1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d (846319), страница 85
Текст из файла (страница 85)
3!п (ьплл+Ч,п: ПП Гпля+ Чп1З)П (Рай+ел) ПП (тлз)+йл) ( А+И" ) (" +М1), ("Ф.+")("~+д)) ~ И,,„ мп ~о (( — т! )/рпп +оп~ Х а Ь/р +чп *) (;и. Шорую сноску на предмдущен юранице, если перед зл и уравнении стоиз знак плн)с если )ке в уравнении перед сзи гт ит знак минус, го в ответе нуюно сй заменить через соз. ))Т. Сначала рассмотрим прямоугольную мембРану. !) для пер~к~й краевой задачи, когда х О на границе прямоугольника, 675 ун впхвннния гипппволичнокого типл выражается следующим образом: ! П(Х, У, Г) ГГ+)З+Лз~ дт$ РФ, ПЬ т)К(Х, Ю $, КЬ Г вЂ” т)Гфдт), (4 ) г где 1т и /з означают первое и второе слагаемые в формуле (4), в) Решение третьей краевой задачи, отличающейся ог задачи а) лишь граничным условием [ — +ах~~ =О, вырахсается следующим образом: и(х„к„т) 1,+(~+аз~йт~Р(6, т), т)к(х, Го $, т), à — т)да, (4") где !т и гз имеют те же значения, как и в (4').
У к аз ан не. Переходя в уравнениях (6) дти -у- гузбзи.+. сеи+)(х, Р, () (6) от х, р, Г к й, т), т и используя начальные условия для к(х, у, $, т). à — тй к б,-о,, |г -* б (х — $) б и) — р). нетрудно яолучять с помощью формулы Грина — Остроградского, что п(х, Го Г)= ~~ (П($, кв 0) кг(х, у, й. г), Г) + ог($, з), 0) к(х, Р,ф, т), Г)) Щде)+ + ~ дт ~~! ф, г), т) к (х, у. й, т), à — т) пй пг)+ -)-о' ~ Лт$~к(х, у, й, з), г — т) ди(й, тв т) дл о г дк(х, у, й, т), г — т)1 дл Пля этого нужно уравнения (б) и (6) после перехода к й, т), т умножить охп ветственио на и($, т), т) и я(х, Го й, ть г — т), вычесть одне из иругого и результат проинтегрировать по й Ч по области 6 н до т от нуля до 4.
с помощью соответствующей функции влияния к, удовлетворянхней гранич- ному условию 576 Огветы, укАВАния И Решения 120. Указание, Пусть область й ограничена поверхностями Ю, и дз цяю. 66). Опишем, как нз пеитра, из точки (х. у, х) сферу до радиусам з; ограниченный ею объем обГмначим ы . Умножив уравнение дои — о= побои+) ф, 0, й, т) дто зой на 4 б~ г) н(х,р 4.0 й à — т)- —,. а уравнение д'н †, =подои йпь Рие 66. на Ге(2, тз т), нужно вычесть нано из другого н результат проинтегрировать по объему 1) за вычезом гоо и по т от тч (0 до то)0, считая и и 7 как-либо продолженными для отрицательных значений 1.
б) ФулГщии влияния иепреромио деаспГоуащих пкредогпояеииои псшооли пм. 1'--.') 121. оз(х и а хм Ро хо Г1= 4пао г где г= (х — хо)'+(р — уо]о+(г — ао)о. г 7()д г прн 2по,) Ргао (1 т)о )„го а 122. и(х, У, хо. Уо Г)= г при 0<1<— где г = рг(х — «о)о+ (и — ро)ч 123. ы(х, и, г, 1)= — о =.
Ж 2 ! Г)г 1г= го где с (г) — )х (à — ) х1 + !у ~1 — ) У1 + 12(1 — — ) — а1 — г ° а го — положительные корни уравнения р(г)=0, -'! — "'-" !-И вЂ” — ) ! где Ф вЂ” проекпия скорости источника нв нзнравление радиуса-вектора г; дР0) проведенного нз точки наблюдения в источник) пазтомУ вЂ” можш абра, Г1г 577 РЕ УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА шаться в нуль лишь в том случае, когда скорость движения источника ю ) о; следовательно, лишь при этом условии уравнение Р(г)=0 может иметь более одного корня.
