1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d (846319), страница 87
Текст из файла (страница 87)
в) Конец х=0 упруго закреплен, о'(0) — ло(0)=О. Собственные значения Л. определяются из уравнения Л» М (ОУл»1- м — ("=' 2 2 ") ( -"-) . м„),— и Собственные функции о» (х) Х» (к) Х» (1) ' Х» (к) = УЛ„соз У Л» к+» з)п УЛ» х. Квадрат нормы ) о»Р= —,) Х» )з.
1 " "'=Х„()) У к в з а н и е. Динамическое условие нагрузки конца х 1 имеет вид Мигг= — Еи,(1, Г). Полагая и(х, 1)=о(х)Т(Г), получим после разделения переменных для и(х) уравнение с»+Ло=О, о'(1) — Ло(1). М р Условие ортогональностн следует нз формулы Грина ~м( )- (.)~"=~ "-:ц где Л (о) = (Ео')'. Прн вычислении нормы слезуег пользоввтьсн характеристическим урав. пением. Гял Р где Л' ( — ) — собственные значения стержня с жестко закрепленным конй цом к=б б) Конец х 0 свободен, о'(0) О. Собственные значения определяютсн из уравнения (2УЛ»1= — 1— - УЛ . »» Собственные функции 592 отпиты. указания и рцшцния 20. Сосрелоточенназ пасса М находится в точке х хо. а) Оба конца струны жестко закреплены, о(0)=0, о(1)=0. Собственные значения Ка опрелелякпся из уравнении с)к — "хо+с12 — "(1 — хо)= — ! а„.
)'). р'~„о)( й й йр Собственные функции у'~„ Б)п — — х й пун 0(х(хо яп —.-' — ' Хо й и„(х) == Б)п " (1 — х) Ук. а при хо ( х ( 1. о (1 . )Я.— й Квадрат норыы рХО р(1 — х) М )Гул о. )~Л 2 згао —" то 2 Б)по — (1 — хо) й й б) Оба конца струны свободны, о' (О) О, и' (1) О. Собственные значения 2а апрелелякося нз уравнения !')Б„ пм — "х й при 0(х(хо, 1 )Би со% — х„ а соп —" (1 — х] при хо(х(1, соз — (1 — хо) 2» й и„(х) = Квадрат нормы + — (я 1, 2....) Рхо р(1 — ) М 2 соз' — хо т созе — (1 — хо) )ол )оа а и в) Концы струны упруго закреплены, О (0) (ОБО (0) 0 О (1) )- Лов (1] 0 12 — х +12 — (1 — хо) — — ! )чо ° Ю И г— й а йр Собственные функции ны трлвцпния эллиптичнскога типа Собстеенные значения определявтсн нз уравнения аа — )тХ (й — (1 — «е) ад — р Х (й — хе Уд а о аМ + . Ул —.
) Х )'). оь, (я — (1 — х,)+ ~'ъ о)ь (ц — «,+ ~'л а о Собственные функции пря 0(х~х„ Ха (х) ои (х) = — при хе ~ х(1, уз (х) 1 а (хо) Х» (х) = ) йа соз —" х+ай, мп —" х, Уд„. )'Г о о Ра(х)=) Х„соз — а[( — х)+п)ьзз)п — "(1 — х). )'Х„ г' л» о и Квадрат нормы г ) о„)'=( о'„(х) р И~+Ма*„(хз) (и=1, 2, ...). 21. Уравнение собственных поперечных колебаний однородного стержня имеет внд о — — о=О, (го> оз ЕХ где а'= —, Š— модуль упругости, а — молзент инерпин поперечного сечения относительно сеней горизонтальной оси, р — плотность стержня.
Я вЂ” площадь его поперечного сечения. б) Оба конца жестко заделаны, о=-О, о'=О при х=О, 1, где р — корень уравнения сп и соз и = 1. Собственная функция х х) ол (х)= Фа ~~сп ра — 1- — ссвр» -1 ) (зц р„— мп р„)— х х )) — (ей 1 — р„) (зй) „— — з)п р„— 1), где А„— произвольный множитель. б) Оба конца свободны.
