1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d (846319), страница 70
Текст из файла (страница 70)
тв уРАВнения ЭлЛИптИчЕСкОГО типА 2) Есхн начзло координат поместить в центр С„, то колыю Сз будет иметь координаты гз='г'Ьз-(-пз, ба=й. и ви — ! (2гл — 1)!! /аз+аз( М,з= прЬ у~ ( — 1)"' ~ — ) Рзм ! (соз )(), (2т — 1) (2т)И ~ а [аз+ ив тт — ! аз+ дз ГЬз+ аз( Г ат Если же — ~1, то нместо ~ — ~ " надо писать !1 — 1 аз аз ) за+аз) Аналогичную форму имеет выражение для взаимной индукции двух произ вольно ориентированных колец, если нх сон пересекаются. У к аз а н н е.
Коэффициент взаимной индукции контуров 1 н 2 определяется Формулой Д(ге = ф Ат аз„ 1 где Аз — вектор-потенциал полн, созданного единичным током в контуре 2. В нашем случае )Иза Ф Аа "(Зз=2ПЬ! Аа(о=ь С, где ! А„! вычислнется на основе решения задачи 156, 16 в. ж. ахваз и аз. ГЛЛВй У УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 5 1. Физические задачи, приводящие к уравнениям параболического типа; постановка краевых задач К Для температуры жндкостн в нестацнонарном случае имеем: ди (д«и д'и дти~ ди дт' (дх«ду' дг«т дх' — =а ( — + — + — 1) — о« вЂ”, — со<, р<+~, 0 <а. «+со, ат — коэффициент температуропроводностн; ди л — =и [и —,') прн г=о, дг (2) где 1(х, р, () †температ» плоскости г=О, где ) (х, у) — температура плоскости г=О, и(~,=ф(н, г), — со<0<+со, 0<а<+по. бн) 2.
Для концентрация вещества, днффунднрующего в поданжной среде, заполняющей полупространство г ) 0 н движущейся с постоянной скоростью в направленнн осн х, прн условии, что плоскосты 0 непроннцаема, в неста- пноаарном слу гае имеем: ди тд«и д«и д'и ~ ди дг 1дх«прт дг«у ох — ))~ — + -)- — ~ — о« -,—, — со<я, у<-(-оо, О<г, т -(,„, (() ди — =0 прн г=о, дг 0 — коэффнцнен«днффуэнн; и)«а —— ф(х, р, г), — со <х, у<+со, 0<г <+со, в сгацнонарном случае (с «пренебрежнмо малой» теплопроводнслъю в направ- леннн осн х) ди а«(д«и д«и ) дх о«(др«дг«) ' — = — ~ — + — ~, — со<у<+~, О<», <+~.
() ') л — = сс (и — )) при г = — О, ди дг (2') и. внлвннния плилволичнского типд 451 (3') (3) (9) в стаиионвриом случае (при условиях задачи) ди В /дти дги г — = — ~ — + — (', — со< у <+со 0 < х, г <-(-со, (1'» ди — 0 при г=О, дг (2) и!х-о Ч(у. г)* — со<у<+со, 0<г<+со.
ди / дги д'и о.и '1 3. а) — В! — + — + — /! — Ои. 6>0, — со<я, у, г<-»-со, д/ ( дхт дуг дга ( 0 < Г <+со, (! ) и)/„а —— ~р(х. у, г). — со<х. у, а<+со. (2) ди / д'и д'и дги 1 б) — В~ — + — + — )+()и. ()~0, — со<я, у, г<+со д/ ~ дх' ду' дга ( О</<+ ю, (Р) и)/ о=~р(х, у, г). — со<я, у, г<+оо. (2') дЕ сз ( даЕ деЕ даЕ ~ д/ 4про 1 дх' дуа дга(' — со<х. у, г<+оо, (1) дИ ст (о Н д'И дтН '! О </<+сю, [1') д/ 4про '( дх' ду' дгх (' где Е н Н вЂ” векторы электрической и магнитной напряженностей, с — скорость света в вак>уме, р — магнитная проницаемость.
