1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d (846319), страница 77
Текст из файла (страница 77)
г', Г) 4пг'одг', ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ Н РЕШЕНИЯ Задачу мегино решать также сведением к полуограниченному стержнво с по. мощью замены о (г, !)=в и(г, !), 9Т. а] и(х, у, г, Е)=и(!'ха+у"+(г — г )", Е)+и (!'ха+уз+(г+гв)в, !), б) и (Х, У, г. Е)=и ()' ха+У'+(г — га)а. !) — и(!' хв+Ув+(г+га)в, !), где и(г, !) — решение предыдущей задачи. „в]гв и(г, Е) = — е вп! ! ~ — ~г' дг'. 20Е ~ 20 ди Ед'и 1 ди] — =О( —,+ — — ], 0<г<оэ, 0<!<+со, (2) д! (диву г дг! ' удовлешоряювпее начальному условию и(г, 0)=)(г], 0<!<+па, можно представить в виде и(г, Е] ~ Е(г')6(г, г', Е]2иг'дг', (4) г*+ г'в 0(г, г', Е] — е еп! Ев( —, 4ЕЕОЕ (20Е ) ' (б) 99.
а) и(х„у, !)=и(У(х — х,)'+у', Е)-]-и(У(к+ха!'+у', «), б) и(х„У, !)=и(У(х — ха]в+Уз, Е! — и (Уг(к+ха)в+Уз, Е), где и (г, Е) — решение предыдущей задачи. 100. Решением краевой аааачи (рис. 49) дН !дан двн], йй — ав ~ — + — Е! а'= —; ") — со < х «+со, О < у, Е <+со дЕ '(дха дуз Е' ш ' Н(х, у, О)=На=сола(, — ао<х<+со, О<у<+со, Ё́— со<Х<0,] н(х, о, !)=~ " о =!<+... ((Н„О <+ )1 (2) является: уг) 2 [ 2 УгЕ Е1 (Нв — Нв] У " — — до чв+е и ~+уз в) См.
решение задачи 8. У к а з а н и е. Если воспользоваться функцией влияния мгновенного пилиндри«еского источника, получеяиой а решении задачи 90, имея в виду подобие тепловой и диффузионной задач. то решение уравнения У. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА У к а з а н и е Построить функцию влияния мгновенного точечного источНика Для поауплоскости Уха О при однородном граничном селении первого рис 49.
рода для уравнения [1), а затем представить решение задачи (1)„(2), (3] с помощью атой функции песочника. 101, для искомого потока 0(1) получаем выражение с — )с~ (гз, 1) с) (1) — — ~ .( — ф (т)+ — ~ Л И Г 1)Гн 1 Гф(1)дат Лт ".) ) .— -~Ь=. О о ук а за н и е. С помощью замены о(г, 1)=пс (г, 1), где и (г, С) — температура пространства, приходим к задаче: до д'о — аз —, гз~г (+со, О (С (+со, дг дгг' о(г, О)=0, гз(г ~+со, о(гз, 1) гзр(1), 0 с (-(-со, гз — ! = — 9(1)+ф(1), 0(1 <+со, где 0(1) — искомая функция. Затем, как в задачах % и 90 9 2 гл. Ш, решая интегральное уравнение Абеля, находим 0(1). ГЛАВА Ч! ИЧВНЕНИЯ ГИПКРВОЛИЧКСКОГО тИПЛ $1.
Физические задачи, приводящие к уравнениям гиперболического типа; постановка краевых задач 1. За лагрвнжевы координаты г) частицы примем ее декартова| координаты х, у, а в невозмущенном состоянии. Пусть декартовы координаты частицы в возмущенном состоянии равны $ а+ив'(х, у, в, (), Ч у+икь (х, у, а, (), г+и'г'(х, у, г, О. Векюр а )и'х~+уи'г'+Фн"' харакгеризует смещение частипы из невсвмущеинсго состояния х. у. г. Вектор скорости частицы равен е — (йв'+/й'г'+ййсл )е'м+Ге'г'+де™, г(м г(( где точка сверху означает производную по времени.
Потенциал скоростей и потеицивп смешений определяются равенствами йгао У е, йгао Ф и, каждый с точностью до произвольной слагаемой функции времени. Возмущение плотности р и возмущение давления Р определяются, как н раньше "'), Каждая из величин Р Р Р Р П гв ""' омь ( !. 2. 3. в предположении малости возмущений тдовлепюряст уравнению вм — а* (ихх+ и„г+ к„), (!) Рг ср где аг Ф вЂ , а — — отношение удельной геплоемкости при постоянном дав. рг' с, ленин к УДельной теплоемкосги пРи постоЯнном объеме; Рг=сопз( н Р сопя(— невозмущенное давление и невозмушенная плотность.
Начальные условия записываются в виде И (Х„ У, г. О) Г (Х, У, г). Иг (Х, У, г, О) Р (Х, У* г), — СО ( Х, У. г С + ЕО (2) *) Подробнее о лагранжсвых координатах см. задач) 4 З ! гл, П. аа) См. задачу 4 $ ! гл. П. 511 Ун УРАБНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА Каждая из величин р, р, (>. Ф, а, и может быть вырюкена гу>о из этих величин с помощью соотношений Р = «р(ь Гч(г,+3=0, РзФ>«+Р = О, а=йгад (), и=йгад Ф, ди а= 31' через любую дру- (3) (4! (5) (б! (7! рэ«(»=р (>з д()> д(>э дл дл' (1) (2! д где — означает производную по нормали к поверхности В. я р«, н р, — неваэдл мущенные плотности газов.
У н а з а и и е. Граничи ж условие (1) получается с помощью ревеню на (4) нз ответа к задаче 1. Граничное условие (2) выражает сохранение границы раздела газов (равенство нормальных составляющих скорости частиц обоих газов, прнмыкакицих в одном и там же месте к поверхности раздела Р). 4.
