1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d (846319), страница 63
Текст из файла (страница 63)
а !и— "о р 2 а' !ив Ь Аналогичные выражения яме~от место для )г». Р е ш е н и е. Требуется найти решение уравнения Лапласа внутри кольца а«Р«Ь пРи кРаевых Условиах и!„~ Р(ф), и! ь — — г(ф) на его гРанице. Действуя методом разделения переменных и полагая пю виденными вллмптичиското тмпл У к а з а и и е. Решение удобно представить в виде суммы и и,+и, тде функция о удовлетворяет условию О приб(р~п, о=ь ( — и при п~ф(2п.
82. Распределение температуры в кабеле дается выражением 2 ~+Об р О,ббзи ! и (р, ю) — (рз — аз) — 1п — + — '(ре — — ! шве ю, 4 2 а аз+бе '1 ре~ ди, ! — — км др!о=ь иь(о=а О, 83. Температура в точке (р, ф) равна и (р, о) ~)~ („( — ) в)п — ф, еде !в — 1(ф) в!п — ф бр. В частном случае и, при О~~р~— а 2 ! (др)= и, при — (ср ~а 2 ряд су|имируется (см. указание к задаче 89) и дает.
и л еп хя о и Я К 2р'"аи з!п — ф ур" а" з(п — ф и (р, ~р) — зтс12 „+ — агс12 от+из и и — из а а" — ро аи ра Решение. Нахождение стационарной температуры сводятся к решению первой краевой задачи для уравнения Лапласа внутри сектора при краевык условиях «! 1(ф), и О при ф О и ~р а. тде д = — — ое 0,24)еЛ вЂ” количество тепла, выделяющееся при прохожде Че й' иия тока в единицу времени на единицу длины цилиндра, )! — сопротивление А единицы длины цилиндра, не = — й — коэффициент теплопроводности, 2Д' У к аз а н не.
Требуется найти решение уравнения Ьи о внутри кольпд а С р ( Ь при краевых условиях и(, О, ди ! ди! — й — ~ А соьеф нли — ~ — и — и сов 2~, др!о ь сбункцию и удобно представить в виде суммы и=и,+ие, где и,— решение .задачи отпиты, указания н нншнннн Полагая и=)с\р) Ф Ор) и производя разделение переменных, получаем: р%'+ р)с — Хгс = О, Ф'+зФ О, Ф(0)=О, Ф(сз]=0.
Отсюда находим: Ф А мп3~Хф-).Всш)~Ц. Условия при ф 0 и ф=и дают; в=о, р'Х= — ", т. е. Таким обрмюм пп Ф» (ф) = Ап мп — ф. пп Системз функпнй Фз з)п — ф ортогональна на ннтернале Осе са з)п — фа(п — фйр О, глчьп, и и з н имеет норму ~ ипз — фпф ф~ --, о так что коэффициент )„разложения некоторой фуикшш )(ф) в ряд по функ- циям Ф„Ор), пп )(ф) ~' )з з(п — ф, определяется формулой ).- — „~ )(ф) (и — „флф. 2 Г пп Решая уравнение для )г и учитывая ограниченность функции )( частное решение нашей задачи в визе пз пл и„(р, ф) А„р з(п — ф.
Общее решение естественно искать в виде ряда и(р, ф) ~~) А„р" з(п — ф. 1 1У. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛ3!ПТИЧЕСКОГО ТИПА Полагая р л и учитывая условие при р=о, получаем: >» л» О» Х." — 33Л 'Сч лл А»™ — „р )(ф)- у, )«1 — ф, чткуда следует, что где 1» †коэффицие разложении >рункции >'(ф), 84. Температура в точке (р. 1)) равна 4(ие — и,) ч р а ( + )аф 1вл+Пл л вл ал р а Л а л(Р,>р)- — агс(8 л л 2333 2л "р '" лп 31ф а У к аз а и не. См.