о — проводимость, Е»ил=Ар, (х, у, г)+(р,(х, у, г)+й(М(х, у, г), 1 (2) — с:о ° х, у, а<+со, Н», !ф,(х, у, г)+(фг(х, у, г)+йфг(х, у, г), ) ' ' ' (2') где /. (. й — единичные вектоРы по осам х„У, г, а ~Р„4Чь йв, фт, фг, 1)г— заданные функпии. у к а з а н и е. Рассмотрим систему уравнений д(аксвелла 1 дВ 4и го1 Н= — — + — (, с д/ с 1 дВ го1 Е= — —— с д/' (4) д!ч В=О, (5~ б!» В=О, (6» напнсаинуювпредположении, что в рассматрннаемой области иет объемных за- рядов и сторонник электродвижущих сил. Используя так называемые материальные уравнения поля В=еЕ.
В= РН, (=оЕ (у) 1 дВ н условие постоянства е. р, и н пренебрегая токами смешения — — по сранс д/ 4п 4по нению с токами проводимости — ( — Е. получим уравиеиня с с го! Е и дН с д/' (6) 4по 1 Н= — Е. с ОТВЕТЫ. УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ Если от обеих частей уравнения (8) взять го! и воспользоваться известным равенством векторного анализа го! го(а Егаб б(ча — б(чбгабп, то с помощью уравнений (6), (Т) и (9) можно получить уравнение (!). Анало- гично получается уравнеяие (!').
ди Г дзи дзи дзи ! б. — аз!! — + — „+ — !, ОеЕх~(, — со~у, г(+оо, д! ( дхз дуг дгх /' О <! <+со, (!) Ьих (О, У, г, !) — Ьи (О У, г. Г) О, У~их (!. У, г, !)+Ьи ((, У, г, Г) О, (2) и (х, у, г, О) )(х, у, г), где ! — толщина пластины, Х вЂ” козффициент таил«проводя«чти. Если темпера- тура меннегся по толщине пренебрежимо мало, то н и (у, г, !) ди Т дгн д"и ! — аз! — + — г1 — 2Ьи.
— со <У, г<+оз, 0(Г(+оп, д! '(ду дг 1 Ь Ьз ср| где р,-масса единицы площади пластинь!. д«з (! д г' ди! ! дзи! 6. — аз ! — — ((г - -г)+ — — !. гт~г~гз. ОеГфий2п, д! (г дг ~ иг ! гт дфз)' О ~!.б+о, Его(гп ф, Г) — Ь(и(го ф. !) — (Г(!)! О, О С(~+со. )(и,(гм ф, !)+Ь(п(гз, ф, !)-(Ь) О. 0(((+ос, (!) (2) (2') иг,е'р' — — Ь 2л(Г(!) — и(ги ф, т)йр, 0((~+со, (2') * ь ~~(' (!) и(г, ф, О) ((г, ф), г~~гмаг, О(фч 2и. 7. Для определенна скорости «(г, !) часпщ жидкостя ) н угловой ы(!) цилиндра получим краевую закачу ди !дз«! д«и ) — «! — + — — — — з, гз ~ г ху, оо, О ~( ~+со, д( (дгз г дг и)г ~, гзы(!), и-ьО прн г~ +со, 0(г(+оз ды !'ди и1 К вЂ” М+ 2пгххрт ! — — — ! дт (дг г ~~ скорости (2) «) и(г, () ие(г, Г); си.
