1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d (846319), страница 38

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 38)

Задачи для конечного отрез к а В случае конечного однородного отрезка длины 1 решение краевой зюючи иго=ага„.х, 0 х<1, и(х. С)=ср(х), иг(х, 0)=ф(х), 0<х<1, асигг+азиг+аеи~+охи р[о), х=О, ) Рсигг+ ()оиг+ Рзи. +()си= р' [Г), х=(, ) 0 <Г <-)-сю, (1) (2) (3) можно искать в виде и (х, 1) =срс (х — а()-[-ср [х-[-аг). (4) причем функпии ср,(г) и с[ос[а) прн 0<г<1 определюотся из качальных условий (2), а для других необходимых значений продолжаются с помощью граничных условий (3). Таким образом, в случае р[г) Лсозю( в направлении, обратном направлению движения источника, распространяется волна с частотой, меньшей частоты источника, а а+ по и янлвнення гипееволнческого тннд для неограниченной прямой.

продолжая ф(г) и ф(г) на всю прямую — со< <г <+со с помощью граничных условий (3). НЗ. пх нш и(х, !)=А ип — соз —, 0<х<1, 0<(<+со. ! У к аз ание. Решение получается с помощью формулы Даламбера при нечетном и периодическом с периодом 2! продолжении начальных условий, 84. и(х, !)= ф, О<х< 1, 0<! <+оо, 2 где =( ' Лг, †!<г<1, ~р (г) = А(2! — г), 1<а<31, ф (г) =юр (г+ 4!), — со < г <-(-со. (, О Р( Ф)+Р( + ) О ! О ! + где ф(г)=Я'в(г) — !+2л(<г<!+2л1, л О, ч-1, -+-2, ..., ф-в (г) фа ( г) г — ж (Ре(г)=Аг, ~Р, (г)=А!е зг л — е-"г ) (~Ре( — й)+йфа( — Ц) еа4~еь ат, / ф,(г) А!е-азг-ь е-аг ~ (~,.( т) 1)и ( т))~а~сьы дь+ г — г! ~- 1 ь-',( — в.-ч-,( — мий е), ! а-з(га — нз ф, (г! А(е-а ж — ! -е-!' ~ Р ~ ь(ф' а ( т) + *=!(га-з)! 2 — И + ч".си а"'"' е+ 1 и' „„( — е~ч ...

(-ь)~< е ). ща — з) ! 66. Решен и е. Сначала решаем краевую задачу ии агихю 0<х<!. 0<!<+со, и(О, !)=О, и„(1, !)=О, 0<(<+со, и(х, О) О, иг(х, 0)= 6(х — хе), 0<хе<1, 0<х<! Р (1) (2) (3) й(ожив также искать решение краевой задачи (1), (2), (3) с помощью формулы Даламбера к+а! и (х !) 'Р (» )+Ч> (х+ а!) 1 2 2а г — а! 210 ОТВЕТЫ.

УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ где 6 (х) — односторонния 6-функция «). Ее решением явлнется: х Ем +»о (х, 1)= — ~ — У ( — 1) (6(й — хо+2И) — 6(Е+г«+2Л1)) И$= 1 1 ът х — о» а — оо +о« вЂ” ч»' ( — 1)а (ао (х+аг — »«+261) — ао (х+а(+ха+ 2И) 2ар а= — »о — ао(х-а1+(2А — 1)1)-(-ао(х о1 ( (2А 1 1) 1)) 67. Решение. В течение акта соударення для продольнык смещений и (х, 1) тачек стержня имеем краевую задачу им=а«и, 0<х<1, 0<1<+со, и(0, 1) О, 0(1(+со, Мии(1, 1)= — Ебиг(1 П. 0(1<1а, (1) (2) (2') где 1« — момент окончания акта соударения, и(х, 0)=0, 0(х(1, 10,0(х<1, иг (х.