указание к задаче 69. См. также задачу 88. 88. Потенциал влектросгатического поля равен 3>*->» > ' 32>>' 2»3 л(р ф)=р + л а'3 ')а / 2л>+1 а=е мли и(р, ф)=У>+ — (ра — У3) агс(8 2 арз)пф л рз оз Вектор электрического поля равен л' — Ега>( л. Указание. См. задачи 69 и 84. При а л имеем ищ и,з. 323 Л» Ьа( — лар >О> >Ю> л»» а >» >а> Л» > 2 — 2— Ь а — л 2 Г лл 2 Г лл йа — 1 ) (ф) з(п — >Р 3(ф, Р— 1 г" (ф) э)п — >Риф. а ) а "а3 а э Л» 3»3 3'» Л 1» ,л» л» 2 — 2— а а лф + — а ге(8 „„.
(2) ра — па отпиты. кклзанпя и гешшшя Частные случае: при а-ь0 Ва=О. Аа Ьа —,о, ! и получаем решение задачи 88 для кругового сектора; при Ь-ьсо А„О. В» )„а " и мы получаем: и1Р И 7„та — ) а1п — ф в области р)а, О сф~сг /а)о ил Л "11р~ а а ! при а и получается решение для полукругового кольца. Р ею е п п е.
Требуется иайти гармовическую функцию внутри екольце вого сектораз а(р <Ь, 0 «р (сс, удовлетворяюшую краевым условиям и 0 при ф О, ~р а, и! /9р), и! ь рйр). Пользуясь мекщом рззделеиия перемепиык, получаем частные решении вида 1см. задачу 83) их 1р, ф) Ва 1р) з)п — ~р, где Да(р) определиется пз уравиепия г Гпл1а раВа+р)!а — 1 — ~ )! 0 п имеет вид Составляя ряд и удовлепюряя краевым условиям прп р а и р Ь. пайдем коэффпвлеипа Ааи В„. а=о Ь о д и где л=2Й+1. 88 Пу' ось х напрею а доль пр дев в проход ер двпе, д ними, а плоскосгь а О перпендикулярна к плоскости, прокодяпгей параллельные провода.
Отлична от иуля только х-компонента вектора-оотелцкала А, удозлетво- рякицая уравпеипю Лапласа вие проводов и равная А — !п — Ач А. О, Ир В, с В,' где с — скорость света в пустоте, р — магнитная прошшаеиость среды, !— »у. зидннения эллиптического типа сила така, протекающего через сечение каждого провода, 11»=Яу — 0,5а)»+г', В =)' (у+0,5а)я+гз, а — расстояние между проводами. Составляющие вектора индукции В=го! А, определяемые формулами дА д 4с дА„ дАх -" ду дг ' " дг ' ' ду' равны 2Р)г / ! ! ! 2Р! Г у+0,5а у — 0,5а1 ов У к а з а н и е. Воспользоваться формулой для вектора-потенциала линейного тока т где интегрирование производится по контуру тока ь.
Каждая из сосгавлякнцнх Ал, А„, А удовлетворяет вне !. уравнению Лапласа. Вектор магнитной индукции В=го( А= — г!з Р! Г (дзг) с ) гз с 89. Отлнчван от нуля г-составляющая вектора-потенциала равна 4п А = — РаСс!па+- — у — ! — ! (С созл»р+О мп юр) с ) л з=! где а — радиус цилиндра, Сс, С»ь Ои — коэффициенты разложения поверхностного тока » по круговым гармоникам, 1, (а, »р) = 1) (С„соз л»р+ Вс з)п п»р). с=с Указание. Вектор-потенциал в точке М(г, »р), находящейся иа расстоянии В от бесконечного провода, несущего ток )=»»а»(а, параллелен ему 2!и,а сй» и равен ~ !пВ. Поэтому вектор-потенциал ст всей пленки равен с А = — дя ! !п Н да, К»=аз+»э — 2аг соя йр — а).
