1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d (846319), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Проинтегрировать по частям. 164. Пусть М(х, у) — точка наблюдения, ф — угол, под которым отрезок ( — а, а) вилен из точки М. Логарифмический потенциал днойного слоя отрезка +а +а Г ссиа, Г Лй йг(М)=-т 1 г)си=ту ~ Лди' 163. Логарифмический потенциал простого слоя отреака — а~ х -=. и с постоянной плотностью р=рй 440 ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ (Р— расстояние между д( и точкой интегрирования Р) равен х+а к — а1 йг (М) =т [агс(й — агс(й — ~ = .4- чф. у у причем тф, если у ) О, — тф. если у ( О. — 7 ~ — ) (Рл (О)+Рл э(0)) Рл (соз6)— л=о 2гг — — Р, (соз6) при г(а, аз У(г,6, ф)=( — — (Рл(0)+Р„+ (О)) Р (созе) л о при г ~а; 2) представление потенциала в виде эллиптического интеграла 2 и (6/ 4агмп6 )' гз — 2аг мп 6-)-аз 'ту' га — 2аг мп 6+аз (2) и 'т аа где К (х)= ) — эллиптический интеграл.
Здесь е=шра — сузе марный заряд. Указание. При ныводе формул ()) вычнсляетси значение потенциала на оси г, перпендикулярной к плоскости, в которой лежит диск, У (О, О, г) = —, (6' зэ+ аз — г), 2е н затем находится его разложение по зональным сферическим функциям. Дальнейшие рассуждения проводятся по аналогии с задачей 14О, 156. Выбираем систему координат (р, ф, к) с началом в центре круга и осью г, перпендикулярной к плоскости. в которой леЖит кругован пятна с током. Вектор-вотенциал имеет только одну составляющую ле; н рг й" г(з 2р! ) асозфйр ч= с $ И' с 3 ргаа.( рз+гз — 2арым о которая равна 4рг' -~гг а~( ! „з)„ )66. Потенциал просгого слоя, равномерно распределенного по круглому диску, имеет два аналитических представленкя: )) представление потенциала в виде разложения по сферическим фуикцинм ГУ, УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА )( и Š— полные эллиптические интегралы первого н второго рода 2 2 )((й)=, Е(й)= р 1 — йзипз62(6.
бе )Г1 — йз з!пз 6 На больших расстояниях от гока (й м, !) имеем: А = — уз,' — йз! ! + ет+ — Дг+...). пр2 l а .! 3, 75 бс г' р ~ 4 123 Для очень маленькой петли ) ра+222ьа имеем: позу) мп 6 Ае сгт 157. В полярных координатах (р, ~р) находим: а) решение внутренней первой краевой задачи для круга 2и 1 ~ (аз — р") (2)! А)~ -~(р. р)=-- ~ . 2п,) аз+ре — 2ар сов Ир — 2)) ' о б) решение внешней задачи 2н 61 а'+рз — 2арсоз(~р — ф ' где а — радиус круга. Решения соответствующих интегральных уравнений имеют внд т (3) = — ) (5) — ) (3) Лз 1 ! и 4пта где С вЂ” окружность радиуса а, 1 1 т(з)= — — !(з)+ —.
)(з)бз ° и 4и'-а ~ б) У к а з а н и е. а) Если контур С вЂ” окружность радиуса а, то соз ~Р 1 г 2а и уравнение для ч(д,) принимает внд 1 Р 1 (Ъ)+ — 4 !(з) б = — ) (Ъ). 2по ~ и < ! ч (з) — ) (з)+А. где р — магнитная пронипаемость срелы, ) — полный ток, текущий по петле> 4ор (а-1-р)2-)-аз ' ОТВЕТЫ, МКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ Подставлия (2) в (1), находим; 1 А = — — г'(а) дз. 4пза ~ ! «(з)= — „— 1(з)+А. 1 Р А — ! (з) дг. 4пта д) !58. Решение второй краевой задачи ! д У ди'~ ! Фи — — ср — !+ —,— —, =О прн р(а ди — =((ф) ищется в виде выражения потенпнала простого глоя и= у (р, ф) = а !и с ! )' оз+р' — 2арсоз(ср — ф) Решение интегрального уравнении для т Ор) дзег: 1 т (ф) = — „) (ф).