Если источник движегся прямолинейно с постоянной скоростью о, ш, направляя ось х по направлению двингения нсточаика, получим . а) при о са, т. е. при М = — <1 а ( М ( — ог)+ р ( — ог)г+(1 — М=г (рг+2Ч) а (1 — Мг) 1 Оэ (х, и, 2, 1) 4пог $' (х — ог)ь+ (1 — Мг) (йэ+ гг) б) ярн о~а, т. е. прн М= — )! о М (х — ог) + рг(х — ог)э — (М' — 1) (Уг+ ге)~ 7(г+ а(х, у„г, 1) —— 4паг а(Мг — 1) 'гг(х — о!)' — (Мг — 1) (ут+ге) М (х — ог) — У(х — иг)г — (Мг — 1) (у-+ гг) ) о (Мт — 1) 1 +— 4па' )' (х — ог)г — (Мт — 1) (уг+2г) Рис. 57. ось х и отреэок ОО' (см. Рнс.
57), с1йи=М» — 1- В этом конусе корень )г(х — ж)г — (мг — 1) (дг+гэ) действителен. Если источник начал действовать в момент времени (=о, когда он находился в точке О, то областью, в которой вызванные им возмущения могут быть отличны от нуля, являешя часть пространства, ограниченная упомянутым конусом и частью сферы радиуса аг с пентром в точке О (причем точка О лежит внугрн этой области, а конус касается сферы) 19 В. и.
Егдаа а лр. 3 а м е ч а н и е. тнм равенством решение определяется внутри кругового конуса с вершпной в О', осью которого служит отрицательная полу- 6У6 ОТВЕТЫ. УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ В точку гнаблюденнкт А(х, у, г) в момент ! при и)а приходят возму. щения, посланные источником нз двух положеинйг А, и Аэ. Расстояния АтА и АзА равны М (х — и()+'уг(х — Ы)з — (М* — 1) (у'+г') А,А=», Мз — ! М (» — Ы) — (х — и!)з — (Мз — ! ) (уз+ гз) АзА гз Мз — 1 г, В точке А, источник находится в момент (г=! —, з в точке Аз он нахов' днлса в момент га=! — —. гз а Если мощность источника постоянна и равна 4, то и в) при и(а, т.
е. М= — (!. а 4 ы(х, у, г, г)= —— 4паз У(» — Ы)з+(1 — Ма) (уз+ И) ' б) при и) а, т. е. М= — ) 1, а Ч ы(х, у,г, г) — —- 2паз !' (х — гг)з — (Мз — 1) (уз+гз) )г к а з а н и е. В интервале, вырагкающем решение уравнения (1) при начальных условиях (2) ы(х, у, г, !)= —,, ~ ~ ~ .— 6($ — [Х!) 6(т) — [у!) 6(~ — [Л!)дядт) д~„ г (х — цз+(у — т!)т+(г — ь)з, г где [Ф! означает, что в функпин Ф аргумент г заиенен иа г — —, целесообразно перейти к новым переменным интегрирования а, 6, у: а=4-[Х! 6=т) — Р'[, Т=ь-[Х[; о(6, т), г) при этом вместо определителя ' пелесообразио пользгваться опреде. В(а, 6. Т) ()(а, 6, у) лителем — * ()(Е.
Ч ь) 124. Источник находится в начале авяжущейся вместе с инм системы координат О'х'у'г', расположенной, как указано на рис. 57, х'=Ы вЂ” х„у' у, г'=г. и а) Прк и(а, т. е. М= — (1, получается уравнение зллнптнческоготипа а д'и 1 ['дзи гнгг '! 4 дк'з 1 — Мз (ду'з дам ! аз(1 — Мз) —,+ — — [ —,+ — „[= —, 6(»')6(у')6(г'); заменой оереьгениыь х'=$, у =, г= ~ оио преобразуется т! Р'! — Мг' ! ! — М в уравнение Пуассона дзи да и д'и /" '! дяз д!!з .
