1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d (846319), страница 72
Текст из файла (страница 72)
0~((+со д( (дто г дт(' о' п(т о )(г), О~г(го, ~ — +Аи~ О, 0«((+~, (2) (2) я властею + со и(г, ()= лт' А„е ",)о~~— "-)т и =! (4) А„= т)(т) Яо( — дг, 2)оо /ра' го[4+Латает )° 4(р„) 3 ~ то ) ра — положительные корни уравнения пг; (и)+Атомр) =О. В условиях регулярного режима (О) то ~р( ~) (~) 4 ~ —,~ д~ ~(ю (рет) ~тот — — т грот ( .о «(» 'т~ то — з ° гоо(р,о+Бетто),)оо(рт) о(( го т' Замечание. Регулярный режим каступает раньше в тех тке точкак, что и з предыдущей задаче (см.
замечание к ответу предыдущей задачи). 29. Решением краевой задачи ди Иоз ! ди) — =по о — + — — ь, О~г<го, О~т'(+со, т)( (дго г дг ) ' ди )о — =4 прн г=го, О 1(+сот дг и (г, 0) =(/о. С ~ т ~ то, (з) ОТВЕТИ, УКЛЗЛИИЯ И РигПЕИИЯ 31. Решением краевой задачи да «дзи 1 ди1 д! (дгз г дг) ' =аз « — + — — 1, 0(г~ ге.
О<! <+со, ди дг -- =!!((г! — и) при г=ге, 0~! ~-(-оз, и[г, 0)=Ц,. 0(г~ге, (2) (З) леал! +со и(г. П=-(1!+2((/! — Ц) и' л ! ге! Хг(р„)е ~ [~3()! Р(-('Ог)) '(изу' где Ȅ— положительные корни уравнения )ьу'„(Д+йгее'е(р) О. 3 а м е ч а н и е. В силу (5) у! (Рл) йге Ил(де(1"л)+У!(рл)) ее(йл)(йй+" а) Таким образом.
выражение (4) для и (г, !) может быть записано в виде лзн' ! л +ОЪ и(г. !)=(!!+2Ф! — (!е)йге у .,+Лз л Уе (6) гз — ге — 2--( ю ЗЗ, и(г, !)-и,+а 1+ ча, ~+ + ге Еилг) + аз ~~~„ре У ()г ) (а1+йзге1 ° (1) л ! где рл имеют те же значения. что и в ответе к предыдущей задаче. ЗЗ. Напряженность магнитного полн и=-Н 1 — 2 Х е г 1 ге/ ~.' (р ))' Зл гг Ф=1 ) Нгдгд!у=И ( ) Нл 1 — 2 г е " — ' гдгдмИл "г(рл) о л=! -1- лл — — Г ге агю)г г(о л ! где )гл — положительные корни уравнения ез(И) О.
Поток магнитной иидукиик через поперечнсж сечение цилиндра ж РРАВнения ИАРАВОлическОГО типА Указа ние. В уравнении для вектора магнитной напряженности *) ерФИ 4пмо дИ ст др сз д( для орсводяшей среды с больш!А проводимостью можно пренебречь членом ар ФН 4ггро дН сз дгз -)! — по сравнению с членом — — †, что приводит к уравнению гз д(' дН .--=аз ЛН, ат= —.
д) ' 4про Так как внешнее поле не зависит ст гр и параллельно оси г, то есгествсшю предпологкитгч что Н,=Не — — О, а Нг=Н(г. Г). Эта гипотеза оправаынчегся в силу теоремы о единствепнсстк решения краевой задачи. для Н(г. !) получаем краевую задачу дН (ФН ! дН! — — =аа г- —,+ — - -), 0 - ° <г„, 0(Г(-)-со, (дгт г дг!' Н(г, 0)=0, 0(г(га, (2) Н (пн !) = и.. О < ! <+со. 34. В пилиндрнческой системе кгюраиват, ось а катар~а совмещена с осью пнлиндра, Н=е,Н,+е, Не+е,Н„)1„=Нч =— О, Н,-Н(г, !), Ьег ы'г Ье! ы'га — Ье! ы'г Ьег ы'а Ьег го г Ье! и'г„— Ьс! ы г Ье! ы га + На — '3!и ю)+ Ьсг* ы'ге+ Ье! ч ы'га а ио! Я р г+ ю'тг! ч=! и а где р„— положительныс корни уравнения уч (р)=0, а ю'~ —.
