Главная » Просмотр файлов » 1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d

1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d (846319), страница 76

Файл №846319 1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d (Будак, Самарский, Тихонов Сборник задач по математической физике) 76 страница1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d (846319) страница 762021-08-19СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 76)

() гК (г, )с) дг, гс а затем, найдя П(Х, (), применить формулу обрашения Вебера (»о Ь ~~ ЛК (., К) дй и (г, ()= »4 (б) где С найдено в задаче 74. Ук аз а н и е. Если применить преобразование Фурье по г, то задача сво- дится к задаче 74. 77. Решением краевой задачи ди ~до»с ! ди1 д( 1дго г дг ) ' .— =а* с( — -+ — — 1, го<» <-(-со, 0<(<-)-со, и(го ()=ба=сопя(, 0 <( <+Ос, и(г. 0)=0, го<г <+со У, УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 2, Построение м применение функций влияния мгновенных точечных источников тепла 78.

Указ анне. Справедливость утверждении проверяется непосредственной подстановкой функции и(х, у, г, !)=иг(х, !)иэ(у, !) иэ(г, !) в уравнение (1) и начальное условие (2). 79. б(х, у, г) е 1 (» — й! г -4- (Э вЂ” Ч И.(- (» — ря 4ааГ (2а У"п))э У К а За Н И Е. ЕСЛИ В ЗаДаЧЕ 78 ПапажитЬ /4(Х)=8(Х), гэ(У)=6 [У), /а(г)= =8(г), то сразу же получится, что функцией кэияния мгновенного точечного источника тепла для пространства — са (х, у, г (+со является произведение функций влияния мгновенных точечных источников тепла для прямых — со( ~ х (+со, — со < у .с+аз, — со ( г ~+аз. 80. и(х, у, г, Г) « — й! +!Š— Ч!'+4= — РР 4.4 — АР+« — ЧР+!» — ГР + .

~ ~„~ ~ ~е 4а*(4 — ю Е(с, ~, )Щл д~. (1! Указа н не. Формулу (1) можно получить совершенно элементарно, ио не строго, используя физический смысл функции влияния, полученный в решении задачи 79, и рассматривая искомую температуру и(х, у, г, !) как результат слонгения действий мгновенных элементарных источников, распределенных в начальный момент с плотностью Г'(х, у, г), н непрерывно дейгтвуюших источников. распределенных с плотностью г (х, у, г, !). Формула (1) пожег быть получена также с помашью формулы Грина, аналогично тому, как это было сделано н решении задачи 68 гл П!. 81.

а) б, (х, у, г, 8, ть й, !)= 4» — б +(а — ш" 4 4» — ТР « — йи+ш-ш" +4»+й!'1 4ан 4ам (йп ) „,)з 8) бэ(х, у, г, 8, 41, сл !)= !» — Ю*-4-(е — ЧРЭ ы — О' 4» — ГР+4е — ЧР+4»+()41 (е 4а/ +е 4а*Г (2и )' и() ! 4» — й!'+<а-ЧР+!е — СР в) б,(х, у, г. й, Ч, Г, !)= [е (2о )' 44()э 4»-й)Г +4Э вЂ” Ю'Х4 4 Рл + 4» РР+са — Пи+4 +(-Ьэ!' +э 4авг 2А ( е-эив эам 4!4Э ОТВЕТЫ. УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ +со +ос +со 62 а) и(х, у, г,г) ) с($ ) с(ч ~ с(а, ч, ь)бс(х~ у, г,а„ч. ь,()с(ь+ С +па~ с(т ~ ~ Ф($, т), т) бд(х. у.

г. (ь Ч. О, С вЂ” 'с) И$ПЧ+ С +со +) с(т ) с(~ )1 Рф, 4), ~, т)б, [х, у, г, $. Ч. Ьн с — х)с(ас(Ч, б) и(х, у, г, (]= ~ с(Ь Д )(Е. 4), Ь)бс(х, у, г, Ц, Ч. Ь, т) с(сс(Ч— -~Лги~ Ф й, Ч. т) б,(». у, *, Ь Ч. О, (- щ ЛЧ+ С +ос +~с(т ~ сс(, ) )с ст($, т), ~, т)ба($, 4), Ь. К. У, г, ) — т)с(тс(Ч, В) и(Х, У, г, С) ~ а()) 7($ Ч. Ь)ба(Х, У, г, $, 4), Ь ()СЦС(Ч+ С +со +)сай 1 с(т )с 1 Фа. Ч, т) 63(к, у, г, Е, Ч, О, ( — т) щ с(Ч+ С +со +~ С(т ~ С(Ь ) ) Г(а. Ч. Г„т) ба (Х, У, г, Е, 4), Ь. С вЂ” т) 4$ аЧ.