2Ра»" о г Разлагая !п В в ряд по степеням —, получаея» нужное вырви'ение для А . 90. Пусть вектор индукции внешнего магнитного поля равен Вз и направлен вдоль оси г, а ось г направлена вдоль тока. Составляющие вектора напряженности магнитного поля определяются ао формулам: внутри цилиндра га 2 Нг =- Вссозчз, Р»+Рз при г ~а1 \»! 2 Нс — »в Ва а)п»р Ря+ Ра ОТВЕТЫ.
УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ вне цилиндра Н~ (1+ — ) В,омю, .и у рт — рв ав'1 )вв+Рв прн г) а. Указ ание. Результирующее поле ищется в визе суммы В В+В, где В, — вторичное поле, или В го(А, А=Ао+Ав где А — векторный потенциал, А,— векторный потенциал вторичного поля. причем Ав хвВвгмпм (гв — единичный вектор по оси г). На поверхности цилиндра должно выполняться условие непрерывности векторного потенциала и тангенциальиых составляющих вектора Н, так что 1 дАв 1 дАм А~в~ А~в1 при г= — а, рв дг р, дг аАц~ О при г «а, аА'в' О при г > а, Э1. Отлична от нуля только х-составляющая вектора-потенциала ( Аа' при г«а.
Ав= А'в' при а«г «Ь, А'в' при г) Ь, гда 4р,) Ъ~ Г с с (в""тт Ац' = — ' г ~а„„,гв"+~+ ( — ) ~ сов (2л+ 1) ~р с я~в ~ 2+1( ° 1 ! а о Авм гв — ~~)' ~ф + гвчю ) Тва а ( ) ~соа(2л-(-1)~Р, а о А ив Р бд гг — ~веги сов(2л+1) ~Р, 4рт1 %1 с о где а„, ))„, у„, бч-коэффициенты, определяемые из условий сопряжении ирв г а й г=Ь. В частности, 4р свч+1 1 р> 2л+1 ( 1М 1) ( рг 1)в(а )за+в г где р,-магнитная проницаемость среды, Следовательно, сч " ""'-.'(-.')-(-.'-)(-:) ") -"'"- Составляющие вектора В определяются по формулам 1 дА дА  —, В- д(р ' т дг гч.
кнлвнения эллиптического типд Ук знание. Использовать выражение лля зектора-пошнцизла дзухпрояодной линии А,= — )- 1п —, 2)$1 1,',~ с 1~~' где Г(, и )(т — расстояние точки наблюдения (г, ф) от проводов, а тзкже зюпользонзть разложение 1и Дг и 1п Яз н следующие ряды при г~ с: !пй, — гу — ! — ! омлф+1пг, э'! «'!г! ч=! !П)СЗ вЂ” . — ! — Г! ( — !)лСОЗЛф+1ПГ. л'!г г л ! 92. Вектор напряженности ршультнрующего магнитного поли Н -асад У, У вЂ” скалярный потенциал воля. равный У= Уо+ф н сечении шара Уз+ф но знешнем пространстве при г ~ а, при Ь Сг со. Уе+ш ао внутреннем пространстве при г цЬ.
Здесь У вЂ” И вЂ” и в, оз ф С, — созВ, гэ «=(С +ф— )созе, в Счг сок В, чде С (2) + 1)((н 1) (1 ") Н С 2! (1 ь) (2+)() с ()г — 1) Не> с 3(р — 1) и 2 (1 — Х) (р — 1)т с н, Л 4 й Нш Е э а' Л 2 (1 — ь) ()ь — 1)з — йрл. Напряженность поля внутри шара рзниа Н . з, Нз приг цЬ. 1 1+ ~1 ~ )ИР'н . ) Отсюда видно, что Н всегда меньше Ны т. е. зкраииронзине имеет место кзи при и~1, тзк и прн и )! (для диа.
и пзрзмагиетнкон). Ук зла и не. Коэффициенты Сг лолжны определяться из услоинй сопря лсення при г а и при г Ь. 2. Краевые зздачн для полосы, прямоугольнике, плоского слоя и пзрзллелепипедз 93. Если на сторонзх прнмоугольннка заданы функции « )! -! (л) и ) -ф (л).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