внстае г !59. а) Решение первой краевой задачи их„+и +ига О в полупрост: р ) О, и; з=) ищется в виде потею!игла двойного слоя «с гг + со соз ср и (х, у, г) й'= ~ дт т(Г, !)) ада), гз=(х — Е)з+(у — з))с+ге и дается формулой + оо и(х, у, г)=— д ((х — с)з+(у — т))о+ ге) сс (т= 2„Е). б) Решение второй краевой задачи и„„+ицг+и, =О при г)О, ди дг,=о ищется в виде позенпиала простого слоя + со и(х, у, 2]=у (х, сч 2)= д д Р (х — $)з+(у — т!)» ( гз и дается формулой + со и(х, г = — — — —, ((~ '1) дь"'с 3 о( )'(г — й)с-Р(:т))с-).гз Зван т(з), после несложных преобразований приходим к интегралу Пуассона. 6) Для внешней краевой задачи ги.
ярлпнпния пллиптичнского типа 160. Первая краевая задача бзи=икк+паз=0 пРи У ~ О, и 1» =/(х) имеет решение +ш у/Ф % 3 (» з)з 1 уз Ук аа а и не. Решение ищется в аиде потенциала двойного слоя +со сов фжя 'МР удовлетворяющий уравнению Лапласа. Дифбмренпированне даег. ух=/' (з) з„, укк=/'(з) (з,)" +/' (з) з так что йу = 1' „-(-у„„-(- 1г /" (з) (йгаб з)'-1-/' [з) йз. Отсюда следует: йз /" (з) — — = р(з) (йгаб з)з /' (з] т. е. поверхность В зквнпотенпнальна, если отношение г)з/(йгаб зр является функцией только з.
Обозначая хз у' гз 1 ! (аз+а)» + (Ьз.( з)л + (св ! зуг ° Р = ааз.( з + ьт ( з + сг 1 з видим, что уравнение кт уз г' — + — '+ =1 а'+з Ьа+з с'+з сводится к д, 1. Лнффереипнруя его по х, получаем: зк (+ з) ~ зз ( /Ьз) ° зк ( ! з) ° (йгаб з)з 4 Чз Вычисления дают: 2 уз (а'+ з) 8кздз угз (аз+ з)з И (аз+ з)з 2Р оз — н, следовательно, Чз /" 00 пе гр!з)= †. Проинтегрировав уравнение Р 2 1/ ! ! ! (з/ — — 11 —. + — „+ — г/ 2 )а+аз з+Ь"-. з-1-с'/' для плотности ч которого получается интегральное уравнение с ядром, тождественно равным нулю, так что 1 ч($)- — /(к) и 161. Решение. Если поверхность Е зквнпотенпиальна, то кюкдому значению параметра з должен соответствовать определенный потенпнал 1' /(з), ОТВЕТИ.
УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ получим: )г =) (з) = А — + 8, =,'.(з) где )) (з) »г (з+ав)(э+Ьз) (з+сз). Нв бесконечности при з-ьсо потенциал должен быть равен нулю; отсюда слелуст, что аз (г — А т —. 5 )((з» !62. Если эллипсоид, заданный уравнением зт уг г' — + --+ — ( а' Ь' с' является проводящим и несет на себе заряд е, то На повсркности эллнпсоида з=б потенциал (г равен е Г г)з (ге 2в ))т'(з» Емкость элзиисонла равна С вЂ” 2в Поверхностная плотность заряда дается аырюкением е а а = — — ~ ягзб р )з о — — — — ((г,' Его з ()з з 4п 4п 3 е 2 откуда в силу равенств (Уз)з з= — —, (Егадз( --р= следуеп 2ваЬс У Ет г .—,' ~.—,+„="-"+ — „") '.
