) =2У (О~ юЬ ~1 и пенна (ю(р"')=О. Замечая, что получаем решение задачи для полубескоиечного цилиндра ,м~ ОЭ (рса1 и(Р. г)=2Ую 7 (ю>у <юп гю ~ — р). г' ю )гт д(нм) ~ а т =! !12. Решение вадачи йи О (ран, О(г(со), и)о-а=О, и)е-ю=рю имеет внд е имг (р, г) — 2рю,)' ф»Х р~ю~ ю — р) г( юг) (а т= — 1 а решение задачи Да=О (р (а, 0(а~со) и ~р-а=ую.

ии) =О диется формулой и(Р, г)=1'ю — игм(р г). 112. Распределение температуры внутри цилиндра дается формулой где 2ае е)"Ф ) г (Рм) Поле на осн цилиндра (р 0) равно рфю~ юЬ вЂ” (1 — г) а )пп ич г ю И», юЬ вЂ” 1 а г '"' сгн — ю ю(ю о ею~ — ) „„, где )ф — корни ураврт "ю (Р ) (ю~ иш — ю а =е 414 ОТВЕТЫ, ИКАЗАИИР И РЕШЕНИЯ р,» — корень уравнении ее [И)=0, й — коэфрипнепт теплонроводности. У к а з а н» е.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
6,07 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6418
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее