1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d (846319), страница 68
Текст из файла (страница 68)
у к в з а н и е. Следует воспользоваться решением задачи 140 о потенциале заряженного ксшьца, а именно: если начало сферической системы координат находится в центре кольца, на котором распределен заряд е, то пошнциал п1 в любой точке (г, 0) равен (см. задачу 140 при и = — ) 2 г' '5' (')"' Р„(0) Р„(сгиб) при . =-о 'г'з(г, 6)= ( — ) Р„(0) Рз(ом 6) при ч з и г )а или г=а, 0 чь —, 2' и г «,а или г=а, 6~— Нормальная составляющая напряженности злектрического ноля на сфере г Ь равна д(/ 1 е %~ (2л — 1)!! Ег — — з < = — ( — 1]ч ' (4п+1) Рт„(сов 0). дг ~, а аЬз зг! (2п)В ОТИЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ причем 6.
если л нечетно, Ра(0) а!38 (л 1) ( — 1), если л летно. 2 ° 4 ... л Решение поставленной задачи нужно искать в виде суммы (г = (г а+ Уа, где (га — потенциал зарядов, индуцированных на сфере. равный Уа — 7 Аз ~ — ~ Рза(соз8), еа " Ь а=о Аш находится нз условия (г 6 пря г Ь. 143. Если а †ради шара, а центре ко~араго помещено начало сферической системы координат, то потенциал тока во всех внутренних точках шара выражается формулой Г жч 4л+3 Г г (заю Ь'(г, 8)= — ч ~ — ~ Рпы, (созе).
2яао ~ы 2п+ ! ( а 1 а-ь Указание. В силу симметрии задачи У Е при 6 --, и позтому н 2' моясно рвшать задачу для 8~6~ —, полагая 2' / г (огьь Р (г, 6) ~~)„Ав ы ~ ~ Рэма (соз 6) а-о Ь(озффициенты Атаы следует определить пз условия дрь( дуь( ь о дг г' дг г а зжа 144. Предположим, что точечный заряд находится в начале координат. н г а и г Ь вЂ” плоскости, ограннчнваюшие пластинку, ез — дизлектрическая постоянная пластинки, ат — диэлектрическая постоянная пространства. Позенциал поля в обласги г ь Ь равен е[! — ()з) Еч л, гегшгьв где рз за+ р*, й Ь вЂ” а. е,+а, ' Решение. Требуется найти функцию 1',(и, г] прн — сю(г(а (под яластинкод), (Р г) 1 з (Р г) ЕРи а С г ~ Ь (В пластинках Уз(р, г) при ь~г~сю (наа пластинкои), гч.
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА гармоническую всюду, кроме точки р О, г О, в которой У, имеет особене ность вида —, и удовлетвоРяющую при г а и «=Ь обычным условиям агг сопряжения д(', дУз Уз=уз аз — =гз — при г=а; дг дг дУ, д), 1'з Уз. зз — =е, — прн г=Ь. дг дг Так как область неограниченная, то решение надо искать в интегральной форме. исходя из разложения — 7„(Ар)з х!«)а)(*), полагая )зсе интегралы, кроме первого„должны оставаться конечными прн р- О и «-ьб; кроме того, !1(п Уз О. !!ш Уз О. 3 — зч (ь Условия сопряжения при з а и г Ь дают: Л (й! -(О+ !) С (Л) — й , В (й)-Р С (й)+ () — 1, (ре ззэ 1 — (Р С (й)-, „0 (А), П (Л)--,—— 1+О е(1 — () ) (' уз(йр) е-~ = — ! =-.Ох а)(.
з, д 1 — ()зз ! Для вычисления этого интеграла рзаложим в ряд по степеням откуда, пользуясь формулой (1), и получаем результат в виде ряда, призе аенного выше. ) См. (Т), стр. ООТ отняты, нклчдния и рншнмия 145. Потенциал на поверхности земли при г О может быль представлен в двух йюрмах: р(р, О) = — —,—,(.
(Лр) АЛ 2но, 1+ ()е- или У (р, О) — †-(-2 1 ~ 1 а ( 1)а()а н,(й 3, Гноы 1' где оа — от в==. оэ+о,' Если в точках к=а и к= — а помещены лва электрода, причем через первый электрод вытекает' ток (, а через второй вытехает тон — (, то где з,-т~ — рь~. ь-тьэчтзс. Указание. Решение ищется в виде г; — '~(ьа >~н+~~в>ьМ "нг~ Ыьа > "~~ 2ко> у вобластиб(а(6, ( "з 2, 1 б(Л) эа(Лр) а™пЛ в области а~а.
ан о Коэффициенты разложения А (Л), В [Л) н С (Л) определяются иэ двух др условий сопряжения при г й н условия — О при г О, р-ьО. Переход от интеграла к сумме производится по аналогнн с задачей 144, Формула (2) получается из бюрмулы (1) с помощью принципа суперпоэиции. 146. На поверхности земли потенциал равен / и' — Г агсзИ а ~/ и (х, р, О)= У„ агссИ о ' т о„ Р е ш е н и е. Требуется решить уравнение о,(У„„+рэа)+а, 1'„О в полупросгранстве г~ й при граничном условии Уа на сфере хе+уз+аз пз. 1У. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА Полагая )=аг.
получим У„„+Утч+Угг=О и У=Уа на поверхности эллипсонда вращения хэ ! уа !а а' Ф дУ где аа=аг, са=аааэ. Вне эллнпсовда на плоскоств г~О, очевидно, - = О. ' дг Поэтому аадача сводится к вычислению потенциала поля заряженного эллипсоида вращения. Ее решение (см. задачу 1О4) имеет вид аа л (па+ з) Уса+а У=Ус „ о (аа !. а) Уса+. где Х вЂ” эллиптическая координата. В данном случае эллипсоид вытянутый, поэтому имеют место соотношения сэ+Х=(са — ая) т)я, 1 (Ч*(оо, са+ "А=(са — аг) яг, О(~а (1, =1 и 1 + 1 (са а ) (Ча — !) (с — аг) Ча — (с — а') (1 — Са! (са — ся) Ва отсюда (=Уса — а ~Й р У(ст — ач(1 — а)(ча — !).
Вычисляя интегралы, получим: асс!)г У(са — аа) (се+ х) ~ У =Ус б 37Р— э или 1 1 агс!и— нгоро Ч )Чг аа ! агссВ а — 1„ агс!О Иа уравнений (=аг=а)' аа — 1СЧ, ра=аа(аа — !)(1 — яа)(Ча — 1), исключая $, получаем: р' маг' — + — =аа (аа — 1). Ча — 1 Ча При г=О отсюда следует.' 1 ~2 л 1= аа (а* — 1)' „а УЭ:Т "(р О)=Уа — — — ° р агссй а ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ 5 5. Потеициельг и их примеиеиие 147.
Объемный потенциал однородного шара а г" ) .( — ) ° °,< (т=тт(г)= з) при г Ъ.а, г 4н где а — радиус шара, М=- рятз — его масса. 3 Указа н не, Обьемный потенциал ~'(А()=1 ~ бТР, ~ гМР (2) (3) вн)три шара и ненрерывной вместе с нормальной производной на его границе.
Так как ре=сонз(, то погенниал обладает сферической симметрией. 148. Р е ш е н и е. Задача сводится к вычислению объемного интеграла а и ~(гам ю )1 о где )те = Са+ га — ййг сев б. Вводя новую переменную интегрирования )т вместо 6 н учитывая, что )( тЩ = гй а)н а аа, получаем: а ( +1 ~~Фп '( и ~ а)1 г о !г — а) Если г ) а, то г) $ всегда и а )г +1 о' е 0,1 Если г(а, то Г' а 1 г<)-~ь'() В .г1 — <-Юе.г) ~«+н- — ач)--~( — ") г где Т вЂ” объем шара, является функцией, гармонической вне сферы (нри г~а), удовлетворяющей уравнению тч.
аидвнвния вллиптичпского типа 2прз (Ьз — оз) при г < а, 2лРз / 2аз ! 2прзйз —, ! гз+ — ) при а < г < Ь, р 3( г) 4прз 1 3 — (Ьз — аэ)— г при г> Ь; б) гэ) 2п~р ~ае — )+р ( — Ьз)~ 3) при г а, 4п 1 2и(тз (сз — Ьэ) + — Рзаз— 3 г 4п аз 2пр / 2Ьэ) — р, — -1-2пр сз — — ~гз+ - - ) 3 3 4п[рз(сз — Ьз)+азрз! М1+Мз прн а<г<Ь прв Ь<г<с, при г)с Зг !' тат+ )г зззз. где )гззт и )гззы — решения задач 147 и 149 а); в) йотенциал М (с) при г~с, М (г) — +4н ~ ср(й)з(й при г <с, Г М(г) ~~~р(ВЕ з(З М (с) =4п~ рез ззй, — масса, расвределениая с объемной плотностью р(г) внутри сймры радиуса с (или радиуса г].
Если 0 при с<а, р= р при а<г<Ь, го отсюда мы сразу получаем решение задачи 149 а) М г при г~Л, 4прз — (г' — аз) Фйпрз (Ьз — гз) пРи а < г < Ь Зг где М- —" !Ь -И)р„ 3 Указа н и е. В силу принцина суперпознцнн решений линейного уравнения искомый потенциал представится в виде суммы 433 ответы, укА3Ания и Реи!ения Прн Р=рз внутри сферы Радиуса а(с=а) нз гХицей формулы получим: М при г а. г гз( 2прз(аз- — )1 при г (а, 3( 4п где М=- -азрз и т. д. 150.
Потенциал однородного оуерического простого слоя равен 4пат„при г ( а, и= М вЂ” при г) а, г где М 4па'.тз — полная масса простого слоя, распределенного на сфере. У к а з а н и е. Потенциал простого слоя ги и и(г)=~ ~ з зшроейр, О О где )г= рта+аз — 2га сов 8, помимо непосредственного вычисления, которое в данном случае просто, удобно искать как Решение уРавнения Ап=О при г~а, всюду непрерывное, а при г=а имеет разрывные нормальные производные ои ! ои,! = 4пяз Йг г==а Йг г=а где и,— решение уравнения Аи=0 вне сферы (г~а), и — решение внутри сферы (г (а).
151. Пусть центр шара радиуса а помещен в точке х=О, Р=О, г=Ь н р=рз есзь плотность обьемных зарядов. Потенциал электростатического поля будет равен М 2пр, (аз — — ~ — — при г ~ а, 3) г,' )1 1! М вЂ” — — — ! при г ~а, гг г М=- Рзаз, =)г ха+Уз+(г — Ь)з, П=Р ха+Уз+(г+Ь)з, 4л 3 У к з з а н и е ))лз вычисления влияния идеально проводящей плоскости з=О следует зеркально отразить исходную сферу с центром в тачке (О, О, Ь) относительно плоскости х=О. Решение в Отсы случае представится в виде суммы 2 М С вЂ” пр,г' — — при г Ео ю 3 г, М~ — — — ) г1 1ь нри г»а. г гг Постоянная С, опредеаяегся нз условия сопряжения решений при г=а, 1У.
УРАВНЕНИЯ ВЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА 162. Логарифмический потенциал круга в точке (», ф) Зл а !г — у(г) — рй ~ ~1п Хг)даф 1 а о )г ай+та — 2йг сов ф вычисляется непосредственно и равен г! 1 гй) М ~ — !па — - ---) при г(а, '12 2 айу у(г)= 1 М!ив прн г)а. г У к а з а и и е.
При вычислении интегралов следует разложить подынте. гральную функпию 1 1 1и — =!п л Гтлтл — л В РЯД + со 1п — + ' — ! -~ созлф вне круга г)а, г ыи л(г/ л=1 1п — + ~' — 11 — ~ созиф при л~г (а, г ~а и '1 г Г' л=1 1 1п — = )1 1п — + 7 — ! — ! созлф при г.сдал. л л' л '1лг' л=1 у(х, у)=рй ~ !п 1 )г(з — )'+уй вычисляется непосредственно и равен у = 2а — у агс(й — — ! и! уй+ (а — х)й) — — 1п (уй+ (а+ х)й). 2ау а — х а+х уй+ха — ай 2 2 У к а з а н н е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