Если а=Ь )с (сплюснутый сфероид или сплюснутый эллипсоид враще- ния), то получаем: е г(з е 1Г"-" згс(й 1 2в А А(з+.~»гз+;. '7,Я вЂ”; г й+" Если а Ь с (вьпяиугый сверена илн вытянутый эллипсоид вращения), 'го получаем е 1»' Е+ а'+ гггЬ~ — аз Здесь А — положительный корень уравнения (1).
ГУ. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА 163. Поверхностная плотность заряда иа зллиптнческом диске 1 4ИЬс ( с.") где е — полный заряд диска. Емкости круглого диска (а=О, Ь=с) С=8еЬ, Плотность заряда на каждой из сторон круглого диска Потенциал, создаваемый круглым диском, выражается формулой Ь 4г е агой у .
'г'Л или )' 2Ь У=4г'е агс(я (хе+уз+г'= ге). У к звание. Прн вычислении о для зллнптического диска воспользоваться формулой для о из решения задачи (62 1 хз хз уз аз Исключив — из уравнения — + — + — = П получимг аз аз Ьз сз е Г Ье зз азрз атзз '1 з О = — 11 — — — —, + — -)- — 1 4пЬс ( Ьз сз Ьг сз ) Предельный переход при а-ьб дает нужную формулу для о.
для круглого диска а=О, се=аз, рз=уз+аз. Параметр Л определяется как положительный корень уравнения хз уз+ зз з Ьз+з равный Л = — (1гз — аз + Ь'(г — Ьз)а+4Ьзз"). ) 2 164. У к а з а н и е. Требуется доказать, что АР=.— 4пре внутри зллипсоида, Ар 0 вне зллипсоида. Доказательство первого равенства не представляет труде, Прн доказательстве второго равенства следует использовать соотношения йгаб Л ° йгве~ 4)Г (з) 4, Цгв бган) = —. )1 (з) ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ 166. а) Гравитационный потенциал вытякутого вллипсоида иран!ения (а=с~а) (аз 1+е 1 ! ! 1+е У (х, У, г)=2п(1 — е')Рз1 — 1п — — ( — 1п — — е)х'— (2е 1 — е ез'12 1 — е 1 г' е 1 1+е) — — — — — 1и ) (уз+ге!) внутри зллнпсоидв 2ез '1 1 — ез 2 1 — е) га' р аз+1+ ы )г(х, у, г)=2п(1 — ез)рз~ рл + + — зг(2е рга ! )„ 1 /1 'г'а~+А+за ы 1 Г ызз'Ф+Х 1 ггаз+)г+еа') — — — — 1и < (у'+ гз)) вне аллнпсоида, ( (1 — ез) а'+ )г 2 )'аз+)г — еа< гз где ез=( — —, Х вЂ” положительный корень ураннения аз ' Гравитационный потенциал сплгосиутого эллнпсонда вращения (Ь а )с) у (х, у, г) = 2п 11 + ез) р, 1 — ага!6 е — — (агс!й е — ) (хе+ уз)— (сз / е (е 2ез ~ 1-1-ез 1 — — (е — агс(йе)гз) внутри вллнпсоида, !с' ес 1 Г ес у (х, у, г) =2п (1 + е') рз(( — агс1д — — агс(6 ( е 3г~+Х 2ез < Ьгсз+ )г ес)~д+Х 1 з з 1 1 ес ес — (хз+ уз) — — = — агс!6 ) гз) вне вллнпсоида, (1+ее)се+А~ ез '1)'сз+й )газ+а / аз где ез= —, — 1, а Х вЂ” положительный корень уравнения сз хе+уз гз аз+а сз+г Предельный переход при в -ьО привалит к потенциалу однородного шара радиуса а: 1 2прз(аз гз) прк г(а, 3 прн г~а (М= — азрз).
