1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d (846319), страница 81
Текст из файла (страница 81)
краевой задачи — =«в[ — + — — ( 0(г~го 0~1~+«« д'У вдв(/ ! ВИ д(в (д д !' ((г(о. ()!~+, — '=о, о~(~+ ди(г, 0 (3) 0(г, О) =12 (г). (11 (г, 0) =т) (г), О м" г ~ г . Юля него получается представление (Г(Г 1)= в Д Г(ВУ(Г)+(ВГ(Г))АГ+ 1 ~АаСО — +Во аж — У, —, (4) 2 ч) ! «Р„Г . «)во(1 (Р аг) го о о=! где гв Во= 2 1' в)()У ~ — 1 Грпг 1 «рого (уо (ро)1' 3) го р„— положительные корни уравнения Хв (р)=0. 62. Решением краевой задачи дви (дви 1 д«1 Ро — «'~д —,+ — д-)+ — 0~~~ о О ~1(+~~ (тдгу г дг! р ' и(го ~)=0, 0(1(-(-оз, и(г.
0)=0, иг(г, О)=0, Оо г~г,„ (2) (3) является: + .(( ) (11В ~ (,— - „, с~ 1 ° ! ~1 Род (Р~) О=1 д"и (дви 1 д«1 1 — «во — + — — ~1+ — )(г, 1). Очаг~вы 0~1~+ дГв ~(дго г дг! р и(г, 1)=0, О Л( + и(г, 0)=-0, иг(г, О) О, 0(г(го, (2) Р) где ра — полсжительныс корни уравнения 'Хв (11)=0, р — поверхностная плотность мембраны. 63.
Решением краевой задачи ОТВВТЪ|, УКАЗАИИЯ И РЕШЕНИЯ является: + е» и(г, !)= ~ А„(!) Х~ (Р" ), л=! ! ге Ае(!)= — ~ дт 1 !'(й т) Уе~ — )зй! ыл(! — Т)де, где ы„= — ", а ре — корни уравнения еа(р)=0. о)ее ге 64. Решением краевой задачи д'и !деи 1 ди! Ре — аз ! — + — — 1+ — инеи. О~г ге, О~Х(+оо, д(е Ь г д4 р и(ге* Г)=0 О~! ~+со, и (г, 0) = О, иг (г, О) = О, 0 ~ г ~ ге, (2) (3) является: е( — „! и ! ге 2Аы ~ (ыг) (р„гг) „ ар ге/е( — ) [У,(1!.))' д' (ее †кор уравнения ге(р1=0.
укав ание. Сначала нужно найти вынужденные колебания с частотой вынуждающей силы в виде (г(г, !)=)1(г) мп ея. 3 а меч а н и е. Решение написано в предположении, что иет резонанса, т. * что ы~ые= —, и 1, 2, 3, ... «Ч~е ге 66. Решением краевой задачи ови Гдиг 1 ди( ди дР '(дг~ г дг) д! ' — =а*~ — + — +2чз —, Ожг е, О(! -+ (1) и (га. !) =О, О с ! (+со, и(г, 0)=!У(г), и![г, О)=ей(г), 0(г (ге, (2) (3) где р„— положительные корни урввнсния ге(р) О, если только частота ы вынуждающей силы ие совладает ни с одной иа собственных частот мембраны ые = — (нет резонанса). В случае резонанса решение разыскивается знало ирл !ично тому, как зто было сделано в решения задачи 133 6 3 гл. Ц.
Ч1, УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА является! + со и(г, 1) ~~ е с !1!Ал омыл(+Вез(пел() Хе(г— "' ), 1 гз / л=! (4) гз Ал= з(у ( ))з г<Р(г)ло [ )дге гл Вл==Ал+- ""~Ф) м м 6(У~(р ))з ~~ ге (6) (6) 1!л — положительные корни уравнения Хе(р)=0, / а м °,г арл м„= [г — — '). глл з 67. а) и(г, !)=2 — лгз л~ = р "2и,у'!(Р.) л ! .1,. у (грл ) б) и(г ()=2 о г! $ а Р рлзг(рл) л ! [(озрз — г)мз) мп аи — 2теы соз гз() [(а!Ил — г)мз)з+ 4тьмз) [(и рл Ф» ) сов м!+2ч м з(п ы(!! [(или~ — Рб!)3+ 4члгзз1 Гдс Нл — ПОЛОжИтЕЛЬНЫЕ КОрии урааисиня ХЛ(р)=0.
