1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d (846319), страница 60
Текст из файла (страница 60)
»ч нрдвннння эллиптнчиского тнпл й!. Плотность поверхностных нарядов на сфере равна р» и — е — ' г =»мы р гон 4п»м»» е * е м где Π— наняло координат, М-точка наблюдения, Ма — поло»ксиве наряда, а — радяус сферы. Решение первой красной авдачи йи 0 н и]р, )(д, ~р] дается формулой Е где интегрирование проводится по сфере, иля тн л и и» р» и(р», Ю, к ) лю, ) ((], »р] в]п 6дй, 4п ~ д (и» да(,» ср» у+р»)»»» где со»у соеб ссн 6»+вш д пп да со»йр — Ч»»). Ук анан не. Плотность поверхностных вврядов о=()л ], где (]а — проекция вектора нндукпнн»)=ед на направление внутренней нор- мали; так как в данном случае е= ! (пустота), то ди ! ди! 4яп Е ! или 4ло= — — ~ а|и дл»н !о=а дл )р а' ди где — — производная по нвправлеиню внешней нормали.
Вычисления дают; ал ! ди! ໠— р» 4п дл (р =а 4наг„'' Для решения первой краевой задачи надо воспольвоваться формулой и (М) — ~ ~ и (Р) — - ддр, дб дл, и учитывая, что функция источника 6 есть потенциал точечного наряде велнчи! ной †, получаем и(М) — г] г) и(Р! )о(М, Р))„, ~Юр. Найлвм плотность поверхностных чарядов ! ди) 4н дл (р а' ди Пронвводная — по направлению и равна дл дл '1дл(га) р,дл~гД Вычислим: ] — — сов (г„п), г» = — — сов [г„л).
г» ОТВЕТЫ. УКАЗАНИЯ И РЕП!ЕНИЯ Из Ь ОММз н гх ОММ1 (см. Рис. 42) находим: аз+ г — рй ' аз+ г) — Рз~ сов(г„л) *= ' ", ав(гм и) 2аге 1 Учитывая пропорцию — = —, после преобразований получим формулу для о. П а ге Рз' г( а 1) 52. и е11 — — — — ) гю Р1 гз (при этом сохранены обозначсния задачи 00], а Рт=гом; указание. если заряд находится вие сферы в точке М(рт.
Юн чч). то его изображение в силу преобразования обрзтаых радиусов ОЛ1а ° ОМ,=аз окажетсЯ в точке Мз(рз, ба, Фа). ПоэтомУ е Сг и= — + —. г, га ' 4)пределение С, проводится по аналогии с задачей 50. 53. Платность поверхностных зарядов равна Рг аз а= — е 4гшг', * Решение первой внешней краевой задачи для сферы имеет вид а г г Рз аз и(р,, фы Ф,) — йр 1 Р', )(6, Ф)з(оба 3 (аз 2ар,созу+р~)Ы где ом У = сов 6 соз О, -1- зШ 0 з(п 6, соз (Ф вЂ” Ф,). Указа н не.'Ср. с аадачами 50 и Б1. 1 а 11 и =е(1п — — !и — — ~.
'а Ра г| 1 а 11 и е~1п — — 1п — — г1. Рг ге/ в) Решение первой краевой мдачи внутри круга имеет вид 1 Г аз рт ит(рм Фе) 2— з+ з 2 (, )(РР) г(4Ч нне круга Ц б 2,т 1 аз 1.р) — 2ар, соз(Ф вЂ” Фт) ГУ. УРАВНЕНИЯ НЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА Здесь приняты следующие обозначения: а — радиус круга с центром в начале коорглнат (точка б), га ММе, «,=ММИ ра=бМа. Рг=бМИ Мь(рм нь)— положение заряда, М, (р,, БХ) — положение его изображения. указ а н не.
Для нахождения решения задач а) и б), очевидно индо поступить так же, нак и в задаче БО, учитывая, однако, что в плоском случае' потенциал вблизи заряда имеет логарифмическую особенжкть. 1 Полагая е= — получим фуикиию источника б. Вычисление нормахьных 2п ' дб пронзгодных — приводит к выражениям дп дб ! ' "'- — Ро — — (заряд внутри круга), дл ~р ь 2ла г„" дбз ! 1 р,-! — а' — — — — (заряд вне круга). дл !р» 2па ББ. а) Для полусферы, лежашей на плоскости г=О (в области г)0) функция источника имеет вид б=бм(М, д!0) — бы (М, Мь), (11 где 1/1 и 1) б,.= — — —.— 4л (гь ра г, / (см.
задачу БО), Мо(ра и — Он чв) — точка, симметричная точке Ма(ра. Ое фа) относительно плоскости г=О (рис. 43). 1 1 Р" ! 1 ! чр, Рнс. 43. Рис. 44. б) Для одной четвертой часта сферы (рис. 44), ограниченной плосхостями г О, г=О и поверхностью сферы, нмееьс б=бм(М, Ма) баз(М !11(1+бы(М Мь) — бьъ(М, Ма ] (2) где й!о(ре Оа*йч). Мю(ра 1г ")е Ч'е) Мо (Ра гг ")а и'+йч).Мь (Ра ()е и+Фа) место нахождения источника и его изображений.
Указание. а) Требуя выполнения граничного условия и- 0 на сфере, мы получаем б,а(М, Ма); чтобы удовлетворить условию а 0 при г О, не- 1 обходимо поместить в точку М' заряд — — и соответственно в точку М'— 4;т 1 1 наряд -(- — , что даст нам †бы (А1. М!) 4л ' б) Чтобы удовлетворить условиям и=О при к=О и г=О ~на сторонак двугранпого угла величиной — 1, необходимо поместить на сфере радиуса ра 2/' ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ где баа = — )ив Реа лга (см. задачу 54). 6) Лля четвертой частя круга О» ф~.
имеем: 6(Р. ф! Ра фа)=бы(Р ф! Ра Яч! — баа(Р. ф! Ра 2гг — фа)— — би(Р, ф! Ра, и — фа)+бы(р, ф; Р,, я+фа). (2у Д в) Функции источника сектора р(я, О ~фосс= — имеет внд « — 1 б (Р, ф! Ра. фа)= ~~ ~[бы (Р, рд Ра. 2йп+фа) — баа (Р ф Ра, 2йи — фа)]. а=о Отсюда, в частности, сразу получаются формулы (!) (при л 1) и (2) (при а=2).
Решение. а) Чтобы удовлетворить условию 6=О при ар=О и ф са помещаем 2л — 1 зарядов на окружности р=р„— в точках фа 2(ах+фа положитеньные заряды н в точках фа=2(нх — фа отрицательные заряды, после чего. проиаводим отражение асей системы 2л зарялоз в сфере Р=п, т. е. помещаем а" заРЯды пРотивоположных знаков в точках Р=Р,= —, О=фа (заРЯды «ТРицаРа тельные) и р Р„ф фа (заряды положительные). Группируя попарно заряды в М(а! [Ре, фа) и М(а'(р, ф,) и суммируя их действие, получаем формулу (3). 57. Потенциал поля, создаваемого точечным зарядом е, помещенным внутри сферического слоя л щр (Ь, равен и(М Ма) е у ~г« «=е где М(р, О, ф) — точка наблюдения, Ма(р„, Оа, фа) — точка, в которой находится исходный заряд г«=ММ».
г«ММ» М«(Р«. Оа. ф»1 иМ;,(р,',, Юа, фе)— точки, в которых помещены положительные заряды е„и отрицательные за ряды — с„', причем при л 2Ь, (2з при л 2Ь+1, при л=2й, при л 2Ь+1, при л 2й, (З~ при л 2Л+ !. при л=йй, при л 2Ь-)-!. Рид (1) сходится равномерно н ас слюапо. источники в точках М;, А1, М„'". Отражение в сфере лает заряды в М,, М; М",', М;", группируя которые мй и получим формулу (2). БО. а) Функция источника первой 'внутренней краевой задачи для полу круга О~ф~л равна 6(Р, ф; ра.
фа)=бы(Р. ф! Ра, фа) — би(Р, ф! Ра, 2л — фа). (1) ЗУ) ЪЧ. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА а "а+ --"г-" еы-Ье- (4) Ьз оз (з"+' аз(яз г' Ру(з" ' (б) и аналогичные формулы для е,'а, р,'а, е,'з+„р,'з+,, Отсюда и находим выраже. ння (2», (3) для е„, е„' н р„н р„". Суммируя йотенпивлы е„е„' — н -г. получаем рял (1). рагймотпнм общий член рида е„е„' при достаточно большик л. Через точки ()М,М, проводим плоскость; пусть л 2Ь. Из ьОЫМэз находим: -)'Р+я~ г. РЧ-Р~ — $ 2Р(Ь Аналогично нахоаимг г'а ~ рз+(Р'з) — 2РР'ь соз у. го тяа 7вк как Р г ~ — ! Рц О пРВ Ь-ьоо„п вг Игн г з р, )пп г'а~ р. е-ке е-О» Решение, Все заряды е„и е„' будут, очезилно, накодиться на луче ф г)Ь, д з), их положение на луче определяется расстояниями от пептра Р„н р,'. При определении е„, е,'„р„и Р„' учтем, что 1) положение заряда определяется в результате последователыюго отражения в сферах р о и Р Ь с помощью преобразований обратных радиусов, при которых р„р„' а' илн а р р' Ьз, 2) при каждом отражении зелвчина заряда меняется в — — нли а в Ря Ь в — — рзз.
