1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d (846319), страница 80
Текст из файла (страница 80)
53. — — + -' = — при г=О. (2) Будем считать вектор п, параллельным плоскости кОг, т. е. л, = (сов пп О, с(н у() . Запишем теперь в координатной форме векторы л«и па( п«,=(сови«„саар«,, с(пу«), лз=(с(и а«, с(лйз, созуа). Тач как функции т: еч'т. е"'ч, еч т, при условии, что тт, ч, т различны, линейка независимы, то подстановка ф(, (р*„ф„в граничийе условйя (!] и (2) приводит к равенствам ы*, = юг= ма '-=-.-= ) пг и( (3) соз()«г=соз Ох=О, (4) т.
е. единичные векторы л*, и пз также параллельны плоскости АОг, й, соз а, = й, соз а«, = й, соз пз, ю ссв лг йг а, сова, й, в аз а, Если равенсша, получающиеся в результате подстановки (р, (р«и (р, в граничные условия (!) и (2), сократить на общий перемеаный множитель, то пслу. «) См отлет к задаче 3. откуда палучматся изнестные соотношения между углами пгдення, отражения и преломления; пг= — а««и поскольку отраженная волна, как и падающая, лежит в полупространсгве г ~ О. и 527 уг, внлвнннии гмпнрволичнского типа из этих уравнений, используя равенство сову",= — ссиум получаем: рай, соз у, — р,узсоз уз у РФг соз уг+ Ргуз сов уз Ам 2ргйт соз уг рзй, сову,+р,й сову, 45.
Обозначая через и,. п*„л„каи и в предыдущей задаче, единичные векторы в направлении палающей, отраженной и преломленной волн, получим (см. рис. 53) сов аг от . / аз с с а*, — мо чтй» ° ос = ° оз ссваз о, е, )'е, ) аз где с — скоросп света в вакууме, е, н еа — диэлектрические постоянные первой и второй сред (мы считаем рг =рз= 1). У к а з а н и е. Плоскую злектромж нитную монокроматнческую волну можно представить в внле *) Е(е) г 1иг — ааю УУ У(1в)ег [гм а ю Затем нужно воспользоваться услониями на граннне раздела двух днзлентриков *).
46. Представляя падающую волну в виде"') е (ег) гея — ег11 О. 0) Щ )01 'г'з еег~иг — ась О) получим: Еч=(Ечзг вм *ж1" 0' О)' Н*,=(0; — ) ет Еч1ег юг +а*а1; О), еа )езег< ' е"1; о; о)1 н,=)о; — $'а ер'нм аж>; о), где 1 — чо, ,2 -,/е Ег= Е„Ез — Е„ч,з= зг 1+ам ' 1+уж ' )' е, ф 3. Метод разделения переменных 1. Краевые задачи, не требующие применения специзльных функций а) Однородном среды 47.
Решением краевой задачи ии — — аз (и„„+ и„„), О < и < (о О < у < (з, О < 1 <+ оэ, ")х "! =и="1„~=")„=г =0 и(х, у, 0)=Аху(1,— к)(1 — у). иг(х, у, 0)=О, 0<» 1, О<у<1, (1) (2) (3) а) См, (7), стр. 445. ) С . (17), р. 400 — 500, чаются соотношения ддя определения амплитуд отраженной и преломленной волн ртА, +р,А";=рзАз. й, соз у, А, + й, соз у*, А", = йз соз узА з; ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ 64А(11» а(х,у, 1) ~ Х +, (2т+ 1) »тх (2п+ 1) пу сь» О 48. Решением краевой эвдачн является: 16А 1»»1»» п(х, у. 1) — '' Х пто + (2т+1) пх . (2п+1) пу .
) в/ (2т+1)» (2л-).1)») х еь о=о (2ш+ 1)» (2п+!)» 40. и (х, у, 1)= +»ю 1 -1»+ 1» 1» 1» где р — поверхностния плотность массы. Указание. Можно найти сначала решение, предполагая импульс К равномерно распределенным по окрестности х» — е<х<х»+в, у» — э<у< < ьь-(-е точки (х», уе). в зятем перейти к пределу прн е-ьО ").