указание а насчоящед аадаче, гдв (Г(~), р'", с — температура. плотность массы и удельная теплоемкость жидкости внутри трубы, у. уРАВнения пАРАБОЛическОГО типА Указание, В цилиндрических координатах 1! уравзения движения несжимаемой вязкой жидкости ди„ди, и, ди ди, и' — + и — + — — +с'» — — — = д/ г дг г др дг 1 др /дли, 1 дли, дМ, 1 ди = — — - — +т( — + — — + — ! —— Р дг дгл г' дсрл дт' г дг ди, дие ио ди, ди, ии, — + иг — + — — + О» — + — = д/ дг г дср да г 1 др ( д'ио 1 дло, дли ! ди, = — - — — +ч( + — — — + + — — —.' Рг дср (, дгл гз дс(а даз г дг ди ди О, ди до ! др +О» + +» = — ' + д( "дгдср'дтрд / д'съ» ! д'Ос +ч '( — + — — + '! дга .* дча 2 дсЪ О '! гл дяс г" /' 2 ди, Оо 2) уравнение неразрывности дЦр ди» вЂ” +-- — + — + — - =-О, дг "др др г =' и, и,, и» вЂ” составляюсцие векторы скорости па направлению единичных коордйнатиых векторов цилиндрической системы координат; 3) компоненгы тензора напряжений ! 1 / дио т —.~ + '! да /дс т„=ч ~ — -(- д~ до, о = — Р+2т— дг 1 ди» ') г дср!' Ф) /! де о и о = — Р+2и~ — — + о '! ° др ди» о,= — р+2и дг др„др др др др Р = =.
+УР/». Р = +УР/и Р +йр/» УР д( дх ' дт ду ' д( дг где р — давление в грунтовых водах. Пренебрегая (в силу предположения 2) 1 условия задачи) инерционными силами и используя /= — — //, получим из й зтих уравнений приближенные уравнения дР й дР / 1 др и= — — —, и= — — — —, ю= — й ~ — — -1- !), йр дл' ур ду' !йр дг Компонеыты тензора напряжений в цилиндрических координатах определяются аналогично тому, как зто делается в декартовых координатах прн выводе уравнений движения упругой среды в задаче 11 $1 гл.
!/1. 8. Р е ш е и и е. Поместилс начало каорднмат на водонепроницаемом основании н направим ось е вертикально вверх. Пуси в проекциях на осн координат векторы ~, !г, (/ записываются в виде г=(/», /и. /»), (г (!'„, Уи, у») (/=(и, и, си). тогда уравнение движении частиц грунтовых сюа можно зайисать в виде ОТВЕТИ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ которые можно записать в векторной форме следующим образомо [2) 0= — ййгаб Н, где Н(х, щ й, ()= — +2, р — ро йр (3) рь — давленне на свободной поверхности грунтовых вод (не зависнщее от х, у, х).
Пусть р, означает гидростатичесное давление в точке, лежащей на высоте а над воаонепроницаемым основанием, а а=Но(х, д, г) — уравнение свободной поверхности грунтовых вод; югда для гидрсстатического давления получаем следующее выражение: ръ — до=ар (Но(х, р, () — г), 0<а<Но(х, у, (), т. е. — +а=Н (х, р, г). й — до йр (ч) Из (3) и (ч) находим для избыточного давления следующее выражение: — = Н (х, У, а, () — Но (х, У, () Р щ йр В силу предположения !) условия задачи нэ (2). (3) и (5) следует: дНо дНо и= — й —, о= — й —, дх ' ду (б) (7) Если грунтовой слой н слой грунтовых нод над водонепроницаемым основанкем простираются «неограннченнге, то краевую задачу для определения движения своболной поверхносщ грунтовых вод можно сформулировать следующим обритом: — — — Н вЂ” + — Н вЂ” ~, оз<х у<+ос, б<(<+ос, (3) дг щ (дх( дх) др~ ду Д' (х, д, б)= р(х, р), — <х, У<+ (9) 3 а м е ч а н и е.
Часто от нелинейного уравнения (7) переходят к линейному уравнению дНо / доНо огоНо ( ййо — =оо~ — + — /, и = — о (7') ааменяя множитель Но в круглых скобках, стоящих в правой части уран пения (7), осредненной высотой йо сапй свободной поверхности грунтовых ВОД. т.