Рз Пусть е„! — заряд и точке Мз, Пря первом отражении в сферах р а о Ь оз (,з в р Ь получаем заряды е', — н е', . — в точках р', — н р', †. Строя Ра Рэ Рз Ра Ь, Ь о о аатем нх изображения, находим е, —,ез — н ез -т е,' — в инках р ' Ь Ьт Ь" а' аз Р, —, — РзнР, -; -,Рз. р оз Р Продолжая рассуждения, видим, что четные авралы находятся внутри сферы Р=*о, а нечетныем-вне сферы р Ь. Нетрудно поэтому написать рекурРентные формулы З72 ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ г а )о а С другой стороны, езо г! — ) -об, е,'а е,» — -об при И- со.
Поэтому !Е.» ) ~ С„- 1 ~1+ — ) ~ — ') . (б) с другой стороны, так что )йо,'~ — + —,— — ~~!+ — )~7 — ) =С,. гча. г ооаог 1 7 а )! а)з .З., го.„-Ь1 Ь-1~Ф/- (7) Иэ мажорантных оценок (6) н (7) следует равномерная абсолютная сходилгость Рапа ~ Ео. Его ДиффеРенпиРУемость доказываетсЯ аналогично. о=.-з Предельные случаи: а) при а - 0 все члеяы ряда (1) обрагцаются в нуль, кроме двух: !'о го в результате чего мы получаем решение внутренней краевой задачи для сферы г'1 6 1! и=и,о —— е( — — — —,) ~го ро ого (см. задачу 50); б) при Ь-осо получаем: 71 а!1 ы и„е г! — — — —,) ~го Ро го — решение внешней задачи для сферы (см.
задачу 52). Г4. Функция источника внутри кольца дается формулой б(М, М)=. ~ 1п " ", - - ~ ~!п гг (п о) 2л о'о г е.' 2л о'о ! г гг) ° о и о =с =с М=М(р, ф), Мо (ро г(о» гл™Ма г; -ММ:„Мо™(ро %о) Мо™(р. фо) величины е„, е„, р„в р„' определяютси по формулам (2), (3) задачи 67. рид (1) сходится равномерно и абсолютно, так же как и ряды, получас. мыс из него почленным дифференцированием.
Пуси п=2й+1. Так как р а+о)Ь, ро+г~а и при Е-о-со неограниченно возрастают, то ГУ. УРАВНЕНИЯ ЗЛЛИПТИЧЕОКОГО ТИПА 1)редельные случаи: а) а=0, 1 Ь1! и=им„=е(!п — — !п — -г/! (см. задачу 54 а)); гз Ро г~ / б) а=со и соотношения получаем: иьз = 4леба, 4леа(ры ба, цч)= ~ ~ — "дд Г дине дг где о — решение внешней краевой задачи для сферы 5 при условии о)а-— 1, равное а о (Рг бе ЧЬ) = —. Рг Формула (2) лает: ае е,=а)' —.—. Рг 'Отсюда находим! У = — + —. с, е Рг 1 а!! и=ила=г(1п — — !и — —,/! (см.
задачу 54 5)). га Ре гю 59. Если зарвд помещен в точке М, (р„б„, Чь), то потенциал в присутст- вии заряженной сферы е, еа! и (М, Ме) = — -(- .— — + и, Ра г /1 а !1 где и,=е( — — — — /1 — потенциал точечного заряда в присутствии ааземленр,г/ ной сферы (см. задачу 52), М=М(г, б, Ф) — точна наблюдения, М (р„б„,йь)— точка, в кстгрой находится изображение заряда, аз Ре — — —, ге — М/1!е, г, — ММи Г=ОМ, Р! Плотность поверхностных зарядов ! / еа! е р! аз о= — (е, + — /! — — — '.
=аз+Она 4ла" ! РД 4л аг', е /! Р=,— ас! где о, = — ( — — — '! — плотность нндуцированных зарядов. 4ла (р, г", Указание. Решение следует искать в виде и (/+иге. (1) ау где (/= — — потенциал поля, создавтемого сферой, зарявгенпой до патент пиала У.
Для определения у используется равенство (х) 5 З С помыцью формулы Грина ! Г дбзз о(Р, де, че)= 1 — дз л Ответы, укАзАния и Решения 3. Ф ункци я источи як а в неоднородных средах Если характеристики среды (е, р, й н т. д.) терпят разрыв на некоторой поверхности, то на атой поверхности должны выполняться условия сопряже пня. В электростатическом случае имеем: иа пь ('дгП (дн! ег — ) — еа ~ .— ! 4па), (дл)а (дл)а где а) — поверхностная плотность свгбодных зарядов, цифры 1 и 2 соответа стеуюг предельным значениям с внешней и с внутренней сторон понеркностн д и Е, -- обозначают дифференцирование по направ' дл пению нормали. Если Р-аŠ— веггор электрической индукции и Š— йгад и, то второе условие означает, что Оз — Пз =4па).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
