1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d (846319), страница 74
Текст из файла (страница 74)
(2) г, дг ]г=г« Гдг г (»вЂ” и(г, 1)=и(г, 1)+Р (г), (6) то для и(г, 1) получаем краевую аадачу ди ~дои ! ди и1 = (--+-- - — -1,;«.., 0«<+, д( (дго г дг го!' (6) ди( Гди и7 К вЂ” ~ =2лг"',рч ~ — — — ~, и , '=О, О <1<+со, (7) д1 (г г, ' (дг г )г=г,' и (г, 0) = — У (г), г < г < го. (8) Решив краевую задачу (6), (7), (8) и определив с помощью (6) и(г, 1]. нв граничного условия и]г, =й ю(1) найдем также ы(1). Решение краевой задачи (6), (7), (8) о*ожет быть выполнено аналогично тому„как решалзсь предыдущая задача. Частные решении уравнеяия (6), удовлстворикицие граничным условиям (7), ищем в виде — «АА м ГГА(г, 1)=е )(ь(г). Для )(А(г) получаем уравнение бой«1 «(Г( 1, 1 ] — + — — +~Л; — — ) Г(-О, «Гго г дг ( А го! )«о (г) =2« (Лог); где 2« (з) — общее решение уравнения цилиндрических функ- ций первого порядка.
в котором неопределенные констенты выбраны так, чтобы граничное условие 1(о(го)=0 выоолнялссь при любых Ль. 2 (Лаг)=А)л(дага) 7«(Льг) — Гл(Ляг ) АГ (Лаг) (11) Требуя выполнения первого нз граничных условий (7), получим уравнение для *) и(г, 1)=и, (г, 1) (см. решение задачи 7). *) У(г) — предел, к которому стремится скорость частиц жидкости при 1 "ь+оз. (О) Ищем стационарное частное решение уравнения (1) р=]г(г), (4) удовлетворяющее неоднородным граничным условинм (2')*«). Если зателл по- ложить ОТВЕТЫ.
ИИАЭАИИЯ И РЕШЕНИЯ определения собственных значений — М((г, (ЛИ,) =2,р ~~Л,гг (Л,М-— г,(Л, д1 С помощью соотношения (14) аадачи 34 и равенства (12) находим соотношение, выражакхцее обобщенную ортогоиальность собственных функций Е, (Ляг), гйт (Лаг) Ет (Л„г) Дг+ — Хг (Лаг,) Ет (Л«гт) = О «) (13) 2пггрт г« прн йчьп (12) +««вг« и (г 1) ~'.~ п«г г (Л«г)~ (14) «=! (4) в цилиндрических координатах 1 дН дН /4по в д( — — « — — 2=~ — + — — 1 Е йр Дг ( с с д(/ дН, ДН«74по в а) г «+ Е д а. ( с с д( ) в' 1Д(Н) 1дН, (4па е д'( дг гдф (с сат/ 1дЕ дЕ, рдН, г д~р дг с дг ' дЕ, ДЕ«Р аНа дх дг с а( ' 1 д(гЕ,) 1дЕ рдН« г 1 Дм= с Д(' «) Си. (21) и (27) в задаче бУ.
(6) (6') (У) (7') Г гР (г) 2, (Л„г) Дг+ Р (г,) 2, (Л„г,) )( 2пг,рт А» (16) г (Д,(Л«Г))~ Дг+ — [йд(Л«гт))~ 2пг,рт 37. Решение. Как и в вадаче 33, получаем: дН И~Н 1 дН1 са ат о '(ага+ г дг) ° г,(г(г«, 0~1~+со, оа= — ° (1) Нрч О) О, гт(г~г«, (2) Н (г , Г) = 11«, О .м: С 'ц + с о, (3) где Н вЂ” составляющая магнитного поля по осн г, которая совпадает с осью цилиндра (другие составляющие вектора напряженности магнитного поля равны нулю). Найдем граничное условие прн г=г,.
Запишем уравнения Максвелла го1 Н= — Е -(- —— йцо аЕ с с д(' го! Е= — — —; р ДН с д(' (б) и, ннавннния паранолнчкокого типа Тзк как мы пРенебРегаем токами смещениЯ и так как Н =Не О (см. Решение задачи 33), то из (6') получим'- дН 4по д (8) Из (8) и (9) получаем, наконец, искомое граничное условие т. е дН! р дН! — = — ае — — !, О С(~+со, д( [г=г, г, дг [г=г,' Чтобы освободиться от неодноролностн в граничном условии (3), ищем решение краевой задачи (1), (2), (3).