о" О, о"'=О при х=О, х=й ОТВЕТЫ. УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ где р„— корень уравнения сд р соз р = 1, ол (х) = Ал ~(сц Ре х+ сов 1)п х) (зЬ (зл — мп рл)— — (сп р„+ сев р ) (зЬ - - х — з!п — х !1. Рл рл л в) Один конец (х= — 0) заделан, второй конец (х= 1) свободен, о=О, о'=0 при х=О, о"=0; о'"=0 прн х 1, лл — — ьл — л(а=1, 2, ...), где р„— кореаь уравнения сп р совр= — 1, Ол (Х)=Ал ~(С(ГРЕХ вЂ” СОЗЕ(Е Х~(ЗЬ Рл — ИП Рл)— — (сЬ р — совр ) ~зЬ вЂ” х — в)п — х)~. рл рл л л 1 2. Собственные колебании объемов 22. Пусть х=О, х=а, у=О, Е=Ь вЂ” стороны прямоугольника. а) Если граница мембраны жестко закреплена (о= 0 при х =О, а; у=О, Ь), то собственные значения ггл~ аз ~ ~м.л=п' ~ —, + —,~ Ол.
и=). 2. -.)~ '!ал собственные функции пж . ип о . (х, у)=з)п — ха)п — у, а Ь аЬ (о, .л ° 4. б) Граница мембраны свободна (о„=О при х=О, а; о,=О при р О, Ь), , гтз л'! Х-..=- ~- + Ь4 (-'=О 1 2 -.) '1цз от л(» р) — оси «соз 1, р о )о,л(з= — е е„. ел=2, вз=1, А~О. аЬ льл =,1 ил а) Дие по'п1воположиыг стороны х=О. х=а жестко закреплены (о=О при х=О, а), а две другие — Е=О н Е=Ь вЂ” свободны (о„=0 при у~О, Ь), Х~,„= ( — +„) ( =1,2,...;и=о,),2,...), пгя пп ом л(х. У)=-з)п — хсоз 1 Гь л ! ) ель л )з = — аЬв,и УП УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА г) 1(яе соседние стороны х=О и У=О жестко закреплены.
а две другие стороны свободны, ле((2т+1)е (2л+1)»1 4 ( л' Ь' л (2т+ 1) . л (2л+ 1) от, «(х, у)=мп хып р. аЬ 1о, )е= 4. д) Все ребра прямоугольной мембраны закреплены упруго, о„(0, у) — Ь,о (О, р)=О, о„[а, р)+Ь о (а. У)=0, о„ (х. 0) — Ь,о (х, 0) =О, оа (х, Ц +Ь,о (х. Ь) =О. Собственные значения Лт, „определяются из уравнения Х«ь»=[От 1~+(р««(~ (л 1. 2....), $п !»1 где рт и р~» — корни уравнений 12(ри'л)= ' " 12(р"'Ь)=( '+ ' " (рокар Ь|Ь« (рм'и Ь»Ь« о, „(х, у) =[рт сев р и х+ Ь, мп ртп х1 [ р» ' ом р»" у+ Ь» ып р»у[тг 1 н Утйг«« ~Члт~-ч ( а (Ь, +Ь,) [(Рт )в+Ьгйе( [2 + 2[(р'")'+ЬЛ [: р)«")'+ЬЯ1 ' + Ь (Ьз+Ь«) [(р„- )х+А»Ь«[ 2 2 [(рГР+ЬД [(р,'»')в+Л[1)' 23.
