1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d (846319), страница 45
Текст из файла (страница 45)
(13) (Х.Г,') я'„(Х„)е '1Х, 1-хо/' о «о яп — х д — при О «С Х.С х, «о Б1п — хо а «о я «о =сов — (( — х)+Ее яп — (х — хо) а а й 166. и(х, 1)=Х(х) яп а«(, Х(х)= «о «о — сов = (1 — хо) й й при хо ~ х 1, + сл 166. и(х, 1)= х' (йогов«олс+ьл яп «ол()хл (х), 1 Р(х)«Р(х)Х»(х)ах, Ьл= ~ Р(х)«Р(Х)Х»(х) Ых„ «ол) Хлво о при О<х<х„ яп — хо я» Ы Х„(х)=( — сов — (1 — х)+)«вй« вЂ” „(1 — х) ял ял «ол а а а при хо~к Ц(о Ял Ял (1 ) 1),яп Ял (1 а а а «ол — полож«пельные корни трансиендентиого уравнении где 1 Хо Р== р= — +— )«а а а Кваарат нория собственной функпии равен я ипв — х «ол « (Хл,'~=~ р(х)ХБ»(х)ах=р ~ Ых+р ~ о о в)п =хо «"л во а РХБ 2 Б)пв л а япв — (1 — х) ял й Ых в!пв — (1 — хо) ял а + р (1 —,) П, УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 167.
и(Х, !) ~ аеХ„(Х)оыа?»е1, О~Х(1, О(!(+ОЗ, е ! ав (2) Р мп йех в?п ?.„хв Хе (х) = мп йе (! — х) 1. Д„(! — .)' 0<«~«>.1 «>С«С1, (8) (8) Указании. При вычислении (6) и (8) нужно воспользоваться (Ф). ФорМУлы (6) и (7) могут быть получены и без применения дельта.функции, каи ато сделано в (7), стр, 147 — 150. + е> 168.
и(х, !) = ~ , '(ае ом о»е!+де в(п ыет) Хе (х)» е=г в»п — х ые д > ые вщ — х> и Хе (х) сов =е (1 — х) а «в ~ х ~ 1» сов —" (! — хв) а Эе — собственные значения краевой задачи, являющиеся корнями уравнения М сгй Де,— 16 йе (1 — хв)- — Де. (4) Собственные функции Х„(х) ортогональны на отрезке 0 ( х «ц 1 с весом р (х) р+Мб(х — хв), где р — линейная плотность массы струны, а 6(х — хв)— импульсная дельта-функция; таким образом, г г $ р(х)Х, (х) Х„(х)»?х=р АХИ (х) Х„(х)»йг+ МХ,„(хв) Х„(хв) О (6) з о при лг чье квадрат нормы собственной функции равен с рхв р(1 — х ) М (Хе ( = р (х) Хе (х)»(х =2 мпв» х + 2 цпвй (1 — + 2 ' г ') р(х) >7 (х) Хе (х) г?х р) >у (х) Х„(х) г?«+Мф(хв) Хе (хв) Ь о ) Хе)я )Ха»» > (7) откуда получаем: ОТВЕТЫ.
УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ свп — корни уравнения 2 )сЕрс(д — лхо — 8 )х Ер[д=»(1 — х ) Мыл, д а ! 2р сол ср(х) сспс = (1 — х) йс сел =(1 — хо) х„ а к, Зр ыл мп а мп' — "о о ф (х) мпа — х с[а+ соз' д ап х х х ~ ф (х) [ а~ их+ зша — ха о сова — (1 д а Ьл р [х) оса™ вЂ” (1 — х) с[ ехл1 Хл 1» Зр )Х»1 '= ы» 2 з!па— д Бр М хс 2 сота — (1 — х») мл 2 а 169.
Решением краевой задачи им=а»их», О <х < 1, 0<! <+со, и (О. 1) О, им (1, 1) — свил (1„ 1). О < ! - -(-со, и (х, 0) =ф (х), ис(х, О)=ф (х), 0 . х < 1, (12 (2) (2) где Хб КС са — аа =-— М является МХс» (1) Хл (1) +) ХХ~ [х) Хл (х) сЬС = О, о (6) Мф (1) Х„[1)+ 1 у р [х) Хп (х) с[х МХй (1)+ $ уХй (х) с(х о 1 Мф (1) Хл (1)+ ~,)ф (х) Хл (х) с[х Рл с ! лх! сс>~[с»!с с»+, о ») См. указание к задаче 167. + сп и(х, 1)= ~ (апсозад»1+Аппп ад»[) а[и Алх; (4у » ! Дл — собсшенные значения краевой задачи — являются корнями уравнения с[й А»1 у Дш М (бу а собствеииые функции Х„(х)=мп),пх удовлетворяют условию ортогопальноств ) и.
