1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d (846319), страница 44
Текст из файла (страница 44)
ос!<+ з, и(о, !)=п(1, !), о<! <+ и(х, О) а«(х, 0)=0, 0<к<!> (!) (2) (3) является| +О> и(х, Г)=(«(х, !)+е — м !)' (а»с«вРп(+да кидз() в)п ! > (4) ОТВЕТЫ, УКЛЗЛНИЯ И ПЕШЕНИЯ являетсю (4) где с 2 с" с" с с с, плх ܄— — ! ~! ! с[с ~ Ф(г)с[г — х ! с[Ей! Ф(г)с[г Мп — с[х. [5) плаТО! а! 3 О О !4Ч.
Решением краевой задачи ии —— ати „, 0<х(1, 0([<+оа, и(О, !)-О. и.[[, !)=ж!. 0«С~+Оэс А и(х, О) О, ис(х, 0)=О„Оч.хч.[, [2) является: +со А 'д . (2п+1) лх . (2п+!) Псс[ и(х, С)= Е5 хс+ с Ьп Яп 2! Яп 2! ° п=е с 4 [' Аг (2п+1) лг „ (2п+1) ла ~ Е5 2[ (4) (5) 145. Решением краевой задачи ии атиса+ — Ф [х)тпс, 0(х ~ 1„0~1 ~+Оса сп 1 ° 1 р с и(0, !)=и(1, !)=О, О~С~+со, и[х, 0)=О, и,(х, 0)=0, 0(х~[„ (ф (3) является ч)с + со и(х, !) ~ и„(с) яп— п=с с ап с". пла из [!) = — ~ ъ"" з[п ми [С-т)с[т сел= с Сзп,) Л ° л= ! с О 2 с" Ф(г) плг а = — т — яп — с[г.
(4) (5) ч) См. указание к следукицей задаче. х + 1 с". с. Сг ът . плх . плсс[ и (х, !) = — ! ~ с[5 ~ Ф (г) с[г — Х ~ сф ~ Ф (г) с!г !+ 7 Ьп Яп — Яп — с та! ~ .*) О О п=! П. УРАВНЕНИЙ ГИПЕРВОЛИЧЕСКОГО ТИПА 149. Решением краевой задачи ит! =аэихх О < х < 1, О (! (+со, и(0, !) О, и„(1, !)лл — !и, О(!(+со, ш л.-1, А и(х, 0)=0, ит(х, О)=0, 0(х(1, (3) является: +С:О (х, !)- — + В ~„(!)М„ АХПл 'СЗ (2Л+ 1] ПХ л 2] (4) ил(!) —" ! Тм-аз!п! л(! †.),1 сзл " -! - (2л+1) ла езл е ! 2А Г .
(2 +1) (6) (6) Указ ание. Чтобы освободиться ст неоднородности в граничном условии, ищем решение краевой задачи (1), (2), (3) в виде Ах!л1-э и (х, 1) о (х. !)+ ЕБ (7) по приводит к краевой задаче Ах(м-э от! а—,, 0<х<1, О<!<+ (!и — 1) (т — 2) Е8 ' о(О, !) О, о„[1, !)=О, 0(!(+со, (9) о(х, О)=0, от(х, О)=0, О(х(1. (10) (8) Частное решение краевой ээдлчн '!!!=атилл+](х, !), 0(х<1, 0<! +со, ази„(0, 1)+6!и(О, !)=О, оэи„(1, !)+О!и(1, !)=О, О<!<+со, (2') мшкно искать в виде + СО и(х, !) ~~~ ил(!)Хл(х), (3') л=! где ил (1) — функции, подлежащие определению, а Хл (х) — собственные функции краевой задачи Л" (х)+ЛзХ(х)=0, 0(х(1, о,Х'(О)+бзХ(0) О, иэХ'(1)+бэХ(1) О. ~ Ири этом вынуждающий член !(х, 1) также нужно разложить в ряд по собспмииым функциям этой задачи, т. е. представить его в виде + юл )(х, !)- 2"., )л(!) Хл(х), а ! 254 ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ ! 1 )л (!) = ! (2.
!) Лл (2) Ег !АР .! (!3) 160. а) При в~в„= —, л 1, 2, 3, лпа + ОЭ а(х, !)= ~ л (в„япв! — вял влг) яп —; ол лЗтх (вл — вг, вл (!) л.= ! б) при в=в лапа лр ! и[х, !)= ~~ (в„зшв! — вз!пвлг)яп — + ал лпх (вл в)вл л=! (2) 2 Г Ф(г) . лпг а = — г яп — !(г.
! р е (3) 3 а м е ч а н и е. Здесь в отличие от решения задачи 133 колебания с частотой вынуждающей силы даны не в замкнутой форме, а в виде ряда. + ОО 151. и (х, Е) = у ил (!) яп —, лпх (1) л=! ил(!)= —" 1 г-™ т' и!пвтвп фа(! — т)нт, (2) (3) Здесь предполагается, что вл т.