Для отклонения и [х, у. () частиц мембраны ат плоскости невозмущенного состояния (плоскости ХОУ) получаем: дэи, I дэи д'и ! д„-= '(д —,+д-,). 0~1~+, (». И =-б. (д э ду) где 6 †облас в плоскости », у, ограниченная контуром Г, и (х, у, О) = 7 (х, у), и, (х, у, О) р (х, у), бн у! «и О, и! =О, 0<1<+ *! ч) Падробиый вывод уравнения (1) см. в (7)> стр. 3! — 34. (2) (3! У к а з з н н е. Уравнение неразрывности в лагранжевых координатах можно получить, рассматривая деформацию элементарного объема Лх Лу Лг и учитывая, чта его масса остается неизменной; коэффициентом деформации абьема является определитель Остроградского («якабиань).
Линсарнзованнге уравнение адиабаты и уравнения (4) и (5) выводятся так же, как соответствующие уравнения в решении задачи 4 4 1 гл Н. 2. На плоскости, ограничивающей рассматриваемое палупространство, должны выполняться граничные условия др др д() дФ д а) — = — = — = — = О, где.— — производная по нормали к пласности; дл дл дл дл ' дл д(> дФ Г др ° др р«- б) —. У, — = ~ Уду, -- = — рэр, — — — У, где У(1) — проекдл ' дл ,) ' дл дл аэ а цня скорости плоскости на выбранное направление нормали, которому сост д ветствует производная дл' 3. Величины по одну сторону ат поверхности Я отмечены нпдексом 1, а по другую — индексом 2. На поверхности Г, должны выполняться граничные условия 512 ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ б.
Уравнение (1) в ответе к предыдущей задаче нужно заменить уравне- нием где аг — скорость распространения поперечных воля в мембране, р,— поверхностная плотность мембраны, ()з — объем сосуда, рэ — невозмущеннав плотность воздуха, аа — скорость распространения малых воичущснии в воздухе. Указание. В силу условия а ~а> давление воздуха, заключенного в сосуде, при подсчете сил. действующих на элемент мембраны, можно считать не зависящим от координат рассматриваемого элемента мембраны, а определяющимся общим изменением объема сосуда за счсг прогиба мембраны. Заме чан не. Если скорость распространения малых возмущений з окружаю>пей среде значительно меньше скорости распространения возмущений в мембране, т.
е. если ар цат, то реакция среды на каждый элемент мембраны определяется состоянием среды в непосредственной близости к этому элемевту. В этом случае уравнение колебании мембраны ") может быть записано в виде дзи „[д'и дти) рэ ди д(з ' [дк> ду'/ р, дГ д 1з ~д(+(в„р)) ( =.тб(>, д (эз. т)=ва— дх и уравнение (1) примет вид ои(> а дзи (д-(> д и д (>1 дР э дх д( " дхз (дхз дрз дзз 1' — — +2га — +;; — ="[ — + — + — 1, Такие же уравнения имеют место для плотности и для давления. У казан не. Сначала нужно вывестн основные уравнения гидродинамики в эйлеровых ноординатах — +(о', ч>)э*= — — йгадр, д( ' р (3) др д( .
+4(ч(ро*) О, р ср ь Р=Г(Р! ((Р)=Ро й Ро оэ (4) ) См. [38), стр. 224. ьз) Подробнее о лагранжевых и зйлеровых координатах см. задачу 4 2 1 гл. П, где (> — потенциал скоростей частиц газа, вызванных малыми возмущениями э„= (о',м+уо'„м+ йо'„" — вентер скорости движения среды. оператор (оч, Е) определяется соотношением (и, о)=о'м — +ем . [ „м . ,д,д,,д — д,- (2) причем потенциал 0 рассматривается как функция координат (х, р, г) геометрической точки и времени ( в неполвнжной системе координат, относительно которой среда движется со скорое>ью па, икыми словами„(> изучается в эйлеровых координатах гь).
Если ось х совпадает по направлению с вектором эз, то 513 вп кглвнвния гипнэволичнского типа в*=в»+в, р=р,-(-р, р=р»+р, где о* — полнея (»абсолютная») скоросгь частиц, о,— цереносная скорость. э — относительная скорость, а величины р», ре, р, р определяются. как и в задаче 1. Лннеаризация уравнения (3), (4), (5) и исключение р и р при»идут к уравнению (1) ответа. Уравнение (1) может быль получено также следующим путем. В системе координат (О', х', у', г'). движущейся вместе со средой и совпадающей в мо. мент 1 0 с неподвижной системой (О, х, у, г), для потенциала (/=О(х', у', г', 1) будет иметь место уравнение д О,,уд (г юи д (г~ (6) Переход от эйлеровых координат (х', у', г', 1) к эйлеровым координатам (х, у, г, Г) преобразует уравнение (6) в уравнение (1) ответа. 7.
Совместим ось Ог декартовой прямоугольной системы с ребром клина тзк, чтобы клин был симметричен относительно плоскости хОа и чтобы направление скорости набегакхцего потока о» совпадало с направлением оси Ох Рис. 50. д»О 1 РИ дх» М» — 1 ду» ' где М вЂ” )! з силу условия задачи (скоросп* набегающего потока больше и» скорости звука).
Уравнение (1) имеет место между поверхностью клина и вол ной слабого рюрыва *). На поверхиссти клина имеем". д(1 / д(1'1 — гь+ — 11йз при у=х1йе. ду 1 дх7' *) Волна слабого разрыва отделяет возмущенную область от невозмущеиной; на поверхности волны слабого разрыва потенциал (Г и его производные первого порядка непрерывны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
