1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d (846319), страница 84
Текст из файла (страница 84)
') См. [7[, стр. 603, (12) в (13). ОТБЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ Выполнение интегрирования по Ф' и 6' дает: +ос+со З та с- — ( ~ ((сос о с,сс ос, с. ох ! дна Ь бв Х мп рг мп ар! т мп б ар г)т с(6 сбр 1 — чс (х+ г мп б сов ~р, 6+т в!п 6 мп Чч в+т сов 6) м бп"а .! о И (сов р (г — а!) — совр (г+а!)) г мп б с!г с(р в(б сбр Интеграл +о: с со с(р ~ гЧ'(х+г в!и 6 совр, д+т в(п беби ср, «+т сов 6) совр(т — аб) с(т (5) ! о е можно вычислить с оомошью интеграла Фурье + со +со 1 — ~ др ~ )(г) совр(т — а!) с(т )(а(), о положив гЧ'(х-1-г ил бсовр, д+г в)п 6 в!псу, «+тсснб) при г~О, )(т)= О при г«0. Если )(г) удовлетворяет условиям разложимости в интеграл Фурье и иепре ЖР ! l I Рис.
55. рывна, то интеграл (5) равен нулю при 1«О и авсд(х+а(в(п «сов<у, д+агып 6 ми ~р, «+а«сове) при «~О Аналогично +со +со 1 г(р ~ гЧ'(х+гв)п бсовбь д+гми ба(п~р, «+т сове)совр(т+а!) дг= Ь ' — а(Чг(х — а( в!и бсовср, д — а! мп бмпЧь «-а! севе! гп ~ ! «О, О прн !~о. У3. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА ггякям образом яегх у г. П= и ти «+ а( МП Ь З)П гр, Е + О( СОЗ Е) З(П В НВ бзи пд(х. У, г, г) может быть полУчено из ия(х, д, х, П ди е е после предварительной замены Ч' на Ф.
о1( (' — — Ф(г+чг ми всозп, в+а( мп ~ а(пп, т+отсозе) а)пег(вйр ч, ъ. ! оио ис иЧ, ч', п и — и ьги' Ф вЂ” т) — гг Ггггеггв:Ьт. г гг( к — ф)з+(у — Ч)'+(з — дт. Переходя к о)мрическим коордянатам, как в п вить интегрирование по ', 6', ,риг как в предыдушей чадаче. выпол- ге !Юй и(х. В () — 3 3 Ф(х+2Й УЫ У+2Ч 1/Ы) ми ((Ь+ЧЧг(1йч+ 1 (( + — и( ~йг,г+2й)гЫ, «+2Ч)г Ы) а(п г(тг+ з ойг( . Ж к а в а н и е.
Применяя преобразование Ф ье, яет дувшее выражение для и(х, я, (): урье, яетрулно получить сле- п(х, и. () 1 .—.,)) Ц "- - - - . Ф Х сод Ы (А +)г )с$ г(ПЛАгй~+ 2 р ~ ят ~ ~ ~ ~ гу(В, Ч)созА(х — С) Х г. Ом Р Ф вЂ” Ч) стает (Ат+Рь) Ой НЧ г(АЩ (2) если ч у есть, что аналогичные интег алы, в к р, в которых вместо совА(х — й) или в х — или ап р (у — Ч), равны нулкь 1(альней~дие отняты.
нцдздния и рншвния преобразования могут быль выполнены с помощью равенств Гц уц д.'т осе р«Г«соево «(о= у — сов ь — — — ), е' р 14 4ре' +«ь в(п ро'созда«(о ~/ — з]п ~ — — 4 — ), «О у~о (2] и замены переменных $ — х - в) — у ==4, — -Ч 2Р'ы ' 24гМ (4) равенсьва (3] могут быть потучены, например, из интегралов Френеля +«с +оэ „Г" сов х««(х 1 н ь в1п хь «(х 1' 2 ) 2 переходом к переменному интегрирования о по формуле х а егр — —. Д 2 («гр б) Преобразаванне Фурье — Бесселя (Хаюиел] ~(д) ~ уФХт(~4)«($.
