1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d (846319), страница 43
Текст из файла (страница 43)
!34. Решением краевой зада!и ()с ллас где бс) прн сл=, где лд — четно„ ~ла с где б,) при о= —, ла — нечетно, лзгш плаХ яп— ! г!. УРАВНЕНИЯ ГИПНРБОЛИЧБСКОГО ТИПА иа = асихх+ — й3 есг, О < х < 1, О < 1 <+ со, з е р а (О, 1) = и (1, 1) =О, О < 1 <+со, и (х, О) = нс (х, О) = О, 0 < х «1, является: лла а) при очь —, л=), 2, 3, ..., яп — х + к(х, 1)= 2Фл сс .
о( с с» с, ~т юсх з!и' — — з)пз — х' з!и ос+ хт Ьл зйт — з)п — озр о 2а '2а Х,,У, л 1 3!и — 1 «=с а яп — г а, о1, о . лиг — яоз — — япз — г яп — с!г; о 2а 2а ~ ! яп — 1 а +со 2Фл, се, %т, юсх юшс а(х, 1)= — — япт -хоп о1+ 7 Ь„ап — а!п —, оср 2а с' с л=! 4Фа с . со .
юсг Ь„= — а ' япз — г ° яп — сгг; лларо 3) 2а Фе, о 4аФ Г, лллг ллч !х — г) а (х, 1)= — — зьчз — х+ — ~ яп — яп — — Аг яп о1-1- озр 2а пассоТ с 2Ф„яп— почх -~- л е чл . ллх + .— 1 соз он+ хг ь„яп— ~нор л л=! (2» (3) ОТВВТЫ, УКАЗАНИЯ И РНШВИИЯ где Ь»= — — — з)пт — К+ — ~ еп — еп 2 р ( 2Ф е Ьасро (' лонг . лен (х — г) аг+ р 2а н,нто 3 о 2Фо лон$1 . илье лонер 1 ~ 1 и,т авиле О(х~(. ОС1<+оо, и (О, 1) = О, и (1, 1) = А з!п в(, 0 (1 ~+ оз, и(х, О)=ит(х, 0) О, О(х(1, является: а) при вФ вЂ”, л=1, 2, 3, 4, ..., (!) (2) (3). г!и — х е +со и(х, 1)=А — мне(+ 7 Ь„нп — яп— а, 'Кт, лнх лнсн аш » т а где т .
в мп — г 2Ав г а . ллг Ь»= мп — с(г, л = 1, 2, 3, ...; 1 з1п — 1 а (6) б) при в=— лона (7) (Ае с 1 о . лнг! лен(х — г) и(х, 1) — !2 — А», з!и — ! з)п с(г зтпв1— +со АА», лонх %т . ллх . лла1 — — с(он от(з)п — -(- ~~ Ь зтп — з!и —, (3) 2( 1 Л, » Ь» = (с! (г 0) з(п — т(г А» г Мп с(г, (7 Ф, 1) — сумма первых двух членов в правой части равенства (8).
Указ ание. !) При еФ вЂ”, л 1, 2, 3, ..., частное ренские краевой задачи (1), (2) ишем в виде С/(х, 1) Х(х) з(пв1 и решеииезадачи (1), (2), (3) яредстввляем в виде и (х, 1) = о (х, 1) + (7 (х, 1). а То — натяжение струны. В атом случае наступает явление резонанса: амплитуда колебаний с частотой вынуждавшей силы в возрастает неограниченно пропорциональтто 1. 133. Решением краевой задачи гк и ЛВНЕНИИ ГИПЕРВЮЛИЧЕСКОГО ТИПА (2) является: (2л+1) по а) при в ее, л=О, 1, 2, 3, ..., 2( (2л+1) дх . (2л+1) ла( и(х, ()=(((х, ()+ '5', Ьл мп „мп (4 ) л о где мп — х аА а (((х, () — мп в(, ЕЕв в 1 4 [' (2л+ 1) пг — ((((г, О) зШ аг( б) при в з+ 2( +со (2л+ 1] пх (2л+ 1) на( и[х =Их )+ г„~ з)п 2( п (6) л=е лКл, (((х, () Аа [' ( (2л,+1) пг ), (2 з+1) п(х — г) — — '(созв(мп Айл.. (2л+1 пх 2ЕБ 2( [9) 4 Г (2л+1) пг йл (2л+Цпа ~ ((((г, О) з(п 2( аг, С Ае з(п (2ла+ ) пг ь= т гз(п о У ив ванне, См.
указание и предыдущий задаче. 2) Прн в = — полезно освободиться от неоднородности в граничною свпо условии, переведя ее в уравнение. Для етого находим стационарное решение 9(х) уравнения [1), удовлетворяющее граничным условиям ~р(0)=О„~р(() А, затем решение краевой задачн [1), (2), (3) ищем в аиде и(х, () о(х, (]+~у(х) нп ех. 136. Решением краевой задачи ии=ази, 0 <.х<(, 0 <(<+со, (1) А и(0, () О, их ((, ()= — мп в(, 0 <(<+со, ЕБ и (х, 0) О, и((х, 0)=0 (3) ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РВШВПИЯ !37. Решением краевой задачи им =а'и, + ыа (х+ и)+ и а)п ыЕ, 0 < х < 1, 0 < 1 <+о» (1) и(0, Е) = и„(Е, Е)=О, О<1<+со.
(2) и(х, О) = ие(х, 0)=0, 0<»<1 (3) яаляегся: и(х, 1)=о(х)+се(х, Е)+(Е(х, Е), о (х) = — $ ссм й (Š— й) Ай — й ~ $ вп й (х-ф) еф„ ймпйх Г соз йЕ е -В'-"'1 ш(»„1)=Х(х) юп с«1 = —, — 1 а)п ыЕ, Я сов( — 6' 2) +СО 4Е(х, 1) = Р„~Ало«а( ~Е «и— с~ Г Е е, (2 +1)иеае ( 41« )1+ л=е Ет / (2л+1)зпааа 1 ), (йп+1)и А„= — — ~ о($) мп 2 Р, (2л+1)пй 1,') 21 а сф, Е в„=— 2 т Х(4)мп еф.
Г . (2л+ 1] и$ ыт (2л+ 1)а и«па 41а е ии = ааи»», 0 < х < х«, х«< х < 1, О < 1 <+ со, (1) и(О, 1)=О, и(» — О, Е)= (х +О, Е), Т«[и (Х«+О, Е) — и„(» — О, Е))=Аз)пмЕ, и(Е, Е)=0, О<1<+со, (2) и (х, 0)=и«(х, 0)=0, 0<» <1, (3) является «): +ю 'чт . ллх . ляаЕ и(х, Е)=(Е(х, 1)+,т Ьл мп — аш л ° 1 1 з л= — 1 (4) л) Ср. (7), стр. НО. У к аз а н ие. Найти сначала стационарное ре~яение, потом вынужденные гармонические колебания с частотой вынуждиошсй силы, а затем свободные колебания. 133. Решением краевой задачи 2АТ 11. УРАВИЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА где 2 Г . а па Ьч= — — ~ Уг(г, о) вп — Аг, 3 з Ип в (1 — хз) Аа а ИХ з)п — з!п И1, 0 < х < хз, Тов .
И1 а зш— а и(х, 1)- з)ив ВХз Аа а . И(1 — х) мп — Мп в(, Т„в И1 а з)ив а 130. Решением краевой залачи им=а'и„„, 0 < х < х, х„< х < 1, О <1 <+оз, (1) и (О, 1) =О, и (хз — О, 1) = и (ха+ О, 1), Тз(их(ха+О, 1) — и (хз — О, 1)]=А ссзвг, и(1, 1) О, 0<1 <+со, (2) и(х, 0)=0, иг(х, О)=О, 0<х<1, (3) явлиетсн: +со и (х, 1) = (! (х. 1)+ ~ а„мп — сса —, пих лпа) а=г где ! 2 апг аа= — — ~ (1(г, 0) мп — Аг И Ип — (! — х,) Аа а вх з!и — Оз ИГ, Тзв в а а 0<к~хе, ИФ, и=1, 2, 3, ...*).
(1(х, 1)= .'в З!П вЂ” Хз Аа а . в — вп — (1 — х) соз И1, в а а хе<к<1, ) Переходи к пределу при в — ~.О, получим при А=ге стзциоварноеотклонение, найденное в решении задачи 132. ответы. гелзлния и решения +СО и(х, С)=(С (х, С)+ ~~~~ (алссм — + ел а)п — ) Мп —, (1) лпаС лясс( ) лстх л=с где (2) (3) 0<к<хе (с(х, с)= ~аг ~ х) лы +с' а ап — ха а лы(1 — х) л С+3„в, С), (3') лсе з)п — 1 3 а и е ча на е.
Первые слагаемые суммы (3) и (3') соошетствусот стационарному прогибу под действием силы, (равной — и приложенной к точке х; Яа 2 именно зта силе вызывает прогиб 140. Решением краевой авдачи янляегся: 2 Г ллг а„= — — ~ (С [г, 0) а)п — с(г, 1.) ' С е с 2 с. лиг ь„- — — ~ (сс(г, о) мп — л е н прн ливФ, т, л 1, 2, 3, ..., АЖ('-Ф)+ +со а а)п — (1 ха) а лйх (-ил зш лес ) сие а лы мп — 1 < — — — ),о (с (х) 1 ао с' х'1 — — ) „ т 2 141.