е. частицы грунтовых нод,лежащие на одной вертикали, имеют одинаковые горизонтальные с)ооросги. Рассматривая тонную вертикальную призму с основанием ЬхЛу и высотой Но(х, р, г) и используя соотношение (б), уравнение неразрывности можно записать в виде У. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА ф 2. Метод разделения переменных 1. 1(рвение задачи, не требующие применения специальных функций а) Однородньм среди 9. Решением краевой задачи ди )д'и д'и д'и1 д< (дхт ду» дхе) ' — а 1 — + — + — 1, О<х<1,, О<У<1,, О«,1,, О<1<+,о, (1) и! =о=и!»=ц "!У=о-и(а-г,=и(,=о=и(» ..=О, О<1<+аз, <2) и(се=((х У, х), О<<<<И О<У<<а, (3) является: и(х, у, г, 1) = т»' ен Ыт — ОЧР~ —,+ — + Аы, хс ' ' а)п — мп — нп — (о) ° м х г, г г Ам аь н = — ) ~$ ~ дц ~ ) Я.
ц, ~) з<п — в<п — Нп — ~ц. (б) б р р р йпх <г<з<з 3 3 5 ' * <г <в 1» о о о 1О. «(», у, »„1)= + — — ",' «З»+<И+И +о*+<те+<Н)Г =Н' ~ „( и. (22+ 1) (2гн+ 1) (2и-1-1) »,йи о (2»+1) их . (2ю+ И пу (2а+1) пг В центре куба е«Р <т»+ ~Р Ч (-, —, —, 1)-и,(~) ~~) ( — 1)»е »=о При всех 1, удовлетеоряквцих неравенству 1» 1)1* — — (п Зв, битое в где е меяыне наименьшего из чисел 1 н —, в центре куба заведомо будет иметь место регулярный режим с относительной точностью в.
ОТВЕТЫ. ХКАЗАИИЯ И РЕШЕНИЯ У к аз анне. Обгоначим первый член ряда, стоящего в фигурной скобке равенства (2), через а, а сумму всех остальных его членов через б. При всех 1, удовлетворяющих неравенству (3), будет '): ! — !<е; в так как с < 1 и е < —, то при зт~м будет: 9' !"" ' !=3!-'!('+!'!+ -!. ! 1"!=!<а ди, ~дЪ дти дтн1 -=аз( — -+ — + — 1, 0<х<1„0<у<1з, дг (дхз ду' дгз) ' 0 < г < 1з, О <1 <+со, (() ('-"-"") !.-.=Ф+"-) — -(й-") ! =Г-"+" ) =1---Ь~~ =~ +Ь 1 =О, 0<1<+ . (2) дг г е ~дг /г г и (х, у, г, 0) =) (х, у, г), 0 < х < 1,, О < у < 1з, О < з < 1з, (3) является: + СО м(х, у, г, 1)= ~'., 'Аа,м,зз '" "'Ха(х)ум(у)Яа(г), (4) а, м з ! где П гг 8Цгг,'„ч',", ~ ) ) ((х, у, г) Хз (х) Ум(у) Яз(г) даду да (5) ~1 (Ц+Ь~)+Зз) ° (1 (р'+Ьз)+2Ь) (1 (тз+Ьз)-)-23) ' Аз, ...; )гг, рз, ...; еы ъз, ...
являются соответственно положительнымн корнями уравнений 1 Т)г Ь'1 с(311.= — — — — 1 с(ц(зр — ( — — — 1> с(31зт= — 1 — 1 (О) 2)й з)' Ь Ь Ха [я)=ам зал+ — з)п ььт, Ум (У) созрягУ+ з)п рмуг )га мт Ь Я„(г) соз тзг+ — яп чаг. и (7) «) Подробнее см. Тл, 1П, й 2, ответ к задаче ха. т. е. в нентре куба будет иметь место регулярный режим с относительной точностью а. 11. Ращением краевой задачи и, УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО типА В частности, если 1(х, у, х)=ба = — сопя(, то + — а* г тй (т,„, ~ — *(~Ег+вс ~ ргч чэа+г) и а. аг, « =о Х Лэа„(х)уэ ..(р)2аа.,(х) (в) р, (;+, +д )+2А1.11, (М„„+, +да)+2АН(,(т).+1+в)+20 1!)г А) а'к аэ ание.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