Ук аз ание. См. указание к задаче 50. 68. Нужно найти решение уравнения дЧ/ 1дЧ/ 1 д(!! дУ =аз [ — + — — ) — 2чз— д(з 1дг' + г дг) д! ' гл ХI(г, !)=о(г, !)+А — е!"'„ где о(г, 1)=)7(г)егн', ~ )7(0) ~ (+со, В(гз)=0. Для !с(г) получим дифференциальное уравнение л) Мы предполагаем мл дейспштельным прн л 1, 2, 3, ...; в случае, если для и=1, 2, ... м„является мнимым, в соответствующих членах сов н йп заменяются на с)! н зь н зивы перед первые слагаемым в формуле (6) заменяется на противоположный, удовлетворяющее граничным условиям )(!(О, 1))л.+со, 0(гю Г) Ае!в1, а затем взять его мнимую часть. Для атой цели освободимся от неоднородности а граничном условии.
переведя ее в правую часть дифференциального уравнения; именно, будем искать решение задачи в виде Яб ОТВВТЫ. УКАЗАНИЯ И РВШЕНИЯ «=! где р — положитеаьные корни уравнения Го(ф=О. 60. Решением краевой задачи го д'и о (дои ! ди1 д(о ' !дгт г дг! ---= а", (- — + — — 1 — ао ~ ги (г,!) дг, О ( г ~ го О Г ~+со ио= 2 прои« Црг и(го. Π— — 0 0~1~+со. и (г, 0)=гу (г). и« О, 0) =ту(г), 0 ~ г ( го, (2) (3) являетсят и(г. !)= ~~ ~А»гтв:(сп-+В» з)п ~~» ~ (уокер» — ) — /о(р»)~«(4) »=! где р» — положительные корни уравнения у,(р)+ .(И)=о, =""","."), Ира« о (б) «о 2 Г Г г г! г 1 ~ ~')('"(р" 1 у (р.)1"" «о~ «1 Оо«)+ о Уо Он»)~ р« г, В»= 1 2 -! ~ «оу(г)~У«(Р» — ) — «о(Р~)1дг Ър» о~у)Ьг )+ — «у)(р»)~о р» Указание. Часгные решения уравнения т» д'и, Гд'и ! ди! роно оà — =ао ~ — + — — ! — — ~~ др ги(г !)дг д(о ' гад« «дг| Ро()о 3 У удовлетворяющие условиям !и(0. !)!~+со, и(го О=О« ищем в виде («(г, г) )! («) '!'!О.
После разделения переменных это приводит к уравнениям го у-+аррт О, — + — — +у)! 2„° Р«В(г)дг до)( ! В Роно ! Г дго г дг рта! Г)о ) «) По поводу обозначений см. задачу б. решение которого, удовлетворяющее граничным условиям (1), ищем в виде УЕ УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА Прежде чем искать решении последнего уравнении, удовлепюряющие условиям ! И(0) ~ (+со Ю (го) 0 (!') выполним в нем замену переменных: Хг=х, )с(г)=11 — =у(х); зто приве! )о1 дет к уравнению р + — р'+р(х)= — — '. о,„(х) лх 1 2проа, 'г, 'Р х ()ор,а,' ро ~ гДе И=Ага. Прн этом условия (1) примут вид ]у(0]! ~+со, р(р)=0. Подстановка (4') в (2') дает: 2п рона го — )о(р)=-- —; — ', ~ х(7 (х) — Го(И]) о( ° ()о Рол) Ин 5 о (5') что приводит к следующему уравнению для определения значений И, соответствующих собственным значениям 1= в рассматриваемой краевой задачи р 7,(И]+ 7,(р)=О ), (51 где р то го х=п „,—, Ргл) ()а Полагая рзг ]!а(г)= "о~ — "-) — уо(рн).