Можно также воспольэоввться импульсной дельтэ-функцией дирака и сформулировать начальные условия следувшвм обрезом: и(х, у, О)=0, пг(х, у, 0) — 6(х — хц)6(у — у»), 0<»<1„0<у<1, К р Второй путь гораздо быстрее прнведет к неля. Пользуясь дельте-функкиями, мы выбнрвем множитель при произведении дельта.функняй твк, чтобы суммар- ный импульс, передаваемый мембране, бьи равен заданному. 50. Решением краевой задачи вгг а»(и х-(-ияв)-(-А<о'(х, У)з1пе1(, А®е'(х, У) — А(х, 1Д, (Ц р П~х О П~ 1, и~не и(я 1 О, и(х, у, 0) О, аг(х, у. 0) 0„0<»<(м 0<у<(», (2) (3) »] См. решение задаче 101 4 3 гл, П. пгг о»(и +и ), О<х<1», О<у<1, 0<1< 1 со, (1) п~ = ~ =н( 1„=О, (2) и(х, У, О)=О, Пг(х, У, О)=АхУ(1 — х)( — У).
О« 1„0<У<(м (3) а!. квдвнвния гипвнволичвского типл является: + <» и(х, У, 1) ~~)' Ат»(з)пм( — — з)пыт»1!21п — з)п —, (4) Ы '1 ВЛХ ПЛУ ыт» ,.и-з где г, !! А „2 я лч 2(Х З Аи»(Х. У)З)П вЂ” ЛП вЂ” дУ! (5) 4 Г Г < тлх. плу Г<пз пз <зт.=на ~~ -„-+„—. ! 2 (е) прн условии, что частота вынуждающей силы не совпадает нн с одной нз собственных частот ыФыт». Еслн же ы ытп, (резонанс!), то ы . ) тлх плу А ! з!п Ы вЂ” мп О 1) 21п — в1п — + т» т»~ т» 1 2 и(х, у, 1)= 5' т.
» = 0 тлт<.»Ф»ф +А (лпЫ вЂ” мгсовы1) з1п — мп —, (у) т»лх пзлу <П »2 12 где А „определяется по формулам (5), а А = — <(х А<о' (х, у) 21п — зй! — ду. 11(вы ~ + мй Ы вЂ” — з!й ыт»1 4А й< ы» т» . <плх„. плйе тлх . пну и(х„у, 1) 3!й 3!и — лп — ью у!112 о!<»» — из т. »=! Если же ы ыт» (резонанс), то <»а», и(х, у, 1)= з)п Ы вЂ” — 2)п ыу»1 О ы т» тлхе плй<З . тлх плу Мп — лп — з!и — 21й — ' + ЕЧ<т — 12 !2 11 + <» <».» 1 тЛт<!»ф»! 2А тзлхз .
пз йз п!.лх п»лу + — (21П е<1 — ок сов ы1) 2)п — мп — з1п 2 мп —. р)11.ы !1 12 1! 12 3з меча ние. Если частота мт„нвляется кратной, то вместо одного резонансного члена появится группа резонансных членов указанного вида. 3 а м е ч з н и е. Если частота ы „является кратной, т, е.
соответствует кратному собственному значению, то вместо одного резонзнсного члена появится группа резонзнснык членов укзззнного вида. 51. Если чзстата вынуждающей силы не совпадает нн с одной нз собственных частот мембраны, т. е. ы ~ ы „, т, и 1, 2, 3, ..., то бйо ОТВЕТЫ.
УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ 52. Потенциал горизонтальных скоростей частиц воды является решением краевой задачи дз(С Сдз(l дз(СС А лх лу, — =а' » — -(- — ~ -(- — соз — соз — Г' (С), О С ( ~+со, а'=уй, д(2 (дхз дуз 1 р 1, 12 д(С ~ д(С ~ д(С ~ д(С ~ -О, дх (х=о дх 12=с, ду (з=о ду (з=й * (С(х. у, О)=О, (С (, у, О)=О. (2) Он мажет быть представлен в виде (с (х. у, С) — /' (т) а(п й (С вЂ” 1 Ст с — сгн —, А 1Г лх лу й,рЦ (4) лглхз . лпуз .
тлх ллу — вп — ' мп — зсп— +" вп и(х, у, С)= — е — чч Р(1(2 ль» аспв С, где з з Гтз л»1 ахи» Л а С вЂ” -1- — » — Уз, 1 и ис а чз — козффипиент сопрошвления, входящий в уравнение д'и Сдйс дзис ди — аз ~ — + — ~ — 2тз —.. дгз (дхе ду'» дС ' 54. и(х. у, С)= 1ОА зес (ва+ вм») мп осс+2тзв совам . лпгх . ллу Ъ ~,(2т+1)( +1)г( ' — ' ) + зт1 1 сз ' ,/ тз лз в =ла ~/ + —. 1»» 12 12 1 2 Указание. Ищем решение уравнения о"»С сдЧ/ дз(Л дт(С А — = азс — + — » — 2тз — + — е-см', д(2 1 дхз дуз» дС р обращвощееся в нуль при х=О, х=»1, у=О, у=се, в виде (С», у, С)4 У (, у)"; вз — 2тзез А и'+ у= — —.