!66. Логарнфнн!ескнй потенциал спнОЯОднОй эллиптической области ГН УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА 447 лается 6ормулами г ! а+Ы паьр, 7 х' рт) Ь' [х, р) паьре ! — 1п — ! — — ! — + — ) внутри эллипса, [,2 2 ) а+Ь (аз Ьэ/ х д~ а+Ы У~+К УЬ +Л У (х, У)-паьрэ [! — — !п — ! — паЬР„ '(2 2 ) а'+2+ УЬэ+ Л раз+а+Уьэ+А ~рейо а+Ь где А — положительный корень уравнения хз рз + — = 1. а'+ з Ь'-1-з !67. Потенциал вне эллипса равен вне эллипса, Л У[., р)=У ! — 2 (а 1 Г аз а+Ь вли 1 Б+а"+Ьт+Р [)С+аз)(А+Ьз)1 У(х, д)=~э [п 1 2[ив а+Ь где хэ+ уз.
к а з а н и е. Вывод формулы для У (х, у) совершенно аналогичен выводу, приведенному в' решении задачи 163. На бесконечности мы ставим условие и У вЂ” Л !и — — ьо при р )гхэ+рэ- со, [Всади ! ~ —, 1 В Р рз ! где А н В )0 — некоторые постоянные. 166. Пусть 1 — ток, протекающий по петле Са с центром а точке х=О„ Р 0 и .Радиуса а, 7) — ток, текущий по петле Сь радиуса Ь с центром а точке а=а, Р=О.
где )[ — положятельный корень уравнения хэ рэ аз+ 3 Ьз+5 — + — 1. Плотность заряда, распределенного на эллипсе, равна )'э 1 Гх а+Ь Г' а' Предельный переход прн Ь-ьО дает потенциал отрезка 0 ~ х~а иа плоскости (х, р) 1 У [х, р)=рэ 1 — х 2!ив )с 1п рэ+ г' (рз — аз)з+ 4а'рт+ у' О,брэ [рз — аз+ )' (р' — аз)з+ 4агр е) + а'уэ~ 448 ОТВЕТЫ, РКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ Лля силы взаимодействия между С„и С» возможно одно из представлений: сз)' аЬ < (и — Ь)з+оз 2 <и+Из+Л" й< )'1 — й з.
2 Е (й) = ) Ьг< — йз а<пз юр йр с †эллиптическ интегралы первого и второго рода; 9) Р= ' У 1<†1 1 <СОЗ )~ <О) <й~+Ь пи(Г апсс ъ~ / аз у )Ьз+ р< з где а=й» вЂ” координата точек кольна С», если начало координат находится в венгре кольна С„; 3) Г= — сг — ( — 1 Ра+,(ССИР)РЧ(ССИР) <Ь~а); цр«Ь:() ъ 1 < )а+~, ! ,~~ и+1(, Ь~ прн атом начало координат помещено в вершине кругового конуса, проходящего через С„и С» (ачь Ь) н имеющего угол раствора (); если а ( Ь, то ряд, стоящий справа, быстро сходится.
У к а»а н не. Сила, действующая на контур, по которому протекает ток <, помещенный в магнитное поле, равна Р- — <В (с<а )Г), 1 Г с 5' где  — магннтнзн индукпия внешнего поля, а интегрирование производится по данному контуру. В нашем случае рГ ь (сзг) В- — с~~ —. с '~ гз для вычисления величины В на контуре С» следует использовать реше. иие задачи 1бб 169. Пус1ь кольна Сс радиуса а и С» радиуса Ь лежат в параллельных плоскостях Х„и Х», а йх пена.ры расположены на одной прямой, перпенднкУлЯРиой к плоскостам Ез и Е»1 козффипиент вэаимной иидУкнин может быть представлен следующим образом: 1) А<ы Ь ~11 — 9 йз/ <( — Е~> где й (~+ЬР+йз~ << <й) и Зр )' аЬ ГГ 1 1 1 4аЬ Е (й)-вллиптические интегралы, с< †расстоян между Венграми колщ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