Π— о» вз. У к а а а н и е. Воспольсоаатьса методом, предлоскенньсм в укааании к валаче 79.. Ва. а) 6(х, у. г, е, Ч, ь, ()- (Х- Рс+ (а — П)с (2а )ссп()а (х-В*+Си-а)с Сои (яа ф'яг)а +со осло — е ' а(п — * а(ив ('С ( ( ° ж уудвнвнин пауаволичаского тина б) 6 (х. у, г, ~, »1. (, Е) = +»' 1 (» — (+гл)Н (»+2+2/И)»; (2а )' н() (» — 2)» + (у — н)» — + 7 е 1 с(м — сов —, (2„У;() )~2 .?, ( ( ~ ° а=о в) 6 (х, у, г, Ц.

»), Ь, 1) = — — + ~ (* — (+2»1> (»+2+2»1>»~ сх — $) + (у — н>» Р ( — 1)" е %) (ам — е (а»1 (»2а 'т~п()а (» — Ф>» + га — н)» л=а (» — $>»+ (у — н>» Фа»1 > ' -ажл» е а г) 6(х. у. г, $, »).ь», ()= — )а 2 ~ р,» ) ь» )(1) 2)> >О л=) >((>(л с(м ) ах-)-() е>п >»лх) (>л сов )„Д+ >) а1п ХД), >)» — >)» ))н — положительные корни уравнення с(ц (>.=— 2>О 8о. 1() б»(х. у, г, х', у', г', 1)= (х — му (а 1 + / (х —.»'+2»1»м (х+»" +2»1»)») 1~ У'г —,))а (у — У'+2>Н»)' (у+у'+2А(»!» ) >( Е 4»»1 Е йа( р) ба(х, у, г, х', у', г', Г)= (» — «')» — аа 1 + а» ! (х — х'+2л(!» (»+ »'-> 2л(»)») »а'1 + (а»1 » ( ~2.) „-() (У вЂ” у'+221»)» (у+у'+га(»)»~ Ха а" +е Ук а з а н не.

Воспольтоваться предложсннем„сформулнрованным в ввдаее 79. + «» / (х — »'+2И,)» (».Ь»'.~-2(1 >») ВВ. а) б,= (2а )~ п()а а' 1 а. т, л=- — »о (У вЂ” У'+2м)»)» (У+ У'+2»»1 )*) ! (» — х'.(-2»1лм (х+»' ~-ЪМэ~)) >( е Ь'1 — е (а( 1 '(е ь»м -е ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ б) Оз получается нз О„если всюду в скобках перед е поставить знак плюс У к а з а и и е. См, указание к предыдущей задаче. 87. а) О(г„ср, г, г', ср'. г'. !)= -'-""'"'-- [ "*"( ° -'-" — ') ""*-( ° """-)) 4чч Са С 4аи рг — Сга б) О (г, ср, г, г', ср', г', !) = — — '"" -- (""-(-'--Е) ""-("' -.)) 40М 44Ч ( 444 е — о У к аз ание.

Пусть мгновенный источник находится в точке Рч с ксюр. дннатами (г', ср', г') (рис. 48). Строим последовательно: симметричное отраже. ние Р, точки Ро относительно плоскости !. аатем симметричное отражение Рз Рл4 Рг Р+ Рис. 43. тачки Рз относительно плоскости у!. затем симметричное огра!кепс!а Р, точки Р, относительно плоскости! и т. д., поведая и случае а) в точках с четными номерами мщювенные источники положительной единичной мощности, а в точках с нечетными номерами — отрипательнай; в случае гке б) ио всех этик точках помещаются мгновенные источники полажительной единичном мощности. ))(ы имеем: ~ АОР-,= — ф', ~ АОР';=ф'+2 — -, ~ АОРТ= — ~ф'+2 — ), ~ АОР,+=ф" ( 4 ', ~ АОР—,= — (ф'+4 — ), ~ АОРгу=ср' ) 6 ~ АОР~.

4= — ~ф'+2( — )) —,"„1. Точки Рзм 4 и Ро симметричны относительно плоскости С); действительно, л АОРзм 4 — 2( — — — ср')=ср' — 2п. Легко вндеггч что при указанном разме. Ч. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА и= — 0(т. т', 1), ср где ( и и 4 4 с + 8т Р'лт называется фуннцией влияния мгновенногсс сферического источника тепла. У к аз а н не. Решаем уравнение ди (дии 2 ди) — =и* 4 — тг+ — - — 1, 0<с«+со, 0<1<-(-со, д) = '(дт: ° дт)' при начальном условии 0 при 0<с< ГЛ и(т.

О)= „при т'<и < «'-1-дт', срчпт'идт' 0 прн т'-1-дт' < и<+сс> (4) а затем в полученном решении переходим к пределу при с(т' — и О. Решение уравнения (3) при начальном условии (4) заменой о(т, 1)=-ти(т, г) сводится к одномерному случаю, причем о(0, 1) =О, тая как и (0„1) — величина ограни- ченная +Г ( 4' — 1)* "+йи) 89. и(т, 1)= ~ Вир(я) ье и — е "и и ) ссг+ 2 ту'Ц о + со (и — 1р (и+ 1)и 1 Г дт Г сьи) (ьс т) 4а' (4 — 'с) 4ои (и — т) 1 иия 2а)'и )с1 — т о ь 90. и = — 6 (т, г'.