дйз — + - + — — — 4п ! — 1Ь й) Ь (т)) о !Э), 14пату кк знланиния гипенполическОГО типА решением которого является функция влияния сосредоточенного источника У(2, г). Д= апоз рггьг ! т)з ! гьз или в исходных координатах г'. у', г'. и(г', у', г') чиа~ Р' г'з+(! — Мз)(у'з+г'з) б) при о)а. т. е. при М вЂ” ~1, получается уравнение гипербсличе- а ского типа Ози 1 Г дзи дзи') д дг'г Мз — 1 )ду'з дг зу аз(Мз 1) — = — ~~ —,з+ —,)+ Ь(г')й(у')б(г'). Решая его с помощью надлежащей интегральной формулы при начальных условиях и), =о-0 и;( =о=О получим: и(г', у', г') 1 2паг Уг з (Мз П(у'з -)- г з) 125. Пусть электрон движется вдоль оси г со скоростью о сопз(ч), с с а= — <о(с, где с — скорость света в вакууме, а а = — скорость света 'ггв г' а в рассматриваемои диэлектрике с диэлектрической постоянной в.
Скалярный потеицивз электромагнитного поля, создаваемого движущимся злентроном, равен 2з прв Ф вЂ” г )уг, ф= е )Г(щ — г)з — узгз О прн о! — г ( 'уг. гз Здесь е — заряд электрона, ут= — — 1, с=утят+уз, причем предполагается, что в момент (=О электрон находился в точке к=у=а=0. Компоненты век горного потенциала равны А,=Аз=О, А =з — ф, (2) с причем Н=го! А, Š— йгаб ф — — — „(2') 1 дА с д(" В каждый момент времени ! электро.
магнитное поле, создаваемое электроном. отлично от нуля лишь в нижнем конусе с вершиной в злектроне (рис. Рис. 58. бб), а эквипстснилальными внутри кг иуса поверхностями являются гиперболоиды вращения (М вЂ” г)з — утг" сонат. ') Нз самоа деле зта скорость будег меняться за счет излучения энергии электроном. Подробнее об этом см.
(18). 19* ОТВЕТЫ. УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ Укаяа нне. Для скалярного и векторного потенпиалов имеют место уравнения причем «) б(т А+ — — =О. е дв с д( (4) В вашем случае )(«)=)мг=б, 1(с~=ср=сгб(х)6~6)б(г — срь р = сб (х) б (р) б (г — с(). (6) (6) Подстановка атил аначеннй р и 7' в уравнения (3) ораву ию дает: с А„=-А« — — О. Ас=е--гр, с (7) повтому равенство (4) превращается в равеншно дА е д~р с+ О (8) что позволяет все компоненты алектромагннтиого поля, испольауя (7) н (8), выразить через скалярный потеипиал Чь 126. () —, а г а Е( —, а' МдМп6 а г г < —. а 127.
Для смещений и, о, в по осям х, р, х, считая, что сила г (() прн ложена к началу координат н направлена по оси х, получаем выражение и= — ~ — ( — )~ ° ~ тг (à — т) дт+ а + ~ ~ — ', р (( — — ') — 1, р (( — Я+,—,' р (( ')~, ") См, (7), стр. 451, н,=-~ в дг«р 4п снр — — — - = — — р, са дс) е едА 4п ЬА — — — = — — 7'г', са дР с — ' а, Гг Ф вЂ” ')+ — "мпв(à — '))а|Ей, — ~г мп в(( — ) — — сгнв(г — )~вмВ, ЙИ~ соа В га — ~(га — -6) сгнв~( — — ) + — мп в(( — — )~ мп 6, ЧГ.
УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА о- — '~ — '-(-'Д~тр(1-т)"+'-."~-'Р~( — -) —,а Р(1 — Ь-)~ =,— ~ — „~ — Л ~ тр (( — ) лт+,'-; (.—, р ~г — -'-) —,—, р (г — Я~, а где (2ж — 2)6 А+2Р Ь'= О = р (т — 2)р р ' р р' р — плотность массы среды, о — скорссть распространения продольных деформаций, Ь вЂ” скорость распространения поперечных деформаций. Ук анан не. К поверхности малого шара радиуса г с пеитром в начале координат приложены упругие напряжения, равнодействующая которых должна совпадать с Р(1).
Следовательно, при г-ю.О наприження должны иметь поря- 1 док — (если только г (() М:-О н является навечной величиной). Перемещения, проиаводным которых пропорциональны напряженна, должны иметь поря- 1 док —. а ГЛАВА УИ УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА Ли+си= — у ф 1. Задачи для уравнения Аи — нви= — Г 1. Концентрация газа в точке М(х, у, г), отстоящей на расстоянии г от источника Р=™Р ($, е), ~), равна (го и= — —, г =)г(» — ГР+(у — т))о+(г — ь)о, 4пР г где Р— ковффициеит диффузии, не= — р — постоянная распада.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