(3') в виде Н[г, !)=Не+и~[г, !). [)О) ,[[ля и(г. !) получаем краевую задачу ди !гдеи ! ди1 д( [дге г дг! ' .=а4 +- 1, г,(г.Сг„б(!(+сю, и[г, О)= — Не, г, е,г ге, и О „!) = — О, О с ! .с+ со, д) !г=„г1 дг !»=, Частные решения уравнении (11), удовлетверякхцие граничным ищем в виде (11) (12) (13) (13') условиям [13), — а ьье Еуз(г, Г)=е ' яь(г). Подставляя (14) в (1!). получим: дейв 1 Щ; — + — . — +)[е)(„= О. дгз г дг (14) Следовательно Не (г) = 2е Р ьг) [15') где Ее [а)=АНе(а)+дуе (а) — общее решение уравнения цилиш[рических функПяй нулевого порядка.
Выберем константы А и В так, чтобы условие (13) для Хе[лег) выполаялось при любых значениях ае! например, положим 2е [)еаг) = Не [)еьге) !е (лег) ее ()"зйе) Не [) аг). ( 16) Подставляя (14) в (13'), найдем: Щ,(г), г, дг г=г, Р = — "ьее — Ре (г) (17! !г =ге или г~ 2е Йьге) = — д» де ~лагг) и [Рд) Интегрируя (Б) по поперечному сечению внутренней полости, применяя прк ртом формулу Стокса и используя условие, гласящее, что ваоду в полости Н равно значению Н на внутренней поверхности трубы. получим: ге дНе! 2Е, [ [2) с дг ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ (Ла — Л'„') ~ г//ь (г') Ра (г) г/г = )г ~//ь (г) " — //и (г) !! . (19) (г) //и (г) !!г=гг !/г В силу граничного условия (13) и (17) получаем: гг гт /! (20) откуда при з ть /! накосим: гзг г//ь (г) //„(г) !/г — -А //ь (г!) Яи (г!) = О.
И г~ (21) Таким образом функции //а(г) и //и(г) сбсбщеяно ортогональны (соотнощение (21) являетсн выражением обобщенной ортогональности). рещение краевой задачи (1!), (12), (13) ищем в виде суммы ряда и(г, /)= ~~ Аье ла(г), е=! (22) и(г, /) удовлетворяет уравнению (11) (если ряд сходится достаточно хоро!по) и граничным условиям !!3), (!3').
Потребуем выполнения начальных условий, предположив сначала для общности, но и(г, О)=/(г/, Полагая в (22) /=О, получим: + СО / (г) = ~', А/,//ь (г); (23) а=! прн г=г! + СО )(г!),)'~ Аь//ь(г!). (24) Умножим (23) на гРи (г) и проинтегрируем по г от г, до гз! гг ~ г/(г) Ра (г) г/г ~ ', А» ~ г//а (г) //з (г) !/г. г а=! г, (25) гз Умножим (24) (на -" — //и (г!): р + О мтт г", †' / (г!) )/и (г!) = ч Аа - !- //з (г1) Аз (гг). а = ! Таково уравнение, из которого находятся собстиенные значения Л,, /.г, Лз, ...
краевой задачи. Иа уравнения (15) и нз уравнении. которое получается заме- ной в (!5) /г на л, получим, умножал их соответственно на //з(г) и на г/а(г), вычигая результаты и интегрйруя: Ц УРАЕНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА Складывая (25) и (26), получим в силу (21) гг ( гг гу(г) К. (г) д — — ' ')(гт) К. (г,)=А„~ Р! ГР'(г) дг —" а, (г )1. (2у) р гз г, Следовательно, гг гл г! (г) Ал» г') дг — ' ( (гт) )»л (гт) А и г)Ьс (г) дг — ' г»л (гт) 3 гл !$ г, гг г» и, ~' ~л) и, 2 гз г гК»! г)»й(г)дг= —, (! ! ' " 2з().„Г) ц л р l (29) Подставляя а числитель (23) )(г)= — )ге и используя вронскнан цнлнндрн- ческнк функций, получим для указанного числителя значение »У (~ )з ! г' )Ул()»лг) (30) В силу (29) и (30) равенство (23) принимает внд —, + — ) 2л (Алгд) — —, и) р г;"1»2 )й р и)» (31) и Ол 2 г,' 2 3) л — — — ~ — +1+ — "" ) 3; [длг1) и"Хйз 2» р рз где 2е()'игт)=де()игз) ге(тлгт1 ге(тлгз) А»е (тлгт).