Начало полярной системы координат (р, и) поместим в центр круга, радиус круга равен а. а) Мембрана жестко закгеплена, и (, =О. («)1« Собственные значениа' Ат,„=( — ~, где Р— коРии УРавнениЯ /«(Р)= !«> о, Гр(т) 1 ( сов тир «~ о ~1ыпар а'ле«[ ° („,»1)-,а ~ 2. п=0, В ч - "вост ",: ' ~ и =0 ,„~о> а'и о=о =» ( — — р), (от(т= — »"е(р ).
т ) ~„(о)1« где б) Граница р=а ..«бпз»ы - «бонна 1 — =-0 при р=а1, ,др нн. т идвнения эллиптического типд б) Если видены граничные условии второго роде о„ 0 при х=О, и; од †при у=О, Ь; о,=О при х=й, о, Г гпз пе Ьвт Х,,в=ив~ + — -+ — ) (пт, л, в=О, 1, 2, ...). ~ «з Ьз ) ню пн пй о,,в=сов — хохм — у ссм — х, а Ь с (2, 1=0, аЬс (о,„,„„в В= — „вмк„еы Нормированные собственные функции 1 рхь и. В = оеь и.В. ) о,„,в) в) Для третьей краевой задачи (ох Ьгз)х а=О (ох+эхо)х-а=О* (ов йто)в-е=б (оц+йчо)в-ь (о — Ь„о)х е=0, (ох+йво) „=О имеем: й.,..в=[и.'(+И1+И1, где н'", р'т', р"' — корни следуюпгих уравнений: (Ь1+йе) Р",, (Ьх+Ь~))дт',, (Аь+Ьв) Р™ ом,и.в=им (х) 1 «(у) л» (х) м щ=ьх «*.~ч щч 1 ~мт+ч 1 ь)=(м Ф'~ ~.,~ ю'ч ь' 'гтК 1 х ( -и' ~г'~ь "~гч ( нт+" ' , и (Ьт+Ьз) ((р,„') +Ьгйв( Ь (Ь +/ ) ((Р„м)з+6 Я 1 (г (Ьв+Ье) 1(и~м')в+в~Я Ь+2((р.' +Ьт(ца~+й: (~ 'И', >'+й:Й(р.:+4 пт,л,й 1,2,3,...
о ( до 1 1 д Г до) 1 ьио — — -(- - — . ~Б)п 6 -- — 1+ —. — — — +хо=О, ге с)г ~ дг ~ геапй дй ( дй ~ гв мней дфз хп. Выбираем сферическую систему координат (г, 6. ~р) с началом в центра сферы рздиуса а. Исходное уравнение до+во=О или ОТВЕТЫ. УКАЧАНИИ И РЕШЕНИЯ а] Первая краевая задача: о 0 при г=а, ~. -.-') ~' Хи,„= ~ ~ (в=0„1, 2, ...; гп 1, 2...,», (1) а ("+ ~) где рги — корень номера ги уравнении , [И]=0, и+— 2 [и+ — ) ои.иьг=гри[[ г у„(В, Ф), /=0. ь 1, з-2, . „ к[1!(Е ) Р<г!(.В. (с ДР пРи 1)0,) 1 в[п Ьр и рн ! ( О, / г Р„! (х) =(1 — хэ) - — Ри [х] — присоединенная функпня, (11 Ри = Р„[х) — полипом Леманвра, и (6) '[и+ — ) (ои,,г(а= зр [[пн г ~ г!0(2, [у][(2, (6) !О тз 2пв! (л-)-1)! (2, 1=0,1 2л+1 (л — 1)! ' [1, !чьО,) дп б) Вторая краевая эадача: — =-0 при г=а.
