1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d (846319), страница 82
Текст из файла (страница 82)
е. Мы разыскиваем нетривиальные решения уравненмя (8), удовлетворяющие граничным условиям (1!), поэтому константы С и 0 не должны одновременно обращаться в нуль, следовательно, определитель системы (12) должен быть равным нулю. Так мы приходим к трансцендентному уравнению отняты.
ни*алиня и впшиння Решение краевой задачи (1), (2), (3) получаем в виде суммы ряда +о! и(г, !)= ~ «А„саа(сей'„Г)+Вл мп (сод«о()) )(л(г), л=! г« гг (г) Я„(г) Аг го ') г) (г) )!л (г) !(г Ал л ))( + л с Л 1~д (1«(його) — Ло(йлго)) ° )Сл (г) ! (йо о!) й го(о (його) Ло (його) л=! где цилнндричесная жесткость () равна 2Ейо *«) 3 (1 — то) а (с„(г) имеет тот же смысл, что и в предыдущей задаче, + йл~ о о ч( 1 мп (й'„со!) — мп ыс где )сл и В имеют тот же смысл, что н в предыдущей задаче. Л! (його) Вл (г) йлг«Л« (й~г) Ло (й г) ') Можно было бы воспользоваться аналогичным образом соотношением (17), полученным в предыдущей сноске.
«") См. решение задачи 16 настоящей главы. вычтем результаты и проинтегрируем по г от нуля до го; зто дасж го (й' — И4) ~ гД В с(г =~ Вл — ~ — — (г — ~)1— о — Л( — „" ~ — ',— "(г "~")~+)(')(.— Л(.'г')' ". «6) Подстановка в правой части последнего равенства обрашае!ся в нуль тождественно прн г=.0, что вытекает нз структуры рядов для функций Бесселя Ло(х) н (о(х) а при г=го зта подстановка обращается в нуль и силу граничных условно (11). Позтому пря й„,„ьйл, й„,~О, йл)0 будет: ') гВ й!„!(г=-О.
(16') а Если в равенстве (16) заменить йж на й и перейти к пределу прн й-!.йл, то, ржкрыаая неопределенность по правнлу Лопиталя, найдем )! оо Ь ! ()сл ~ = ггсл (г) с(г — — '()сл — отл — ( — — ~г — ) — ! ! — )СФЯ« 4 ( ! — Йл (го) — гь)о(й го) |о(його) (16) О1. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА й~ао 74.
и(г, !)= — г 'ъ %~ =2п() п 1 76. Решением краевой задачи и(го, !)-и(г", !)-О, 0~!«+ ь и (г, 0)=р (г), и,(г, О)=) (г), г. г ,**, + оо и(г„!) ~ ', (Апан(аЛ„Г)+Впаш(иЛп))) Вп[г). )(п (г) — )о (ГЛп) Ноч (г Лп) )а (г Лп) Н)~ (ГЛп) Лп — положительнме корни уравнения Но '(г Л) )о г Л) Н) '(г Л)=0 7~(Лог*) , Л а„п,, ~ гоу(г)/(п(г)дг, го о Уао(Лог*) га (Л Гао) " (О(Л Г.) 1 ГГР(Г) йп(Г)"' г оа(г Л) поЛо п А п и Лп В п и 2 + са и(г, !)=Р(г) мп оМ+ ~ Вп)(п (г) о(п о),п(, п =! )7 (г) ро мор )о( )Но ~ ) Но ~ — ) )о~ — ) г* пайп 72,(Апгп) Вп= — — " ' .
Ю(г))) (г)дг, 2и 1оо(Л„г*о) 7о (Л„г ) ) г Вп (г) = )о (Лпг) Нои (Лаго') — Хо (Лог*а) Щ1(Л„г) Лп — положнтельньн корни уравнения .),(Л,»)Н, ( -) —,(,(Л о )НУ ( ")=О. д'и . И'ц ! ди! — =по) — + — — 1, го(г агап. О(! С+оп, дта (дго г дг) ' Ч! НРАВНЕНИЯ ГИПЕРВОЛИЧЕСКОГО ТИПА тп. Потенциал скоростей ранен л.л О гп !(и —. ~ 1(г) 4~ — )0~. р" сап / Ип о!т гп ! г Уп(Н ) -- ап)11 " „О о о гл гп Нт С гл и рм, ОС=О, ), 2, ...,— полон!и!алиные корни уравнения .1,(р) О.