1), (1) ср где + со и +и'и б(т, т', 1)= — 1 е и ~ии(Лт)уи(Лт')ЛдЛ= — е 'и" 1 1 1 (2) 2и — 4дд~~ и (2ои( и называется функцией влияния мгновенного цнчиндрического источника тепла. ") Подробнее см. (4!), стр. 186. '*) См. (41), стр. 184. шенин источников в случае а) и б) граничные условия на плоскостях ! и П будут выполнены. Замечание. Метод отрвкений неприменим уже к клину с углом раствора —, где и и гп — натуральные простые числа ). В случае клина сш и с пронавольным углом распкра сри выражения для функций влияния при граничных условиях а) и б) были получены в решении задачи 76 настояшего параграфа (см.

также задачу 74). Если три= —, где тл — натуральное число, то выражение для функций влияния, полученное методом отражений, может быть преобразовано в выражение. полученное в решении аадачн 76**). 88. Помепгая начало сферической системы координат в центр сферы, получим: ОТПЕТМ. УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ указа н ие. Решаем уравнение да,~дзи ! дн) — =аз1- + — — ), О<г <+, О<(<+ О, (3) орн начальном условии О при О<г<Г, и(г, 0)=,, при г'<г < г'+дг', 6 2пг' дг'ср О при г'+дг' <г <-(-со, (4) + го +оз а(г.

()= ~ ~ ()(Р, г)У4()(Р)(4(йг)))д)4РдР. о о См. также указание к задаче 74. 4 +СО 1г 91. и(г, 0= — е 44*( ! 4)е(4)е (зч ) ( — ~д~+ 2аг(,) ( 2аз(/ о 44'(4 †) г ь) з~4.ч "' - 4( „, )ч. о 92. Функписй влияния для уравнения да д( - - =()()и — эйгад и, является: 6 (». У. г, х', У', г'. () = - . . е 4О( ! (4 — ч*( — Ы)'+от — «н — «')*+ (з-о,г-г'Р (!) (2 У ()()з где о, о, о — составляющие вектора е по осям х, у, г, а з', у', г' — координаты точки, в которой подействовал источник в момент 1=0. указание. В системе координат, движущейся вместе со средой, уравди пенне диффузии принимает вид -- — 6 Ьи.

Записав выРажение для функпии влияния в подвижной системе координат и возвршпаясь к неладен)кной си стеме, получим [1). 93. Для источника с коордннатамн (О, у', г') имеем: (У вЂ” г )г+(2 — е )4 О о 4 — з 6(л, у, г, у', г')=— г Р+(":- )* (з-(гр+(2-~-Ы)4 о О 4 — з 4 — з 94. в) 6(г, у, у', г, г')= — е " +а з затем в полученном решении переходим к пределу при дг'-4-0. При г=О а(г, () дельно быть ограниченным. Реп)ение уравнения (3), удовлетворяющее начальному условию (4) н ограниченное прн г=О, ищем н виде У, УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА !е — УЧ'+Ге — УР Ог-г,о+(е+а» О О о 4 — х 4 — х в) б(х, р х р' ) 4(»ях 4 О ~ ~ ~ ~ о ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 1 и ~ ° Π— Е в) 6 (х, р. х.

р'* о з'»о+(о х'У О 4 — х е о 4(Гггх (а З ] +Ге+о» О 4 — х +е О И+о'+ер +ГО уй ~е о 95 и(х* р г г) г „»)о+(„Е<,,Н.+(* нПР' г )(), 4О и — т> ( у О)з х) (( т)*го Указание Ишем решение уравнения ди (дои сии дои» вЂ” ио —;+ — + —,)+/(()б(х — м(())б(у — ф(г))б[г — х(Г)). (!) при начальном условии и(г о-— О, б — символ импульсной дельта-функции. 88 и(,,» о[ф( +~~~~ Ф( — о)~ ) где (Р(г)= — о е ь дб, ргп б (г — г'Р (г+г'Р ) » 6(г, г', 4)= — — -- —:=="- ( е 4'" — е впгг' )Оц»74' (в) Указание. Если воспользоватьсв функцией влияния мгновенного сферического источника, найденной в решении задачи 88, имея в виду подобие тепловой и диффузионной задач, то решение уравнения ди ~дои 2 ди1 д( (дго г дг) ' --=(»1 — +...— — 1, о<., (<+ Ф (з) улавлетворякхцее начальному условию и (г, О» =) (г», О ( г (+ оз, (4) мажет быть представлено в виде +О> и(г, г)= ~ (г') 0(г.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
6,07 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6418
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее