1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d (846319), страница 56
Текст из файла (страница 56)
решенне задачи № 1), Закон сохранения вещества длв неподвижной поверхыостн 3 запвшегся так ди ~ — Π— +о„и)до О, дп (61ч(О йгаб и) — б!т (ви)) ит О ОТВЕТЫ. УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ откуда ввмду произвольности объема Т, а также условия д!ч и О и следует уравнение (2). 3. Уравнение для потенпиала и электрического поля в пустоте имеет вид би — 4пр, гле р-объемная плотнос|ь зарядов. Физический смысл краевых условий первого и второго рода: и )е ††! †зал ди ~ потенпнал на поверхности 2, — ~ 1 — задана плотность поверхностных зарядов.
'дл(Е Р е ш е н и е. Уравнения, которым удовлетворяет поле стационарных распределенных зарядов, получжотся из уравнений Максвелла, если все производные по времени положить равными нулю. Лля злектростатического поля в непроводящей среде получаем: го(Е О, д)ч Р 4пр, ~ Р=еЕ, (2) где и и(М) — потенциал поля Уравнение (2) дает: 41ч (е йгаб и]= — 4пр. Если в сопя(, то лля и получаем уравнение 4пр Ли е в пустоте в=!, и мы будем иметь Если имеются проводящие поверхности, то на внх тангенплальная составляю щаи злектрического поля должна быть равна пулах ди Ез — О, дз д где — означает дифференпированке по тангенпнальному направлению на поверх дз кости.
Отсюда следуег, что на поверхности проводника потенциал постоянен! и: сопз(; внутре проводника и=сопз1 и Е мзО. Если пронодник заземлен, то потенпиал и=п. Плотность поверхностных зарядов вычвсляется по формуле 1 е ди о — — Р„ 4п " 4пдл' где е — диэлектрическая постоянная срелы, р р(М) — объемная плотность заря. дов в точке М. Из уравнения го( Е=О следует, что Š— потенимальный вектор, предста вимый в виде Е= — йгзб и, ге.
нрлникния эллиптичнского типа д где — означает днфференпнрованве по нормали к поверхностн. Задавая рас-. дл пределенне поверхностных зарядов на проеодннке. мы получаем условие ди! 4по — l. да~к в Однако такая постановка зазлчн является неестественной для злеатростатнкн" обычно известен полный заряд е на поверхности. Поэтому ищется решение уравнения Ьи = — 4пр прн краевом условнн и (д нс, где и, определяется нз условия нормировки решення по заряду г". ди — е — до=4пе, где е= 1 рдт (см, задачу у), дл 4.
Вектор напряженностн магнитного поля равен Н вЂ” йгадф, пстен-- пнал ф удовлетворяет уравнению Лапласа йр-й. Р е ш е н н е. Если магнвтное поле не меняется во времени н токи отсут-- ствуют, то оно должно определяться уравненпямн го1Н О, (1у д)ч В=О. (2)- Из уравнення (1) следует. Н вЂ” йгад 44 подставляя зто выражение в формулу (2) н учитывая однородность н азотропность среды (р=сопз(). получаем уравнение Лапласа. б. Поскольну вевтор злектрвческого поля Е потенцвален, то Ьн =О, а на заземленной идеально проводящей поверхностн и(х — — О, на травное с днзлектрнком Р е ш е н н е.
Будем нсхолвть нз уравнений Максвелла в проводящей среде в стапнонарном случае го( Н- — у, 4л го( Е=О, д)» Е 4пр, д)т РН Применяя операпню Й)ч к первому уравненню. для плотносгн тока 1 полу- чаем уранненне (2у д)ч 1' О. Из уравнений го( Е О следует потенпнзльносгь вектора Е, Š— пгад и, где а и (М) — скалярный потенцнал.
Так как в силу днфференцнального закона Ома у=оЕ (и — проводнмость) нлн / — о Осади, отпиты. уклздния и Решкния то для однородной иэотропной среды (о сопя() условие (2) даем Ьи О. Из уравнений (1) и (3) следует, что Р=О внутри проводника. 1) На заземленной идеальна проводящей поверхжкти потенциал и О .(граничное условие первого рода). 2) Если прожжник граничат с диэлектриком, то иэ границе раздела пор* мальная составляянцая плотности тока должна быть равна нулю: дй -О, Ол т. е. ап — О дп (граничное условие второго рова). 6. Если <Р†потенци скоростей стационарного потока несзгимаемой жшг кости, так что и ягад к, то потенциал ~Р удовлетворяет уравиеиию Лапласа Ь~р О.
На повеРхиости твеРдого тела, движУщегоси с некотоРой скоростью пе, должно выполняться условие д~р ~ Если тело покоится, то ~~! О. Если среда препирается неограниченно, то ва бесконечности при г -ь со потенциал <р должен удовлетворять обычному условию регуляриости. Решен ее. Если жидкость несжимаема. то ее платность р сопэ1. Из уравнения иепрерывиости (сохранения вещества) д( ~+О)ч (ре) получаем условие иесжнмаемости гцт и О.
Так как по условию скорость жидкости имеет яотевпиал и=Огай ~р, то б(эдгар р О или ДР=О. у. ((ервэя основная задача электростатике ставится яак первая внешняя краевая задача. Требуется найти функцию <Р, удовлепюрягощую уРавнению Лапласа (ьр О всюду вне эадапнод системы проводников, обращиош3чося в нуль яа беско вечности я принимающую заданные значения чч ка поверхностях проводиикощ Ф )хг =ччВторая основная задача электростатики ставятся так; Требуется парти фупкцяю <Р, удовлетвгуяющую уравиенвю Лапда йр О впе задапиод системы проводников, оорапщюгцуюся в нуль иа бесясь иечности, принимающую на поверхностях проводников некоторые посговяные .значения З4В ту.