а ' Решение. Решение краевой задачи г— — -=-а г — -+- ~, 0(г(г!ь О«((-)-сс, дт (дгй г дг~' Н (г, 0) = О, О -'<г'ш Н (га, !) = На соз ИГ, 0 ( Г (-)-со, (2) (3) находим как действительную часть решения краевой задачи ди гдзи ! д(г"! ==а'1 — + — --)1. Огй ", О ((+ . д! 1дгз г дг (' ()(г, 0)=0, О-=.г(га, Н (гщ !) = Нег™, О (! <+ гю. «) См, [7)), стр. 443 — 447, (2') (й') Разложим вектоР Н по единичным вектоРам е„ егг, ег ПилиндРической системы, ось которой совпадает с осью цилиндра, Н=Н,е,+Нее, — Н е,.
.470 Отве!'ы. укАзАния и Решения а Му (г, 0 есть решение уравнения (Г), удовлетворяющее начальному услонню йт (г, О)= — У (г, О)= — )7 (г) (б) и граничному условню )Р(г,, !)-0. (7) Подставляя [5) в (1') и (3'), найдем: )л(гю'ф с) .„, Ьегю'г+!Ъе~ю'г (е(гаю' ггг) Ьег ю га+! Ье! в ге )гю а =н ! (™Ьг) '7,(г,ю' Ргг)' в г л йг(г, !) ~~) дле л /а(1 л ) (9) (10) г а г)7 (г) (а () — 1дг Ал=,, =2О.~,+„„,, Вычисление интеграла, стоящего в чнслнтеле равенства (11), выполняетск с помощью следующего общего приема. ПУсгь йч(Л*х) к 2 (Лх) — пРонзвольные пнлиндРическне фУнкцнн т-го порядка, Л н Лл — действйтельные нлн комплексные числа.
Мы имеем: Д,42 (Л)~+(Л„")йг(~ ) 0 (, Умножая первое нз ннх на Хд(Л*х), а второе на лт(Лх), вьинтая результаты н выполняя интегрирование, получнм: * '' "-' '* х (Л2т (Л*х) 2т (Лх) — Лейт (Лх) 2т (Л*х)) йч(Л*)2,( )» (14) (!3) л) Наномннм, что Хе(х()г!) (а(хаг!)=Ьегх+!Ье1х; хл хз ха хе хы 2~Р ~4%'(Р "' 2а 2гйгйе Р4тйтйз~~ Решение краевой задачи (1'), (2'), (3') ищем в виде и (г, !) 4 У (г, 0+ йт (г, !), (4) где У (г, 0 — частное решение уравненнн (1'), удовлетворяющее граничному условию (3') н имеющее над У(г, !)=!г(г) е!лк, (5] 471 Н.
КРАВИЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА т> »Ра»1 о 1 »1 Я т> то т'Ро»1 36. и(г. 1)= —,- ~~ 1 2»1 ~~ 1((Р,) — то(Р й) '1 »1 Г' е=! + о ио'1 1 о а ) уо > — ~>е — ('о" о(Р ) ('1Хо (Рвй) ( (Р,>г) „о уо(Р„) у((Р й) !о Ро)уоЫе и ! +~и, Рл — +(»,)п — 1РЛ й, го г1 т Го ) где й — > Ро — положительные коРни УРавненна то г,' )о(Р) )Уо(РА) — то(РА))Уо(Р)=б Яо ~" —," ) = )Уо (РФ) Уо(",~) — Уо (Рай) А!о (" — ") ПРи (Г (Го — — (! =сола!, ) (г) (Iо — — сопя( то(рп) оо «(г, !)=ио+п(()о — ио) е ,йа та(Р )+ то(Р й) и=! Указание. Для вычисления нормы собственных функций 31 () зт) = »1()егт) !у, ()оат) — А!1 ()оьт,)»1(дьг) нужно воспользоваться равенством (1б) из замечания к решению задачи 34 и выРажением длЯ вРонскиана цилиндРи>вских фУикций» (а), А(т(а) 1: то[а) А!т(а)1 2 т'о(а) Жо (а) ! 36.
Решением краевой задаче ди (дои ! ди1 — 12 (. + — — 1 г С Сг ОС!С+ д( !дто т дг) ' П) и(тх, 1) б, (го, 1)= —. ОС(С+со, и(г, 0) б, г> Сг Сг,>, (2) (3) Полагая )о* м' г 1, )о —, получим: го ' то »1,(гы )7) Х (Р >) д„Н т(Р 1 (Р ) ()б) и о откуда сразу же следует (11). Выделяя действительную часть У (», 1) и 3>(г, !) в складывая, получим равенство (1), приведенное в ответе. 3 ам е ч а и не. Переходя к пределу в (14) при )оо -ь)> и используя уравнение (12), нетрудно получить соотяошение, важное для вычисления норм собственных функций, ( )'~2'(~ )"+((А )' — Ч Гг,() )У ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ является: +а» и(г, »)=(Г(г)+ ~~ А»е (га[Л»г»]Фа(Л»г) — [уа[Л»г») )о[Л»г]], [4) »=1 »де (Г(г]= — [и — — стационарное решение уравнения (!), удовлепюряющее Чего Л г» граничным условиям (2) [предел, к которому стремятся температура при (-ь+со].
а коэффициенты Аг, находятся по формулам 37. Решением краевой задачи ди О'и ! ди] — о'~( — + — — 1, » г, О<(<+ д( (дго г дг) ' о иг (го О Ь»и (г» !) 0 иг(го О+)»он (гм» 0» О < ! <+со и(г, 0] бо. г, <г< го, (2) (з] является: + СО Г) = 2~ 4»г ' ((Л»у» (Л»га] — "~у»(Л»~~)! А[~ [Л»«)— »=1 — (Л»»[о(Л»га) — Ва)уо(Л»га)! уо (Л»г)) (4) где (Л»уа(Л»го]+"»У»(Л»гд)о ("а+Л!) [Л»)а (Л га) —" ~о (»'з)!' — (А(+Л») Р 'о (Л»го)+до)о (Л»г Ца ! Х(го — — ((Л»)а (Л»га) )»» 1а (Л»га)! (гФ» ()»»гд — г»й, (Л»г,)!— Л» (Л» у» [Л»гд )аа)уо [Л»га !) ' (га )а [Л»го) гр)а (Л»га)) ! Л» — положизельные корин уравнения 1::: Л )» (аг») Мо [)г!) ЛА а [Лга! [»»да (Лг»)~ =О.
Л) (Лго]+)»» )а (Лг») Л)у» [)»го)+йю]уо (Лго) ! ЗВ. Решением краевой згд пш дс (д~и ! до и! д( (дго г дг га) ' — — — — га<г <го, О<(< ! со Э о(г„()=0, о[г,, [)-..ы о, О < [ <+со, о[г, 0)=О, г,<г<гм (2) (з) Ао = —, ' ~ г[) (г) (Хо (Л»г,) Фо [Л*г]— иоЛ» о'о (Л»г ) 2»»о ().»г») — 3", (Л»гд — Фо (Л»га) )о (Л»г)! дг, (6) Л» — положительные корни уравнения 2» ("га) )Уо (Лго] — )Уа (Лга] Уа (""'о) О. (6) о коапыпыыя плрлиолыиипиого типа 473 т,рс:еи о(г, [;=о, (г.
1) *), является: +ОЭ го о(г, 1)= — — „„' — поил Ъ ' ' ' — оа(г, а=. ! оа [г) =./, ()овг,) Ф, [),вг) — Ф, [алев),/, [).аг), [4) где Ха †положительн корни уравнения 3сйаМ В1 Огго) — 7)~ (Хвг~) 71 [) вгв)=0, (О) где ! )гв"" ) Ю Е л ( — ) сов вр г пг Зор, го ел "' =-:~;ьгт ~,~" 2 ы еи '" -"~' < ")! ~ ~" [2] лФ0,3 (3) ( р ~ л ) оу) гл[ ~в(Плачут<!глсР, го (Яг рава — положительные корни уравнении /„(р)=0. гл! !л~ +ол ( ~л л'и и(г, ор, [)= Ль — (Алла ссвпр+Вл вяплфе ', (1) го л. а=о 40. г Вл Ал,а= вл (' (' [рьл ", ,л,.— в ! при л=0, ел= 2 прн и ~0,1 2 вл / (л: (3) [4) [л) †положительн корни уравнения иу„(П)+го37л [р)-оо л) См. укаванне к ответу вааачн 7. (3) , влр +»л <л> л'иа 3л. и(г Чь () „гл~ — ~(Ал,ассвгир+Вл,а опжр!е о, (1) л,а=е 474 ответы, укАЭАния и Решения й — коэффипнент теплообмсна, входящий в граничное условие (3! 3 а меч а н и е.
Если представить решение с помощью собственных функций 2а (Аа<"<г) =1„((<~а<ге) А'„(Х~гог) — А<„®<гз) 1а (Хь<" <г) = „<, 2„(7<~а"<г), (7! (зта связь микку 2„и йи устанавливается с помощью (3)), то +аз — ага<а ! < и(г, ф, <)= зг а " Й„Я,"<г)(А асойп<у+В„ь а<пар(. (д! а,а=а формулы для А„,ь и Вша получаются из формул (4) и (6), если дробь ГЗ (АЬ<гОГ ) заменить дробью ,<е (Л~"<г,) — Уз„(АА<"<г,) г з (ьа<" <г<) уз гт<»> ) уз Гт<а> з)' 42. Решением краевой задачи ди <дзи ! ди 1 д'и! — из~ — + — — + — — ), г<'~г(гз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