Формулы (1). (3) — (7) сохрадг '[и+ — ) ПяЮт Сипу; ТОЛЬКО В ЭТОМ СЛуЧас ПОЛ !Ьи СЛЕдуЕТ ПОНИМатЬ КерЕИЬ уран- пения Ф„(р) =О, нли Г ! (р) Ю ! (р)-О, 1 и+-' 2[2 и+- 2 2 тн! уРАВнения элЛИПтическОГО типА в] !'резня краевая залача: до дг — +АР=О при г а. или ! — 2ад ,(р)- у, (р)-О, »+— з р»+— 3 ()О) ! т! (» + — ) ( ~»+ — )) «+— зб. Выбираем цилиндрическу!о систему координат (р, ~р, г), направив ось а вдоль оси цилиндра и поместив начало координат на ннынем основании цялиндрз, а †ради цилиндра, ! †высо цилиндра. Исходное уравнение краевай задачи на собственные значения имеет вид Ьо+Ао О 1 дl до) 1д'с дзо — — (р — )+ — — + —,-+) =О. рдр~ др1 р д а) Первая краевая зздачы о=О при р=а, з О, 1, а Где р!",! — корень номера !и уравне ня ./„()з) О, о„,,а=з)п — зУ»~ ~ Р)( ».
»ь ))о».«ьа'!р= — а»~Х»(р»!)~т, е»=~ до до б) Вторая нраевая задача: — О при г=а, -- =О при з=О, 1, дт ще р!»» — корень номера г» уравнения з»(р) О, и".-') = '"'-.:" !(рй'У-") ~.И'). 4(рм» ) !1 (.+-,1 Все формулы задачи зо а) кроме формул (2) и (8), остазпся в силе; р' теперь означает корень уравнения Рф» (р)+адф» (р) О, ОТВЕТЫ. УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ д0 Й/ в) Третья краевая задача: — +Ало=О при р=а. — — Ага=О при 2=0, ' Ор 'г]г +дев=О прн 2=1 г)о гр)„' ) ( созвр, "Л.ила(Р. <Р. 2]=Уз(г))л ( ть с<м таз+А мп таг 2а (г]= ть — корень уравнения ')/ т$+й', (2 т1 = ( г+ тд — йф~ ' р(л] — корень уравнения р/„(М)+лд у„(р) =О, <лг]2 )ги.лиа=теа+'( — ~ (т, А=1, 2, ...; л=О, 1, 2, .,„)> (ол, ль а !Г'= пел Ги ~ — Р~ ~ 6 2а (2) (з, а где г ШИР (А +лз) ("РА+АМ 2 2 (г)+Д-") (т'+й')' У к а з а н н е.
Решение ищется в виде произведения о(р, дь 2)=г'(р, р)2(г). После разделения оеремеиных для р(р. ш) получаем задачу гй. а для л (г)-задачу 17. 2Т. Выбирается полярная системз координат (р, о). а) Первая краеван задача: Р=О прн р=а и р=Ь„ ( сгншр ольи(р. р)=йиьи(р]( . (т 1, 2, ...; и~.О, 1, 2,,), ( яплш ( ги> )]У ( (л1,) у ( ОО )]у ( (и] ) илн гл! з)(у (р )~ (р ~) ( д)~ (р'-"'р)) л риг где р(л] †коре номера т трансцендентного уравнения «и (оР) ]Ул (ОР)- Ул (ЕР) )Уи (лР) = О.
которое можно записать такнге в следующем виде: Ял (ар) А]л (ар) ул (РР) Ии (ЬР) чп. годвняния аллиптичнского типа Здесь И„(2) — функция Неймана и-го порядка, л „=(р ">)', Рз ( оц ) Г2 ( («)Ь) до б) Вторая краевая задача; — =О прн р=а, Р=Ь, 2~т «(Р Ф=~ю'м»(Р)О2«(ф) Г соя ир ГР«ьр)=~ (п=б, (, 2, ...), ~ з)па(2 И,(р)-р„(рМ)р) И„'(р(«) ) — г„'(р «2а) И„(р(«)р), (4) 1«) ~~. (рйй и'. () й'9 — р;(в4'~) и„(рйЦ, где р,'„"2 — корень номера 2п уравнения ,Г «(ар) Л~«(ар) р«'(ьр) и,', (ьр) ' Собственное значение (б) л (Г,~ ))2 $~ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