4)ригннал восстанавливается по образцу с помощью формулы обрашениа +ы 1(г)= ) Ц(д) ет()ьг]а)ь е А 1 109. и(г, Е] + ' ~~ + — "")+'1"-)'1' гв — авев ыв Ьь ~~1+ — а— )+4( — ) ~ ь) Или, короче, образом Фурье — Бесселя т-го порядка. Напомним, что образом Фуры — Бесселя функции ((г), Ом..гц+со о ядром 1т(лй) ") называется функция вд нидвиниия гипннволичнокого типа Вби г'о"и ! ди 'б — аб! — + — — 7)б 0(г, Г(+со, д(б )дгз г дг!' и (г, О) 7(г), иб(г, О) = я (г), 0 б г + со, (!'г (2) нетрудно получить следуюшее выражение для ее решения: б, б- ( ГМ бббб,аб~бб — ~ ба~(б1б, бббб. ~б> 5 а В нашем случае и,(г, 0)=я(г)=0, следовательно, я()б)=0, г(г)= А )/р",, Для ЦЦ нетрудно получить выражение г'()б) = — е "з.
Х Для этого нужно воспользоватьси соотношением 1 е-е*аб (рх) дх- ') ь )'р'+"" н формулой вращения. Подстановка (4) в (о) дает: +бб ( + б, б-А ! (ббпр б )"б=б (б ! ~' мб(б)а) (бб о Ь где Ке(р+б)!) =р — действительная часть комплексного числа р-)-б)!. 1!О. Решением краевой задачи (!), (2) (см. условие задачи) является: В частности, при )(р)=Ае об" ПОЛучаем; Ае !+т 7 язт ш(г.
П= !стж +тв(п-~ — 7!б 4Ы т= — и )с= —, аз а «) Ы. (7), стр. 607. Ук а ванне. Применяя яреойразованне Фурье — Бесселя нулевого поридка к краевой задаче ОТВЕТЫ, УКЛЗДНИЯ И РЕШЕНИЯ У к а з а н и е. Для образа Фурье — Весовая нулевого порялка решения краевой задачи !1), (2) (см. условие) получаем выражение + «« и(Л, !)=сов(ЬЛМ] ') О!(О) ««(ЛО) г(й. О (4) Если, применив формулу обрашеннн, воспользоваться интегралом Вебера + а ~Л'+ г«) — '''Г) 2А(~РА(М~ «» г$= -е ~ '" ~А~ /. О положив р= — !Ы, то для и(г, !) получится выражение (1).
Если в (4) подставить )® Ае' а'«. то для и(Л, 1) получнтсн выражение + йг ! т гл«* и(Л, !)= А соз(ЬЛ«!) «е ~'а (ЛЦ) о$ = — -Аа'е т гоз(ЫЛз), (б) 2 причем нужно воспользоваться интегралом Ханкеля «) + гч атр р+ и ! 1 Рг н ! 2 2 ('1 ! а~') О 2нирз" з "Р(1+т) при Т=О, р=)/ат. И=2, а=Л. Пршчсняя формулу .1брашения н воспользовавшись этим же интегралом Ханкеля прн И=2, Т=О, а=-г н ~и= — „' ~ « —,'2 .Я)«. Если ф (!) задаегся соотношениями (1) (см.
условие), то где интегральный синус и интегральный косинус опрелеляются соотношениями « + сю 31(х)- 1 —.ДО, С1(х)= — ~ — нй. рмг!й . р О «) См. [42(, пункт 393, получим выражение (2) для н(г, 1). 111. Если точка г=-О движется по закону и(О, 1)=-1р(!), О<!<+со, то выраягение лля а (г, !) может быть получено по формуле (1) ответа к предыдушей задаче„если в ией положить ОТВЕТЫ. УДАЗАНИЯ И РЕП/ЕНИЯ РВ О(к), ~сов ( — ) + — вж ( )~, с р=— 4Ь' ж+ и Указание.
