1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d (846319), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Р' ()е Ге "' в(Л( Р) е =4пР'( °, )' где М = М (х, у. г), Р = Р (5, Ч, Еи г = )г(х — Еи+(и†т))е+ (г — Ь)о гг — — Л(Рг — — )'(х — фР+(у — т()е+(а+7~9, Рг=Рт(ф, т), — ~). Источник помещен в точке Р И, гь Г). Указание. Условие газонепроницаемости стенки г=О г)г 1е=о показывает, что отражение относительно плоскости должно быть четным. 3.
Функция точечного источника для уравнения бои — кои=О на плоскости (х, у) имеет внд 1 Р(х, у; й, е))= — К 2п где Ко — цилиндрическая функпня мнимого аргумента нулевого порядка вто. рого рода, г=) (х — з)~+(у — е)) ° Физическая интерпретация функции источннка — стационарная концентрация, соадаваемая в точке г„ у, го источником неустойчивого газа, равномерно распределенным на беског1ечной прямой, параллельной осн г и проходящей чеРез точкУ 4, Го ге; мощность источника.
отнесеивза к единице длины, численно равна Р. 1 6(х. и: " т))= — (Ке(кг)+Ко(иг1« г = у (х — В)о-)-(у — ())е, уп. уРАВнения нллиптическОГО типА 6. Если источник находится в точке ($, ц, Ь), то гл $' (х — С)з+(р — 1))з+(х — ~„)з, г'„~»[х — й)з+(у — т))т+(з — („')з, Сл 2л(+ь, .л гл( Указание. Изображения в плоскостях г О н е «янляются четными и помещены в точках (ь.
ГЬ ьл 2гц+г) н (з, Ц ~'„йл« вЂ” "ь) Сходимость ряда очевидна в силу наличия зкспоненцнальиых множителей — хгл — игл е "не " поа знаком суммы. 6. Если источник находитса в тгчке (Гл т)), то гл 2„(),7, ! «(з «нгл)+«(~ (нгл)). мз где гз:3'ть — ъ1ц . — Уз:гг + г — с«' ц„-2 «+ц, ц,,=йл« вЂ” ц. У н а в а н н е. См. задачу б, Сходимость ряда видна из асимптотической формулы .» « «(з(х)= Г«г — е"л+... р» 2пх 7.
С, ЧГ«ф„(»()ф„(Р) — )» Х +~~«~ — г« 2С4 ф„,з(»х.+из где (А«(х, р)«е) — точка наблюдения, (Р (В, О)«Ц — точка, в которой находится источник, А„н фл — собс1аенные значения н собственные функцнн плоской аадачи б,ф„+),„ф„=о в З, — О «)фл дт на С, З вЂ” поперечное сечение трубы, С вЂ” его граница. т — нормаль к С, «фл(з=~ф» г(з Указан не. Решение красной задачи («Ьи — ()и — « илн внутри Х, Ьи —: тл () Ди — =о наЕ, ответы.
укАВАния и РешениЙ где Х вЂ” поверхность трубы, следует испить в виде «- ~ ~.(.)ф.(Ж. л=- < Зная решение этой аадачи, нетрудно перейти к предельному случа<о точеч- ного источника, 8. Если источник находится в точке (р, 6'. <р'). то и(г, 6, »р)=- о б(г, 0, »р; р. 6'. <р'), где б(г, 6. 66 р, 6', »р') — функция источника, определяемая формуламв У»п" (0 ф) Ул«П(0'. ф') б(г, 6, <р. р, 6', »р')= 1) !) " ' ! „„, ' бл(г, р), л=оа -л л 1 . »<ч <а! ) совйф при йгаб, ( 2)п!й! < при йл.б — сферические функции, Р»а< — присоединенные функнии Лев»андри, ()г» !'62= — гша —, ва=! а и (л+й)! < й при А=О, хи+1 (г< — й)1' ! 1 при 6 чей, '"~л(ио) Чл(ир) — йп(ир)Чл (иоЦ 0 при г.
Р. Ол (нг) .и (ип) бл(г Р)= и (оп(ни)Чл(нг) Ол(нг)йп(ноЦ ° при г)Р: Ол (ио) ! < Ол (х)= ), (л), Чл (л)= )( (л) л+— 2 л+— 2 У К а З а Н И Е. РЕШЕНИЕ ВадаЧН йи — Наи= — <, И„!г, =О Продатаан<Ь в виде л ал л к(г, О, ф)= ! ) ! б(г, 6, »Р. Р, 6', ф'))(Р, 6', ф') Р2ДР Яп 0' »ОУ»йр'. 6 об Полагая И= ~ ~ И„а (г) Ел<а! (0, р).