РРАвнения ГИпеРБОЛическОГО типа () — ! А Ю 170. и(,, 1)-— Ып — х з1пос). Н вЂ” х со ы 1 ы а — соз — 1+ — з)п — 1 а а 0-1 а «р(х)=и(х, 0), Хо(х), Хс(х) — функпии Бесселя нулевого и первого порядка пеРвого Рода, Рл — полоисительные коРни УРавнении Хз()с) О. 172. и (х, 1) = ~ (аз сока)«Х+Ьлз)па)л)) Хз ~)сл )/ Я л 1 с с (Х« (рл) У 1! ' " 1Д.Хз(Н.)~ л рl з рл ср(х)=и(х, О), ф(сй и,(х, 0), У,л ус л З( аз 1 (сл имена те >ке значения, что и в отвесе к предыдущей задаче, 173.
+ оо и (х, с)= Х [ил сов)'2а(2л — 1)а!+Ьсс ып )с 2л(2п — !)а(1Ря -с~ — )с л= ! а„— су(З)Р«л с( — )с)%. Ь = — — ~ ф(з))с — (-')04, )с2л (2л — 1)а1 ~ 1 ср' г' (х) = — — [(хз — 1)л) — полиномы Х)ыкаидра л 2л„) Дхл ср(х)=и(х, 0), ф(х)=ис(х О). О 4. Метод интегральных представлений 1. Ь(е год ни те гр а ли Фу рь е Напомним, что нри известных ограничениях на [(х) справедлива интег. ральная формула Фурье + оо -1- ос [(х)= — ~ ~(Д ~ [(ье)ем~~-йс,ф, 1 причем +со +со 2 1 !' (2) ОТНЬТЫ, УДЛЗАНИЯ И Рн>ДННИЯ +о; +»о Г(х) р р М)И. М ) раб -Ы3 (й 3 (8) где г'(х) — первообразная для 7(х).
Решение уравнения им=а'и, — со <к<+со, 0 (о..+со можно вскать в виде +о» +о» и(Х. Г)= — ~ НХ ~ (>(С, Г)Е'Ь'" Ф>(ею 1 Подстановка (б) в (4) дает: +ю +со — ПД ~ (',— +п»)Д(>)~еж>~-ЬИ$=0. (6) Для выполнения равенства (6) достаточно, чтобы выполнялось равенство — + Лзи О, АУ дг> (7) откуда находим ЕУ($, 1)=А (й) е>оь>+В (й) е го>>. (8) где А (с) и В $) — произвольные функции параметра г,. Подстановка полученного выражения в (5) согласно (1) дает известное решение в виде суммы распространяющихся волн +ю +ю (- 1)= ~,а ~ (А(ц и + -й>+В(ь)е> -Ф) Лр 1 2>г =А [х+Ш)+В(х — аО.
(9) диалогично интеграл Фурье может быть использован для решения других задач, связанных с уравнением колебаний. Белее широко распространена следукацзя схема применения интеграла Фурье к решению краевых задач на прямой — со ( хч.+со н полупрямой О о:. х(+со. Образом Фурье функции /(х) на пряьюй — со(х =+со с ядром е->ха называется функция + о» 1 Х(Д)== 1 >'($)е-"4»(ь,. 'г' 2п (РО) В силу формулы (1) »оригинал», т. е.
функция 7 (х), может быть восстановлен по своему образу с помощью формулы + со 1(х) ~ 1(ь) е'> " »(ь. (1О') Рг2п о) Здесь интеграл понимается н смысле главного значения. т. е. возможно дифференцирование интеграла по параметру под знаком инте- грала, и П. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО 'ГИПА Переход от Г(х) к Г(Х) по формуле (10) называется интегральным преобразованием Фурье; очевидно, преобразования (10) и (10') являются взаимно обратными. На полупрямой 0 ах ~+со можно рассматривать косинус-образ Фурье ) для функции ((х) 2 +ээ г" (1) у — 1 !з) чч. переход от которого к оригиналу осуществляется по формуле +ю ) (х) 1.à — 4 ~м' (А) соз)Ьхб)„ Г2 Г (П) н синус-образ э*) Г2 Р (пз' (з) = 1г/ — ) 14) з1п хйг(й, (12) и(,,11- — ~ ИЛ ~ и(2,1) Гь ФДИ.