60. Потгнп пал скоростей раасн И (Г, 2, 1)= л да))л (Г) СОΠ— СОО Оя+ Лна~ л О л, ил=а Ра (г)=Кй(хлг") 1п(х„г) — КО(хлг)1п (х г'), / лтят в! И ад' (2) 2 Г ниа дл — —, ~ .'(2) соа — Па, л=), 2, Фл(г ) О ) ~й(" ) 11)п !г! = Уп (Дщ г) ИОЛ (Хтгл*) )о (Хглгпл) Нао (Хмг), *) Здесь предполагае!ся. чпп Х„ДЕйетннтсдьИО; в ВРотнаном случае К„и 1О заменится на Фп и ул 18 п.м.
Вта и н АР. (+ о и(г, г, 1)= т! Ь дмси ~л =О ! ь У гл +по г Лпа 1РмГ) т. Нгл Л На + В„„соа — г' ! — '" ) сснта т/ 'Нт л Лна - / „Лапа т Влл тггп (г) спн ом1а аг ) ю ) г (() ОТВЕТЫ. УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ Хж-положительные корни уравнения (о(Дг*) Ноп'(Дг*') — (ю(Дг*') Н]п'(Дг") (о Аи г~ гйп(г))(гл(г)о)г ~иго гоо ) гНоо(г)аг г 81.
Потенпиал сноростей равен и(г, г, ()лп ~ А„)( (г)сне ауг ) — — сены(+ .оГ о Ыо ао~ о +о» + ~) И„Нл(г) соо — сов(а 1гг )оп+ —,„, о жяа .о l о топо п.гп о )(л (г]- )о ()олг) Ноно (диг*о) — уо (диг *) Ноп () пг). Хп (и О, 1, 2, ...) — положительные корни уравнения до (Хго) Н'„'и ()и'о) — го (йгоо) Н" и (йго]~ О о), гоп 3 г)(г)))й(г)а г Ап— о )„о — — аь) аГ 1„',— — 1 гйп (г)аг ао ауГ ао ~ г 8 — —" сп т 1уг )оо — соо — аз, т 1, 2, 3..., ипо 1 ~ п о ° ° ° ° ° о г и сьт ) до 'аа. по 1 ~ ~/ п г, где р)и) — положительные корин уравнения Т (р]~ О, (2 прил О, )(1 при и те О, го — радиус мембраны, (ги о)о) — точка удара ") злюсь прсаполагавтсоо, что Аа З ° — Длн всех и.
О, 1, 2о чт. уРАВнения ГипеРБОлическОГО типа 547 Указание. Можно сначала считать, что импульс К равномерно распределяется в момент ! 0 по элементарной плон!адис !р, ~ ор оар, + А~р, гд<г==-го+Аг, т. е, что начальные условия имеют внд и(г, ф, 0)=0, 0<ф<фо, О<ге го, К на указанной площадке, иг(», ф, 0) РгоЬРЬг 0 вне указанной площадкк, а затем в решении, полученном при этих начальных условиях, перейти к пределу прн Аф-оО и Ьг-о-О. Можно воспользоваться также импульсными дельта-фуннпиями для фор. мулировании начальных условий, полагая а(г, ф, 0)=0.
О<ф<!Рь О~гоИго, иг(г, ор, О)= — 6'(г — г!) 6(ор — ор!), К Р Где дельта-функция 6 (ф — !р,) определяетси обычным образом, а функция бо (г — г!) определяется равенствами г гб'(г — г!)7(г)дг ((го), если г',<г,<г,', г'„ гб» [г — г,) 7(г) дг О, если г, лежит вне отрезка (г,', г,"], го какова бы ни была непрерывная функция )(г). Таким образом, произведение 6" (г — г!)6рр — ф!) является обычной дельта-функцией для плоской области; умножая се на элемент площади в полярных координатах гдгдф и интегРируя по рассматриваемой области, мы получим ! илн О, смотря по тому, принадлежит точка (го, фт) этой области или нет ). 33. Потенциал горизонтальных скоростей частиц воды является решением краевой задачи иг (го, ор, Г) = О, 0 < <р < 2н, О < ! <+ со, (2) и (г, ф, 0) = ц!г соо ф„ иг(г, ф, О) = О, 0 < г < го, О о ф ~.