( = ~ ~ („а (г) у!А)(о,,р), л=оа= — л л=-од=в получаем сила (галла) — (и г +в(л+1)) ила= — !ла(г), н„'„(о) О, л вл н ила(Г) = ) б„(г, р)(ла(Р)Р»»<Р, /ла-— — 1 ~/(Р. 0', <р) У»а)(6', <р ) Мп 6' «6'<(ф' а о о (.ба=О(г ФР), бл(Р— О, р)=бл(р+О, Р), 1 бл(Р+О Р) — б' (р — О, Р)= — — 2, б'„(о, р)=О Р й. Если ось г прямоугольной системы оординат направить вдоль И<, то иа -пг — <а — ф 2В и( „) а В онг УИ. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА где и= —, г=] (х — 2)з+(у — з)]з+(я — Ь)з. '() ' 1О.
Если г =а -радиус пвлиндрз, то и(г)=ие — —, я=Ух'+у'. (е(и ) )ю(иа) ' У к аз анне. Требуется найти ограниченное решение уравнения Ьзи — язв=О, г~а при условии и!„ ((з (иг) и = и (г) = из —. бе(иа)' 13. а) г =Ура+(» — щ гз=Ур!+(я+О)з, р Ухе+уз. 1, (иг) Уа 2 а з)!Уг 12. а) и=из —. = и,— —; р г1, (ка) ' г з(зиа' 2 !'з (кг) Уа 2 ! а )з иг с)! иг — з)! кг б) и=из — — соз 0=из ~ — ) сев э. г г з (иа) г; иа с(! иа — 5)! Яа 2 ((! (гг! Уа 2 аекг и = из.== — = из —,' Уг)(! (иа) гя ~"' 2 ((3 О!г) Уа /а )зиг+1 е и' б) и из —..— созе=и !( — ~ ° — ° соз 6.
Уг Кз (иа) (! г ~ на+! с-"' 2 14. з) Если поверхность земли совпадает с плоскостью я=0, то распре- деление конпеятравни эманапнн в земле дается формулоб — е и" Фия при 0<я а, )а Р а (! — е с)!иа) прн Ь С2Саа, где и= ф' —, р — пссзояиная распада,  — козффнпиент диффузии, (з— плотность источников, б] Поток эманапии через поверхность земли 1б.
а] Если 2=0 — понерхность земли, а источник находится в точке [О, О, и], то конпентрапня Ответы. укАВАния и Решения б] Поток через поверхносп земли а О равен «(р)-Р—" ~ - — (н( ') е-'~е> е )~р +Л* 16. Требуется определить ()а н )ь Лля этого, пользуясь данными наблюдений, т.
е. величиной Е(р), находим полный поток через поверхность земли О-~ ~ е(р)р«р«ф-() затем интеграл ю тл 1' ш 1 ~ ~йрз«р«гр= — ()ей~~ — ~ — )р«р е (( е ле е "е кто та -ЦЛ 1 ' «р-(),Л -"""1 Ц (),Л. 1(,( Л), 3/р'+де 1- Щ[((е (нЛ). Из формул (1) и (2) имеем: 1 Л((е (нй) ен»" — * О* Отсюда, поскольку 1 и (~ известны, определим величину Л и затем по формуле (1) — мощность источника ()а.
Полсзкенне источника в горизонтаяьной плоскости гпределяется, очевидно, по максимуму наблюдаемого потока п(р). 2 2. Некоторые зидечи о собственных колебаниях 1. Собственные колебания струн и стержней 17 Обозначим о о(л) — амплитуду отклонения точки струны с координатой л. Требуется найти решение однородного уравнения ге+)го О прн соответствующих однородных граничных условнах. а) Граничные условия о(О) О, о(() О, собственные значения Ла 1 — (л 1,2,...) собственные функции пл о„(л) мп — х, нвазрю нормы собственных функпий о„у И б) Гранмчные условия о'(О)-О, М(г). О, УП УИАПНЕВИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА собственные значения да=Я (л=О, 1„2..), собственные функции пл о„(х]=сгн — х (я=О, 1.
2, ...), квадрат нормы (2, п=О, '"' — 2га е"=(1 .жа в] Граничные условия о(0)=0, й(1)=0, собственные значения собственные функции о„(х) = мп и (2н+ 1) 21 х (л=О, 1,2, ...), квадрат нормы ( о„Г = (г2 г] Граничные условия и' [0) — Ьго (О) =О, о' (1)+6!о (1) =О, где 6~ ) О Ьз ~ О, собственные значения ]га определяются нз трансцендентного уравнения Рга1 (Ьг+Ьа) гг]г )г — Ьгдз нлн собственные функции " (х) = — ()ГЬ )Ъ„х+Ь, з]п р Г4, Ьа+Ь! квад ат нормы р (6!+да) (р" +6,6,) 2 + 2(И~+6()(р~+Ь;) В частном случае при 6!=да уравнение (1) принимает внд 26— р ре (ар= рз В Х (з ' — — Ье (з д) Граничные условия п(0)=О, й(()+Ьо(1)=0. собственные значения Ха определяются нз уравнения ]а р — — )чг= — (и=1, 2....) р 6(' 1' собственные функции о„(х) аю У' Ьа х, квадрат нормы ЬР ! юл ч 2 + 2(ра+Ьз(а) ОТВЕТЫ, УКАЗДНИЯ И РЕШЕНИЯ а) Граничные условия о' (О) О, о' (()+до (() =О, собственные значениа Лч опРеделнютсн из УРавнениЯ )гг рч (ер= —., л =-' р ' " И собственные функции ан( )-с Ф/Л.», квадрат нормы (Ех ) "ч =2 2(Рзч+Оа)з) а) Граничные условия о(01=0, о(!)=О, собственные значения опреаеляютсн из уравнения а,р, с(Š— ха+агре с10 — (( — ха)=0, )'Л а, аз где и/Е, а/Ез собст енные фуннции .