Нахождение выражения пл (1) для вл (т не представляет затруднений. 152. гпа вл — ° -!- СО !бротб %~ 1 а(х, !)=— пара х~ л л= — 1 ал лонх + — '(япв ! — в ! осев гъ Ып— 2го ОО ОО ОО ) ! э л, 2 Г Ф (х) лпх а = — — 3т — з!п — г(х, л в„= т„гв" — тг.
л (2лб)г~~( ~лат)г1 1 ™( 2)' и. уРАВнения ГИпеРБОЛичеСкОГО типа 153. Решением краевой задачи им =азио + — 6 (х — к») 5 (1) *), 0 < к < 1, 0 < 1 <+оз, Р и (О, 1) = и (1, 1) =О, 0 <1 <+со, и(х, 0)=ит(х, 0)=О, 0<х<1, (2) (3> является + сл 21 ът >, . ллхз . лпх лла и(х, 1> — у мпв>ип — мп —, в л 1 1 л л=! (4) 154. Решением краевой задачи 1 им=!Ри — 2ти!+ — Ф(к)1. 0<к<1, 0<1<->-со, Р и(О, 1)= (1, 1>=О, 0<1 <+со, и (х, О) = и, (к, О) =О, 0 <х <+со (» (2) (3> является: + С» лях и(к, 0= »Х ил(1)йп— (4) (1) ~» '! -юс-ю сал ) з ! 2 !" Ф(з) . ллх л!та о ~ мп — !>к, в л 1,) Р 1 ' » 1 з (5) (б! 155. Решением краевой задачи им=атилл 2тлг+ -5 (х — ха) 5(1), О <к < 1, 0<1 +оэ, Р и(0, 1>=и(1, 1)=", 0<1 <+со, и(х, 0) и![х, 0)=0, 0 <х<1, (2) (3) +»» 21, %~ > .
- . ляха, лпк и(к, 1)= — е-ж 7 — ап в»1 зш — з>ив е!л л=! (4> подробнее о дельта.функции см. (7>, стр. 270. *») Предполасается, что вл)т прн л=1, 2, 3, ... Если при достаточно малых значениях ив»=- ж то решение будет содержать члены с множителями айва! и член с множителем 1, ") 5 (1) — односторонняя дельта-функция О, 5 (1) — >!ш !Рл (1> !р» (1) = 0 — оэ<1<О, О <1< Цл, > -<1<+ ОТПЕГЫ. УКЛЗАНИЯ И РЕШННИЯ Рl Х пла В (6) + ВР 2Р(вов ю 1 1, пих ВБЛРРР( 166.
и(х, 1) — — 7 — яп — е!п — + ра 4 47,,Р,Рлвпв,)Р 1 л=-! + ВР 2РР ът ! 1 . Влх плов! + —, 7 яп Б!и — 0(1( — ° рйлв 474 пв авлвпв — ПР(в се В ! Указание. Воспольвсваться импульсной дельта-функпией. пепеав ~ плов ~ + Р сое — — 1 — сов!1+ — ~в 167. и(х, 1)= ) ) в1) пвлвав 1 пи:„) сов — — 1 — сов! ! — — ВР( 14 в( ВПХ Ип —. Ррлва 168. а) При Явь —, п 1, 2, 3, ПЛХБ 2вРРР +ВР Яп— Влх .
Велеа! и (х, 1) — — У Яп — в!п — + апврЗ пв (пел'ав — вЧР) 1 Р «=! +'В Ип— 2РР(Р ! 'Д р5 ~4 пвлвоа — вЧ» л=! плх е!п —; пвлеа б) при в=— 14 + 'В в!ив ПЛХБ 2вР014 ст 1 плх, пвлва1 и(х, 1)=— вы 7 пв (пвл4ав — Р14) 1 Р Фп — яп — + В=! /РЛХР 2РБР . В(! 1, плх х74 пвлвав — о!в!4 1 л=! В ф ВР Рв пвлхе .. Ввлх Р, пвлх„. В,лх + вш — яп ОМ яп — —: сов 04( яп яп РЯвв 1 1 р8(в ' + ОР 2Р(еов ~1 1 ! плх пвлва1 Е и(х 1) — — 7 РЬ)РЛР 47! пв авлвпв — о)Р 1 Р ° ов Мп — Яп — — — «С 1 (+со. л=! 257 и. и лвнення гнпе голичгского тыпл Неограниченное возрастание амплитуды вынужденных колебаний с частотой оо — бУДег иметь местО лишь в том слУчае, ногда з)п — чь О, т, е проел л„лхо Р точка приложения силы не совпадает ни с одним из узлов гармоники, саашетл,п ствующей числу )чь Указание.