Решением краевой задачи *) ил=азах„— йтис+ср (х) г)лыс, О <к <1, О <с <+со, а (О, С) = и (1, С) = О, О < С <+ оэ, и (х, О) = О, ас (х, О) = О, 0 < х < 1, е) См. введение к ответам настоящего пункта. (1) (2) (3) ат уРАВнения ГНОВРВОпичеокОГО типА и(х, С) (С(х, С)+е Д 1ал сов — +Ьл мп — С1 мп —, (4) л 1 2 Р лпг ал — — ~ (С(г, О) мп — Ег, С.) че 2 лиг Ьл= — ал — ~ (С,(г, 0) аш — Аг„ л=,па л „,т 3 ! е (С(х, С)=11п а — ()С 1) Г Х (х) (а+В) ~~5 ) )((С) ~~ 101 (К) Х(С-К) аа —— П*) — еслт )г Сре (К) (((х — К) гфЦ . (6) е (l(х, С)-установившиеся колебания, ла(х) сллтрпл е-штрих 11 ( АС Р"ш — 2шч( а 1 ГЮГГ~~л Гл-~.ю л (7) а Г 2 а 2 Замечание.
Пусть )т(х) есп решение дифференпизльиого уравнения (С'+Ар'+ВЕ=О, А соти( В=соси( удоилепюрякадее начальным условиям р (0)=О, р (О) = 1; Р-) С(В) )" (х — й) Дй является решением уравнения у" +Ау'+ Вр= С (х). идовлетворяшщего начальным условиям р(0)=0, р'(0)=0. 142. Решением краевой задачи игс=сди „вЂ” 2таг, О<х<С, О<С<+со, а(О, С)=0, а„(С, С) — ашшт, 0<С<+со, А и (х, О) О.
и (х, О) О, 0<х<0 (З) л) Символ 1ш означает мнимуш часть комплексного числа. ОТВЕТЫ. УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ является: а(х, !]=( (х, 1)+ Ъ1! (2л+1)Ы (2+!)л (! Ь(2 +1]лх + е- ~~а 1(ал соз + Ьл лп ~ а!и, (4) л=о 1 а = — -- д! и (г, О] Яп 2 !' (2л+1) лг л —.1- ~ ° 21 дг! о (2) (з) является: и (х, 1) = !' (х, 1) + +со 'Д !' (2л+1) ла! .. (2л+!) ла! ! (2л+ 1)лх +Е " ° 1ал С!И + л +!1л ав! 21 1 2( (4) л=о ал= — -- д! Р (г, О) соз 2 Г (2л+1)лг л 21 дг, 1 2О1 4 (' „, (2л+ 1) лг (2л+ !)ла " (2л+ !)ла ) ' ) 21 о отойпк ] р- огйпк У (х, !) = 11п Е, ог~'~, о~а+ й! !+е ~в+Оп! ио(= 1л — 7 — ян.
-ио, о осоои, оо бЕ+ С]1 2СЬ (6) 144. Решением краевой задачи дои . дои ди — — С1.— „, — (С)г+б() — — б)!О=О. 0<к <1, 0<! <+со, (1) и(0, !]=О, и(1, !)=Ее!пмг, ОС!С+по, О(х, О) О, 11(х, 0)=0, 0<х<1, (2] (з) Ьл= — — д! ир(г, О] МП ' дг. 4О 1" . (2л+ 1) лг л (2л-1- 1) ла д 1 ' 21 о Хсгановившиеся колебания определяются формулой — ( А (а — (]!] е'ао йл" — е 'аейгсх и(х„!)=!ш 1 е!и!1 Ее(ао+яро) о<а ро! — е ~егйо! (6) где а и (3 имеют те же значения, что и в предо!душей задаче.
143. Решением краевой задачи дои дои ди дх' д(о — — — ЕС вЂ” — ЯС+бЦ вЂ” — — б]1О=О, 0<в<1, 0<1<+со, (1) д! Ок(0, !)=О, О(1, !)=Ее лям(, О<1<+со, О(х, 0)=0, Ог(х, 0)=-0. 0<к<1, П, УРАБНЕГ«ИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА Гдс р (г+ х„') — Ез пп ра= рз > ! > 6=в 2 Г гата а„= — — дз 1> (г. 0) мп — дг, > ч! 2 Г . ляг Ь вЂ” аа — — д! 1>> (г, 0) мп — дг, >а«а а па М е>а+3»х е-|а+!»Пх 1«(х, с)= щ Е ее|+оп« вЂ” е>а+о»! ч-(а+()!)=)Iре»з — г — 24ек, Р С1, 24=С((+И., «=6)(> Сй+ж 2СI (о! (6) 145.
Из краевой задачи --"--У+'"") ~ 0<х<1, 0<!<+«~, др дш д! дх ' р(0, !)=О„ш(1, !)+)> — '=Ае!"», 0<1<-(-оэ, дк> [1, !) дх (2) находим установившиеся колебания давления с часкпой м в сечении х !. р (1, !)=Аз«(е>) )«(е>) е>>а»+е>, (3) в«аз г (а>) =ф" !+4 —;. > (4) 1 )2(ш) ,> (3) 1 1/ 1' ь!+2азе>з+е>в ! 1««)> а»+2аве>з — е>з 7=-, У 2 ). 2 в)> 24> Н ' 4 с)>2>р — с«ж 2|1 +6) 1, 6== — -О,— Ь„!ЕЕ, —, !яп,= 2 |р ' в!и 24> () — ° с)> 2>Р— сов 24> 140, Решением краевой задачи 1 и«>= и + — Ф(х)1, о<хс!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