В случае а) положить /(г)= —, где 6(г) есть импульс. 6 (г) 2пг ' изя дельта. функция Лирака; в случае в) сначала найти образ Фурье †Бессели для и(г, /): Вфвв/, (ай) 1 — ом (Ьйв/) Ьвйв ю 0 ~ / ~/О д(Х, /)= Зфвв/, (ак) сов(Ь (/ — /,) )Д) — соз (О/Ав) наь Ьвйв /в «/ «<+со, а затем применить формулу обращения. Прк выводе асииптотичсских формул воспользоваться интегралами Последние даа интеграла могут быть получены нз интеграла Вебера. приве.- денного в указании к задаче 11О, в случае г) нужно воспользоваться упоми. нутым интегралом Вебера. 2. Построение и применение функций влияния сосредоточенных источников а) Фрнх/(иа авнянах мвновснных сосредотаненных импульсов В случае, если мгновенный точечный импульс имел место не в начале координат в момент /=О, а в точке й, са ь в момент / т, функция влияния 1 /кт ') Следует учесть, что 6.функция четна и что 6(х)= — 61 — /1, где и— ороиввольнан положительная константа.
Последнее Утверждейие проверяется интегрированием по к от — со до +оо. /11 /в (к) сов (Ьх3 ах= 1 — ом 1( — /1, о /,( ~~(ь )ак- — 'и ( — ), о /в (х) в)п (Ькв) с(х Мп 1( — /1, /1т О ! /11 к,/, (х) мп (Ьке) //х — сов ~ — р 2Ь ~ф. УЕ УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА принимает вид 6~» — — ') 4 ,Е, (с ~/ (Š— т)э —,) ) а оа6 .
'1 ° (1) гэ а) (Š— т)'— аз г 'г 6 Š— т — — ~ 1 а Е' если в исходном уравнении перед сга стоит знак плюс, н и (х, р, х. $, г), Ь, Š— г) Ег (с ~/ (Š— т)' — — ) а аа Š— т — —, (Ке гэ а) (Š— г)'— 6 (Š— — —,') наэ Г если в исходном уравнении перед сэи стоит знак нннус; г рг(х — 6)т+(р — т))'+(а — Г)'~. У к а а а н и е. Задача решается аналогично предыдущей; сначала получается выражение для функции влияния мгновенного сосредоточенного импульса, имевшего местов началс координат х=у=з О в момент Е=О, а затем, как и в решении предыдугцей задачи, делается переход к более общему случаю мгновенного сосредоточенного импульса в точке $, О, Е в момент т.
Функция О при — со(х(О, оа(х)= 1 при О -х(+со связана с функцией 6(х) соотношением 6;, (х) = 6 (х). ПЕ **). н(х, р, й, ен Š— т) ~оа( — т — — ) 1 2 ГЭΠ— ) — ' г=3/(х — 6]2+(у — 0)э ° ) См. (7), стр. 274. "*) Как и в случае аадач ЦЗ н !14, сначала получается функция влияния мгновенного сосредоточенного импульса, имевшего место в момент Е 0 в начале координат, а затем делается переход к импульсу, имевшему место в произвольной точке в произвольный момент Е т, где г = (х — 6)т+(р — т))'+(а — ()' ° У к а а а н и е.
Нужно воспользоваться тем, что *) + чч 1 г" г а также тем, что 6(х+ха) О, если х н ха)0 одновременно. Выражение (х) получается иэ (1) заменой х на х — Е, ..., Е на Š— т. что законно, так как уравнение ие, аэЬаи инвариаьтно относительно этой замены. 114. н(х. р, з, $.
т), ~, Š— 'г) ОТИНТИ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ ()н"). х(х, Ч, й, и, .— т,- о,~) — т- — ) си ~» 1//И вЂ” т)з — — ~, и )/(х — р)т+(о — т))т, 2па )/от (и — т)з — г' аз х(х, ч,й, гь г — т)= 1/' "' ип па(à — т) 1 „+— — мп — мп — мп — ' з)п — ° ° ьп =' и (и дх! дх! дх ! 2] аля второй краевой задачи, когда — ~ — ~ О, дх)к.=ь дх)к =н ' ду )у дх~ О, ду )„=И ( — т х(х, У, й, гь ( — т) — + (Д 1/' ' *. СО + — Г~ л, л соз — соз — соз — соа— и, «=о и/+ фа ~/ -)з ц где алла 2 при пл ° л О н е,л 4 прн пп ° ичьй) 2) для третьей краевой задачи, когда дх! — — азх' . О, ду )з= с дх дх — — атх) О, дх «=о 'к=" ' дх д" дд +)ьх)к ! О, к=И +й,х )„, О, У =(к х (х, р, $, ))„ ( — т) - Х,„'„; и..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