уРАВ»»цнии зллиитичцсцоГО тиил н удовлетворявшую иытегральиым соотношениям на поверхностях прова:ников дн — до — 4иа» дф 1 х» где е» вЂ полн заряд (-го проводника. Если задаы один проводвнк Те с поверхностью де, то решение второй задачи злектрастатики может быть представлено в ниде »р фат'(х, у, а), где (» (х, р, а) — решение первой внешней краевой задачи для области, внешней к проводнику Те, при условии (» 1 на хе, множитель»)ь определяется вв условия нормировки дт ап — 4иа, дл хе н равен е 1 Гд(» где С вЂ” — »(о — емкость проводника. 4н й) дн а 2. Краевые а ада чн для уравнения Лап лаев в неоднородных средах 8.
Стационарное распределение температуры удовлетворяет уравнению б(т (д йтаб и) — Р(М), где й а (М) — коэффициент теппаи роваднастн, Р (М) — плотность ыспжыикав тепла в точке М. Пусть Т вЂ” некоторый объем с границей Е, иа которой задана, например~ температура и)х —— ) Если козффициеит А(х, й, з) кусочыо-постоянен ы терпит разрывы ыа неко. торой поверхности Е», так что Й а» сапа( в Т», й=йт=с пз( в Т (Т=Т +Т»), ео на Е» должны выполняться условия сопряжения и» и», 1 а'д "'д '~ ди» ди» первое иа которых означает непрерывность температуры, в атаров — непрерыв- ность теплового патока на поверхности разрыва. ствпты.
зклэлмия и рпшения Задача в этом случае ставятся так: р йи1 — — в Т„ Ат г Д вЂ” — в Т йз и)х ) и на Е, имеют место условна сопряжения для ит н из. Решен не, Уравненне выводится так же, как н в задаче 1. Первое условие сопряжения и из очевидно; второе услозне яд— дит дп диз ат — можно получнть, применяя уравненне баланса к бесконечно малому дй цнлиндру Та высоты 2й, построенному на злементе йт поверхности Ет по обе -стороны от нее, п переходя затем к пределу прв Ь-ьб. Рве. 39 Как уже отмечалось в решеннв задачн 1, уравнение теплового баланса -имеет внд откуда в силу пронзвольностп объема Т в следует уравненне б(т (йягаб и) р.
Прнменяя (2) к пнлнндру Тз, получнм (рнс. 39): "где 3 — леное, а Яз — правое основание цнлнндрв, Зз — его боковая поверхность. Прн предельном переходе й-ьО ннтегралы нсчезают, тав как — и )с огранн ди дп ° чены всюду Предполагая существование левого н правого предельных значе. ди ннй — на Ет, получаем: да ди, дпз . выбирая одно направленяе нормалн пз — л,=п, можно папнсать: в — =Аз — на Ем ди диз тдл 'дл Ти, УРАНИИНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА 9.
В неоднородном диэлектрике для потенцяала алектростатического поли имеем: гйт (в йгад и) — 4пр (1) Если на поверхности разрыва в(х, р, х) нет поверхностных зарядов, то можно- написать' и, иы ди дне на поверхности разрыва в, е,— ' в,— г дл дл где цифры 1 н 2 соответствуют значениям величаи по разные стороны поверхности разрыва. Если в, сопл( в Тз, ез сопз( в Тм где Т, и Тз — области, разделенные поверхностью Ез, то для потенциала будем яметь: Ьи, — 4пр в Ть Ьпз — 4пр в Тз, и|=из, ди, диз на Х~.
гч — = гав дл дл ) Второе условие сопряжения означает непрерывность нормальной составляющей вектора злектрической индукции ди Р— вйгад и, Є— в —. дл У к а з а н н е. Для шшода уравнения следует исходять нз уравнений й(аксвелла (см. решение задачи 3), считая там в функцией пространственных переменных. Вывод условий сопрюкенпя — см. аадачу 8 Прн решении вадачи 3 мы имеем: Е= — йгад и, гйч еЕ=4пр. Отсюда и следует уравнение (1). Условия сопряжения вынодятся так же, как н в задаче 8. Отметим лишь что при наличии поверхностных зарядов на Е, диг диз в,— — е,— =4по, дл дл где а †плотнос поверхностных зарядов на д . ОТВЕТЫ. Рг(ДЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ 10, Если Н вЂ” Огай ф, то в стапиоиариом случае 4!ч (р йтад ф1 О, тле ф ф (Р) — скалярный потеипиал, (г р (Р1 — магиигиав проиипаемость среды в точке Р. Условвя сопряжеиия иа поверхности разрыва козффицневта магиатиой проиипаемости имеет вид дог диз и, и,, рч — р,— иа Еь дп дп где цифры 1 в 2 соответствуют значениям величин ва разных сторонах поверх- аосты разрыва Еь Второе условие означает непрерывность иормальаой составляющей вектора магннтиой иидукпии иа Е,: Вг„В Краевая задача для кусочно-постоянного '1 р, в т, ставится по аналогии с задачами 8 и 9 Лиг Овтм поз=О в та, а иа Е,— условия сопрюкения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