~/Л яп — «х а, , Р'Л„ яп —" ка а, он(х) = при к~хат яп —" (( — х) . УЛ„ ат яп — "(1 —.ха) . )'Л. аг при ка(к~), квадрат нормы г'и З + 'рт(( — ) (п=!, 2, ...). (( —; Ла аа р,ка ,,)/Л„ а, б) Граничные условия (О)-о (()=О. Собственные значения определяются нз уравнения ргЛ агРг )Š— -- ха+ааРа 10 — Д вЂ” ха)=0. ах аа 10.
Уравнение продольных собственных колебаний неоднородного стержня имеег нид ии. уРАВнения ЗллиптичеакОГО типА Собстяениые функции У'к„ ыз — "х а1 1/Е. соз —" х йз вЪ. -з — »(1 «) йз при Осксх„ о„(х) =~ при кз(х(1, соз —" (1 — хз) йз ниадрат нормы )з Рз«З » ))„ / 2 созе» Щ вЂ” ( =1,2,„.. ) )„ Г а=,, „.). 2созз — "(1 — х ) йз а,= ~/ —, = )/ Собстаеиные функции Х„(х) Х» (хз) и»(х)= у ( при хз(х(1 У» (х) У» (хз) при 0(к(хз (л=), 2, ...), Х (х) = У )з соз — «+аз)зз з(п — » х, — )ГХ. )')' а, а, У„(х) = У')з» сси —" (1 — х) + азяз з)п —" (1 — х).
— У'й. йз аз )(вадрат нормы хз )о»)з= р' ~ Х»(х)з(х+ У»(х)бх. Х» (хз) ~'(~) Указание. Требуется яайти нетривиальные решения в(х) прн 0(хсхз, о(х) о(х) прн хз(х(1 однородных уравнений Л -„А 6" + — 0=0. о" + с:=-0 а' ' а' ! з в) Граничные услоаия о' (0) — йзо (0) =-О, о' (1)+ йзо (1) = О, Собстяеиные значения определяются из ураанення )У'Х У) У)( УА йз 1» хз Аз (н (1 хз) а, а, а, а, а,р, +ацз . =О, ~+А,(2 ~«з ~+А 1» ~(1 х) йз а, йз йз ГДЕ ОТВЕТЫ.
УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ удовлетворяющие граничным условиям з) или б), или в) и условиям сопряжения з месте рээрывз коэффициентов уравнения 6= в, Егв'=Е«в' лри к=хо. Решение удобно искать в виде — при ОСк<хз, Х (х) Х (х«) — при хз ( х ( 1, у (х) ) ("з) к где Х (х) удовлетворяет уравнению Х" + — Х О и граничному условию о« д при х О, з )'(х) удовлетворяет уравнению Га+ — у 0 и граничному услоа,' вию прн х 1. Собственные функпии ортогонэльны с весом р(х): «« ! ва (х) вм (х) Р (х) бх = Р, ) Ха (х) Хж (х) ох+Рз ) 'г'„(х) У„, (х) ох= О, т ~ л, о «в «« 1 ( ва (з= ~ в' (х) р (х) ох= — Х* (х) дх+ — ~ г'з б».
г рз а а Х«(х) ~ а у«( а о 19. Груз помещен нз конце х=1. Грэничиое условие нз этом конце имеет вяд о' (1) = — Хв (1). М Р Собственные функции (ва (х)) удовлетворя зт услозию ортогонэльносги с нзгруэ кой вм (х) в„(х) р (х) ох+ Мва, (1) ва (1) = О при т чь л.
Квздрвт нормы сгбстнениой функция в„(х) определяется по формуле (в«~1=~в«а(х)Р(х)г(х+Мва(1) (л=(, 2, 3, ...). з) Конец х О жестка закреплен, в(О) О. — М Собственные значения определяются нэ урзвнення с(в )г'),„1= ),') р собственные фуняции ва(х) " (л~ (, Е, 3, ...), (п УХ„х )«1 квадрат нормы Формулы для попрввох я собственным энзчгниям~ 1) если нагрузка М мала, то )„-)о ~) '+ .~, 591 чн. гилнниния аллиптичкского типа где Л» =~ ,и Гн [2л+ 1) 1» 21 ~ — собственные значения свободным концом; 2) если нагрузка М велика, то ненагруженного стержня со Л =Л'з'+ — +.. »» М( о (к) — » (л 1, 2 2 ) соз УЛ» х соз УЛ»1 квадрат нормы ) .)'= — 2(+ — „.)+ —,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