где р„— положительные корни транспендентного уравнения (6], нетрудно установить следующие соотношения ортогональностн "«) лля собственных ойункпнй )(о (г) рассматриваемой краевой задачи го г'! 2н — "'(л~ооо —,ло.>1 ° ° - .) г/(о (г) А'„, (г) г(г = 2 ~ ' " ро 0 при т чья. "й)+™ ( —:,') *] Для этого после выполнении интегрирования в правой частя (5) с помощью соотношения (20), стр.
581 (7], нужно воспользоваться первым из соотношений (21). сто. 581 (7), положив т=1. ") Сн. (88). решении уравнения !2'), удовлетворяющие граничным условиям (3'), ищем в виде р (х) = уо (х) —,)о (р). (4') ОТВЕТЫ. УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ где н и [[„(г) имеют тот же смысл, что и в предыдущей задаче, го Ал= 2 ) гор(г)[[л(г)иго 2 ир +',(р )+ Еяр,)~ рл Т вЂ” [го Я го(и ) То — натяокенне мембраны. У к аз а н не. См. укааание к предыдущей задаче. 71.
Ршпенне краевой задачи д'и —; + со бой~и=О, 0 ~ г < го, 0 ( Г (+~, и (го Г)=иг (го [)=О 0( [ ~+со, и(г, 0)=((г), ио(г 0)=г(г), О~.гсго, (2) (й) будем искать методом разделения переменных. Заметим, что диальной симметрии до 1 д Л = — + — —. дго г дг' в условиях ра- [4) Часткые решения уравнения (2) ищем в виде (Г(г, [)=[[(г) Т([), Мы получим: (б) Т" + во Т= О, Т ([) = А соз во[+ В зщ ои[, йИт — А%=0, йо= —. юо со Послелнее уравнекие можно записать так: (А+А)(б — й )Я[.)=0.
(б) (й) Таким образом В(г) может быть (о+до) В(г)=0, решением уравнении доВ 1 Ю т. ° — — + — — +дол=О либо уравнения (й — йо) В(г)=О до)[ 1 д[т т. е. — + — — Ао)[ — О Его г дг [[ [г) = Сг (йг) + 0[о [йг). Чтобы удовлетворить граничным условиям (2), [1(г) должно граничным условиям [)(го)=В' [го)=О- [1О) удовлепюрнть Подставляя (10) в (11), яолучаем уравнении СУо [йго)+ 0(о (Его) = О, И' (йг ) + [)[', (йг ) = О.
) [12) Так как нас интересуют лишь ограниченные при г 0 решения уравнения [й) то 641 У!. УРАВНРНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА "га (йго) (о (йго) га (йго) го (йго) =О для определения собственных значений нашей краевой задачи йэ, йа...., йо, В качестве собственных фуниний можно взять йо (г) = й (йаг) = )а (його) Уо (йаг) го (йога) 1а (йог! (14! Втн фуняцин ортогональны ) на отрезке 0 ~ г С го с весом г. Для докэза. тельства этого утверждения заметим, что уравнение (7) можно переписать в виде — — ~г — - ~ — — ~г — )) — дай=О. (1б) Положим в уравнении (15) й=й„(г), й=й~, а затем й=йщ(г) и й=йм.
умножнм первое нз полученных равенств на гйм (г), а второе на гй„(г), ") Ортогональность й„н йм может быть доказана и беэ подробного ясследования их поведения при г=О. Возьмем уравнения ЬЬй„(г) — йой„(г)=0, ЬЬй (г) — й' й (г)=0, УМНОжнМ ПЕРВОЕ На йы(Г), а ВТОРОЕ На й„(Г) И ВЫНЕМ; МЫ ПРИДЕМ К Раненству йм Ь йа — '<. ЬЬйм=(йа — йм ) ймйа- Проинтегрируем это равенство по кругу К с границей Г, О ~г < го, 0 ( ар <2п я воспользуемся формулой Грина (й„— й )~~й й„бо-~~[й ЬЬй„— й„ЬЬй„)до= так как на окружности Г, г г„имеет место йм(га)=йо(го)=0, йм(го)=йо(го)=0. Если йщ~/га(й,„, йа)0), то нз равенства (й — «а) ~~й й„ы-О следует равенство ~~й й„б =О, г„ гйж (г) й„(г) йг =О. т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