(32) 38. Решением краевой задача ди 11 д (' дл1 1 д Г. ди 1 дзи ср, -=А,'-,— ~гз 1+ . 'з»пб д! ' ! г' дг» дг) г'мп8 д8 '» де) гзз!Езй дйл )' 0 <г< ге, (1) гл < г:» гт, ( 1') и(гл — О. 8, ~р, г)=и(ге+О, 8, Яь г), ) 0<8<ц, О=-~р<2п, (2) йзнг(ге О. 8 ~р»)=данг(ге+О. 8* »р !) ) 0<1<+со, (2) « (г,, 8, р, !) =О, (2") и (г, 8, р, О) =) (г„ 8, ф) Р) С помощью равенства (10) задачн 34, вронскнана цнлнндрнческнк функций и граннчвого условия (13) получаем: ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ является: и(г, в, (р, () +го +со )( „(г) Р~~)(с(пб)е ~"и (А»рсозпир+В ррз(п лир), -Х е, р=о1»=о где собственные значения )(и»р н собственные функции )(,„»р(г) находятся аналогично таму, как это делалось в задачах 53 н 24. 5 3.
Метод ннтегрлльных представлений 1. Применение интеграла Фурье 69. Решением краевой задачи иг азбыг, — са < х, У, г «+ со, 0 < ( <+со, и (( е '(х, р, г), — со<х, у, г«+со, дз дз где Ьз — + — + — являетсш дхз дре дгз ' (1) (2) Если ) ие зависит ат г, то + со (» — 9'+(г — цн и(х.
и. й= Г з ~ ~)6, ц)е "' ~%ба. (2а ) "и()' (3') Указа н и е. Образом Фурье произвольной») функции Р(х, у. г), определенной прн — со<х, р, г«+со, называется: Р(Х, р, т)= —, Ц~ Р(й, т), ~)е((зй+ич+т»1(фдт)с$. (4) (2. )*г* .1 Переход от Р к Р по фориуле (4) нааывается преобразованием Фурье с ядром е' (аз+и" +чь), Переход от образа Р к оригиналу Р осуществляется по формуле Р( ) 1 ( 1 1 Р()( е П( +ир+ч»1 (2п)'А д (б) умножая обе части равенств (1) н (2) иа е((Ь'~по~~»1 и интегрируя па $, т), (, ат — со до + со„получим обыкновенное днффереипиальное уравненпе и начальное условие для образа Фурье я решения и краевой аадачи (1), (2), Находя и и применяя обратное преобразование Фурье, получим и. р) Мы не останавливаемся па ограничениях на Р(х, д, г). прн которых занедомо существует Р(Х.
р, т) н имеет место формула обращения (5), отсылая по этому поводу к специальной литературе. + ОЭ (» — П*+ (р — Ч)'+ Н вЂ” Р И и(х. у, г, 1)= Ц ~ р(й, т(, й)е (о*г Щдт)((Ь. (3) (2и Ргп()з 491 и. УРАВНЕНИЯ ПАРАВОЛИЧЕСКОГО ТИПА Е случае. когда 1 не зависит от г, краевая з»щача (1), (2) превращается в краевую задачу нг=а»Лзн — оо<х, у<+со, О<1<+ось «!с, =!(х. 0), — <х. р<+ л (1') (2') где Г ()», р)= — ~ г (0. ) е' (Ь4+'"'! 43 бт». 2п ! (4') При атом формула обращения имеет вид ! Г 2п 60.
Решением краевой задачи и»=аабзи+Ц(Х, Р, г, 1), — Со<Х, У, а<+СО, О<1<+па, (!) п(т е.з, — оп <к, р, г<+ОЗ (2) является: » +ш (х-!»ь+Ш вЂ” Н»ь+(а — (Р ~~~ е аа 1» т» 2(0, гн Ь,т)»Цат)»(Ь. (3) Если и(х, у, г. 1) не аавнсит от 1, т. е. 0 2(х, р, г), то ныражение (3) для решения можно преобразовать к виду и(х,у, г,т) — Ц~ ' Гв . (1 — Ф( ))айд»)»(Ь, (4) Где Ф(а) г бы, а г ) (х — 3)з+(у — т»)з+(г — ь)з. Еслии(х, р,г,т) ие зависит от г, то .$;.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