См. указание к задаче 149. Замеч ание. Вынужденные колебания с частотой ы могут быть найдены в замкнутой форме, аналогично тому, как зта была сделана в решении задач 134 н 139. лол«т При ы чь †, л 1, 2, ..., для колебаний е частотой ы, таким образом, получается следующее выражение: л' о»(3(! — хо) з» Ю мп(3(! — хо);„ 2йоР з» й! 2()о!о мп (3! 0<я — — — з» (3 (! — х) + — —, з(п ф (1 — х), о» ()хо зш ()хо 2йо!о з» (3! 26313 мп р! хо(х~(, (Р и 2РР и(х, !)=, Х З(П вЂ” ЯП (ОУ(+9л) лихо ллх + ло 2РР и(х, !) — 7 р5 л 1 Роло 2Г«!з + "' ! — савв !о 160, и(х, !) — о у, Лл(х)„ (1) ЕЛ лы рл«(з» 1«л ( о(п)тл) где Л„(х)=(с»р.+ ~р.ф» рл — — ш« — )- л —, л — !/ — (з» р„+ми ро) ~с» 1«л — — соз)ол — ), (2) рл — положительные корни уравнения с»р ссор — 1.
(3) 161. Для т(Т ответ совпадает с ответом предыдущей задачи. Для 1>Т рлп ро лот 2Р«!о У Р " соз — ((-Т) — савв !о и(х, !)= — У, Х (х) Е ! ~ и'„(з» рл+йп Рл) где рл и Хл(х) имеют тот же смысл, что н в предыдущей задаче. 9 Б.
ьь Булок а АР. 2ты где 1й~рл= —, а т — «козффипиеит тренияо, входящий в уравнение а«лоло — ш«Р ' дои дои ди — +оо — +2т — О. д!о дхо д( ОТВЕТЫ. УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ р дй рйдй ип — ! — — яп а!1 И ыИ + сл 162. и (х 1 2 й(дй ~д Хл (х) ~~ рй (й]й рл+ мп рл] где рл и Х„(х) имеют тот же смысл, что и в задаче 160.
ИЗ. и(х, 1) р:' рл" +со ип — ! — а]л Ы !й(йо ~] й1! Рл — 2сЬ р» й]п р»+й!п р„(й ы(й ]йл '"' ]йл ''П' ]йл !Рйдй]й л =! ~ (/ где Хл (х) й]й 1!» а1п ип 1!» а(й 1 рлх рлх р„— положительные корни уравнения 16р=1пр(р,(р <...). 4. Колебания при неоднородности сред н других условиях, приводящих к уравнениям с перел!енными коаффициентами; учет сосредоточенных снл и масс р (х] им= (Е (х) ий)к. 0 < х ( хй, ха < х < 1, 0 1 +со, (1) и(0, !)=и(1, 1)=0, 0(1(+со, (2) и (хй — О, 1)=и(ай+О, 1), Е (хй — 0] и,й (хй — О, !)=Е (ай+О) и„(ха+О, 1)„(2') ( — х, 0<х(х,1 й-„ »1 и (х, 0)=!р (х]= иг(х, 0) ф(х)ыО, 0(х(1, Е, 0(х<хр, (Р, 0<х йяь~ Е(х)= ' ' Р(х)=4-' =(-: .
Е, х <х(1, (р, х,<х <1, (4) Р, р, Е, Š— константы. Частные решения краевой задачи (1], (2), (4) наем в виде и(х, 1)=Х(х) Т (1). 164. Решение. Продольное смещение и(х, !) точек стержня является решением краевой Задачи (7') Из общей теории известно *), что краевая задача (7'], (7") имеет бесконечную последовательность собственных частот Х, (х], Лз (х], ..., Х„(х), ..., ортогональных с весом р(х) аа отрезке 0-=х~(. Решение уравнения (7), удовлетворяющее условиям (7'), имеез аид ГЕ: при 0<х<хе д=1гг р Х(х)= ы (8) при хз«х<1, о=1 г = — ° р 1 ОЗ ! 93 — (й —, = 18 — (АЪ вЂ” () Уб Мх~ для определения собственных частот ы„.
Полагая в (8) в=го, получим собственные функпин нашей краевой задачи при О<х< хз, ыа з(п — хе д Ха (х)= (10) ЕРВ хз < х < 1. мп — (1 — х) о>„ а мп ='(Е-хз) *) См. (7), стр. 424 — 428. О» и, уРАВненйя ГипеРВОлическОГО типА Подставляя (5) в (1), (2) после разделения переменных, получим: т" (г)+ гзт (г] = а, о < г <+ ~, (Е (х) Х' (х]!'+ ызр (х] Х (х) = О„О < х < 1, Х(0)=Л(1)=0, Х(х,— 0) Х(х,-]-0]„ ЕХ' (хе — О) = ЕХ' (ха+ 0). и соответствующих нм собственных функпий мп — (1 — х) ! а мп = (1 — 'ь) Удовлетворяя условию (7"), получим транспендентное уравнение (б) (7) (7] ОТВЕТЫ, УКАВАНИЯ И РЕШЕНИЯ 2 яп' = —" (хо — 1) а и(х, 1) ~ а»Х»(х) с«и«о,ф, (12) л=« 1 Г и /е е ал р (х) «р (х) Хл (х) Ых + .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