2п, (3) для него получается выражение + о и(г, ор, !)=о,сооф !) Аиро~ — )гсв —, г риг ! а)ол! го го а 1 (4; *) См. также (7), стр. 270. 18 Фи,~дои ! ди ! дои) Ж (дго г дг го дйу! ' — =а'~ — + — — + — — ~, 0<г<еи О<ор<2н, 0<!<+со, (!) ш иилвипиия Гиппаноличеокого тиил бб. и[г, ~Р, [)=о ~ Со [а'Р-„' — г(ыо) г', [ -' — — ' ) сов ~ Р— ы[)— [ го л 1 ,..[ 1 . л =! го )Рлг .) [л.), ~'М"' и ) С оУ "(Рл) ((гомо — аопло)в+чг)кошт[о рл †положительн корни уравнения г,[р)р б У к аз а и и е. Решение заалчн можео быть получено как действительная часть рыпения уравнения ели (оРи 1 ди 1 д'и) ди )(г) гге ыг, — а" с — + — — -1- —., — / — 2к — + — е д[о ~дгв г дг го дгрв( д[ р обращающегося в нуль при г г„.
Такое ранение уравнения (1) можно искать в виде [)(г, гр, ))=Й [г) е"е мп. Решение ли~рференциального уравнения, получающегося аля )т (г), можно искать в воде т оо [[[г)= ~~ А.У,/и"'). го 66. и (г, Ш, ))=(а[г, т)+ — 1[[) ~ сов лгр. го у (ржг), го Р [~ ° [Зао) И) — гм" [т)[У [1'"") дг р„([)— гоулли (рт) Р— положительные коРни УРавненив г'л [и) =О +оо 87. и[г, гр„[) ашои р у„~ — /(А„спешу+В„мп щр)+ о / [ло ло /р„, г[ ар' [ ~ гл~ /[А г совшр+Ьл мишр)мп — ~— го го л.т-а отвктв), унлздния и рвшнния 1 Г 1 Аа, ~ Р(ф)дф, Ал,, 1 Р(ф)ссипфйр [Вгл юге 2агв [ — в а а а= 1, 2, 3, ..., Вл Рфр)г)ппфдф, и 1, 2, 3....$ ! и!л (— 2 А„~ У„~ — )У„~' — )И п,т 0,1,2,3,..., [л) !' (р[л)) жгдл ~ ггл ~ — ) гл ~ ~ ) ,и 1,2,3,..., ш 0,1,2,... [л) у' ( [л)) Алш— Вл Унан анне.
Сначала целесообравно найти частное решенне уравнення д'и (дги !ди 1 дги! — аг — + — — + —— дгг ( дгт г дг га дфг 1' и (г, р, !) Р [ф) г)п оя, ()(г, ф [) !' (Г, ф)гзпо)[. +Оа 1 ш'аг ))~ гл 6 т,г о 2 ) (г) соа — Иг А ()[ш) — ноложнтельнме нория урввненнв гл ())) О, удовлетворяюшее граничному условню Это частное решение естес)венце нскать в виде р[") †положительн корнн уравнения г»(р)=0, г [ ((г) дг Ав — Хл ~ — ) УЕ УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 501 — 2А ~ ( ( Г ~ — 1г„( — ) гю ~( ††"„, 1 ую ( 1В"1) т= 1, 2, ..., А=О, 1, ..., — 2АВ ~ гуа( — ) Уа~ — )~г ГО~1 — 1лв ~'а(~4"') (" ! ~4"Вг1 . ГР~"" ыю1 69. и(г, ~р„в, 11= ~~ АВИВ ~ — ) сЬ В 1тг — — сов гнусавая+ "~" l ~' ". ") + 14а)гт л ы В В 1а1 + (1 А„,ау ~ — ) сов — сов л~р сов о( — +— е л( ю (В гю ю ~л.
В=О (В1(а1 — положительные корин уравнения Х„'ОВ1=0. 2 г((г1 Да *( — ) й АВ ° ю ю й = О, 1, 2, ..., г ~пР В А  — — Аа сЬ — — — аж — Нв лю=! 2 юа аю ю А 0,1,2,..., 1 (авю ыв Люа — — АВ сй  — — ю(В, й О, 1, 2..., Д гю ою ю 60. ...,- =~ — ",'.")=( — "':.") .. „, %ю ~Ъ гю (11 Гке (г, ~р 1 — точка, в которой сооГВнен импульс 1(, Р~" — корни уравнения х (р~">) =о, 552 ОТВЕТЫ. УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ 01.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