аз раа =У,„, -О. Ее решение ищем з виде + 2» тлх, ллз (с(х, у = А мп — мп —, !2 ' тогда и(х, у, С)=1ш((/(х, у, С]). Для определения У(х, у) получавз краевув задачу у1. ЕРАВиения ГипеРБОлическОГО типА 58. Решением крзевой зздзчи дзи !дзи 2 ди) атз (д з ° д (' д'и !о.и 2 ди) Ро — Ь вЂ” — Коро! — + — — 1 г (г ~г, з ао (агз г дг)' з ди( дг)г=-г РМ 1г=г,— О=Роз !г=г,+О ди аи~ — 1, 0(! (+Ос, аг~,=„е а ~,=„+ ' и(г, 0)=)(г), иг(г, 0)=0, 0(г(гз, является + ою и(г, !)= ~ А„— "сов),л(, 0 -г~гз, 0(!~+со, ъ1 о„(г) г л=1 где )ол (л 1, 2, 3, ...) †кор трзнспеидентного уравнения АГ1 )о рм з!ив — Рм Оп — г, — Р„мп — г, а1 аз аз Х )о 1.
Х Х й 1 )о Х )о 1 ). — соо — г,— — мп — гз — з(п — г,+ — ом- — г,— Ом — г,+ — мп — г, =0 а, а, Г, а, аз 11, Г, а, аз аз Г, а, ))о(ХЛЛ).Х вЂ” з)п — г, + — соз — гз — — соз — г, + — мп — г, аз аз гз аз * аз аз гз аз (4) ао мп — г, )оо а, о„(г) = И)о соз "-" г+ ул з)п — "г аз 11з 0(г( гз,~ Го ( Г ~ ГЗ.( (6) Роо мп — го) ил — 1 Рм Оп — го) 5о — ! (Мз о!п — гз) Ул = 0 .-) -( -). ( 1 аз ("" ).(' — лсоз — "г — з!и — "г, и„-(- — "мп — лг,-(- — соо — "г )И)з+ а, а, г, а, " а, аз ' г, аз Л )оп 1 20 +( — — — Пг,+ И. лг,)7 =О, а, а, г, а, (. -'-: ) (-; )"- — соз — Егз+ —" ап — огз ()о+ — мп — его — — "оса — '! го~уз=О, гз аз а, а ) " ~~~ а„' а, аз' з) го '1 гр(г))(г) вз(г)дг А„= Ь л=1,2,3,..., Ио И' Роз Мъ' — — О о=г~г, о Р(г)= — Го(Г ~ 1'з, Роз го И оо (Р = Й Р (г) олз (г) а .
е (10) КОНСтаНти а„, И)л И уя ОирсдсдявтСя С тОЧНОСтвш дп Общста ПОСтОяННОГО множителя из системы урзвнений ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ 2. ((равные аадачи, требующне применения специальных функцнй а) Однородные среды 59. Решением краевой аадзчн дзи, /деи ! ди) — =аз ~ — + — — ) О<г < г, 0<! <+со, д(з '!дгз г дг)' и(ге, 1)=0, 0<1<+со, и(г, 0)=ф(г), и,(г, 0) ф г). 0<г<г„ (2) (3) является: и (г, 0 = ~ (А„сов ~а Рл т) -(- Вл зй! ~а Р) —" т)) за ~~" ), (4) л=! гь 2 Г урлг( г!(з (О ))'~ з (б) ол 2 Г г т грег 1 ара з% (рлН' ~ га рл — положительные корни уравнения Хз(р)=О.
60. Решением краевой задачи д'и (д'и 1 ди! — =аз~ — + — — ~, О<.<лм 0<1<+... дг = 1дгз гдов и(гз, 1)=0, гз) и(г, О)=А(1 — з), ит(г, 0)=0, 0<г<-гз (2) нвляетсш +, ~рлг) и(г, ()=ЗА ~ з ссв —, л=! рлзт(рл) гз (4) ~хзлз(х) дх=2х.л'е(х)+(хз — 4х) уь(х». Ь (зл — положительные корни уравнения lз(р)=О. Указание. 1(ля вычнслення козффнцнентов ряда (4) воспозьзов. аться формулой ~ зз(х) дх=х/, (х), установить сначала справедливость фо(, Рмулы ув, уРАВнения ГиперволическОГО типА 61. Потенциал горизонтальнык скоростей частик воды является решением.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