1 +СО +О) 1(х, г)- — „~ дд ~ П$. 1) " '% ! приходим к уравнению дз(/ — +азату=1($, 1). Д(2 ") Интегральное преобразование Фурье с ядром соз "ьс. ээ) Интегральное преобразование Фурье с ядром з1п Ц. переход ог которого к оригиналу выполняется по формуле +СО Г'(х) ~/ — )'э'(А) мп Ххг(А. Г2 Р (12') Можно рассматривать преобразование Фурье с другими ядрами. За подробностями отсылаем к специальной литературе. Чтобы решить краевую задачу для и(х, 1) с помощью интегрального преобразования Фурье, по переменному х переходят к задаче для образа Фурье этой функции, находят этот образ. После этого с помощью обратного преобразования Фурье «восстанавливают оригинал», т. е.
находят функцию и (х, 1) по ее образу Фурье. В качестве ядра интегрального преобразования Фурье длз задач на полупрямой нужно брать такое частное решение 7((х, 1) уравнения, получающегося разделением переменных из основного уравнения заданной краевой задачи, которое удовлетворяет граничному условию задачи„если это условие однородна, нли соответствующему однородному граничному условию, если граничное условие задачи неоднородно. э+а т — т) 174.
и(х, 0 — дт )(ь, т) ль. 1 1' 2 и — ю указание, Подставляя в уравнение (1) условия задачи +со + «~ ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ Решая его при начальных условиях и(Е, О]=6, ~~(ь* ~)=О, г(г получаемг 1 Г 0 (ц, ()= — ~ 1гц, т] а]пи(( — т] р(т. е +рр + рр и(к, Г]= — ~ ЛЕ ~ 0(», !)рГЬМ-Ь,(Х ! 2п в силу (3) введения к настояшему пункту, получаем формулу (1). ф (т — а()+~у (к+о() 2 где 1р(г) и !х(г) — еаидоиамененныер функции Бесселя нулевого и первого порядков] онн могут быть представлены рядами +хо мх 1 /г НАР' (Р (г) ХР ((т) 7 — !1 — ! 4 (Ы) 12! а=а у, (а)-- (у, ((а)- р У~р А](А + !)1 ( 2 ! а= а (2» (3) причем )о (а! рз (а).
Видоизмененная функция Бессели ч-го порядка 1 у к )рьрт Е~ Г (А+1) Г (1+в+ 1) ~ 2 ~ р=р является ограниченным прн к — ьО решением дшрференциального уравнения у" + — у — 1+ — у б *«). х '1 ктГ' (6) рго — е-ге *) айгф» —. 2г ") Подробнее см. (7), стр. 692. Подставляя мпа(1 — т) в комплексноц форме') и подставляя полученное выражение 0($, 1) в интеграл П, УРАВНЕНИЯ ГИПЕРНОЛИЧЕСКОГО ТИПА Решение, Решение краевой задачи игг азиз„+ сои, — оз < х <+со, 0 <1 <+оз, и(х, О) ф(х), иг(х, 0)=ф(х), — со<х<+со, (7) (в) ищем в виде 1 и(х, ()= — ~ ~й ~ О(р, 1)Ф"" — 9~$. (9) Подставляя (9) в (7), получаем уравнение с)з(7 ($, 1) + (аззз — ) (Г(С, г)=0. Бго решение, удовлетворяющее в силу (8) и (9) начальным условиям иа, 0)=фа, ис(р„о)-9(р), (1О) (г' ($, г) ф ($) озз( )Газйз — аз+ тР (й) )'а~д — оз (12) Подставляя (12) в (9), получим: +оо +о.'3 и (х, 1) .Й $ ад у ф (й) сов (р а~Л~ — сзегз ы-Ь с1й+ +оо +со 1 с Р зщ В'аззз — сз + — з аз ~ ф(й) епкс В'а$=ис(х, ()+из(х, 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