1)=1 (2) (3') Момент 1«окончания акта соударения характеризуется тем, что при 0(1 <1„ должно быть и„(1, 1)(0, а при 1 1« и„(1, 1«)=О, причем, если бы мы предположили, что груз М и для дальнейших значений времени 1 оставался бы прикрепленным к концу стержня, то при значениях 1~ 1«, мало отличающихся от 1«, должно быть их (1. П ) 0 Решением краевой задачи (1), (2), (2'), (3), (3') являетсн: и (х, 1) =~р (аг — х)+у (а(+х), где функция ~р(г) определяется следующим образом: Ч»'(г)=0, — 1<г<1, ф (г) =О, — 1 < г < 1, 1 й (г)+ — ф'(г)=ф (г — 21) — — ~р'(г — 21), 1(г<-1-,»,, и( и( (б) (6) (7) М и= — — отношение массы груза к массе стержня.

С помон(ью дифференцкрз( алька»о уравяення (7) и второго начального условия (3') определяется функция ~р'(г) на отрезке 1(г(31. Затем с помощью этого же дифференциаль ного уравнения <р'(г) определяется последовательно на интервалах 31.-- г ( 61 61(г(71, и т. д., причем константа интегрирования каждый раэ опреде. «) См.

сноску к решению задачи 66. — ао (х — аг — хо+2А1)+а«(х — а(+ха+2Л1)). Переходя к пределу при хо-«.1 в полученном решении, найдем решение исходной задачи +»о и(х. 1) = — 7 ( — 1)" (ао(х+о(+(2л-!) 1) — а (х-(-о(-(-(2а-(-1) 1) 7 2ар Л= — оо 211 И. УРАБНЕИИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА ляется нз условия непрерывности изменения скорости конца ио(1, 1) прн !) О 21 4( 51 и, в частности, при 1 — — —; .„Так получаются выражения а) а) а)'' ~р'(г»= — а "', 1<г<Я, по а! а (5') ! — и ор'(г)= — ое а1 + — !(! — — (г — 31)1е "1, 31<а<я, а а ! со( о — и !р'(г) — е а' -(- — о~! — — (г — 31» е а! + а а~ а1 о — о! + — о~! — (г-31?+ — (г — 51?' е "' Я <г <71 2 а~ а1 ао(о (5") (5"') орункцня ~р(г) получается интегрированием 41(г) иа ннтервалвк 1 г<31, 31 <г< 51, 5!<г <71, ...

с учетом непрерывности изменения и(1, 1) с течением времени. Твк получаются выражения о — ! а»во Г ~р(г) — о11 — о ог 1!о 1<а<Я, о †! о — М а(по а(оо 1 а(г; — — "о " -)- —" 1+ — (г — 31) е "г, 31<г <51, а а ! о — ! о — и 4~ (г) — ~е — ( ! + — о 1! ! + — (г — 31) 1е ,— о! а(во ! 2 — — о ~ ! + — (г — 5!)о~о а1, 51 < г < 71. а ~ аз(о (б') При О<! < — в силу (6) ~р(а! — х) О, поэтому согласно (4» а и (г, !) р (а! -(-г) при О < ! < —, (В) 2! При ! — полна <р(а! — х» отразится от конца х 1, так что слагаемое ~р (а1-(.г) а 21 Я в решении (4) на интервале -- <1< — будет иметь уже другое выраженне.

а а ч. е. по стержню распространяется только ообратиая» волна (р(а!+х)„идушая от конца х 1, подвергнувшегося удару; прн ! — она аостнгнет закреплена 2( ного конце и при — <! < — к ней прибавится отраокеннан волна <р (а! — г), а а ю е, решение будет иметь вид 1 21 и (х, !) ~р(а! — х)+(р(а!+г), — <! < —, (О? а а' 212 ОТВЕТЫ. УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ Таким образом и (х, !) нмеет различные выражения на интервалах 0 < ! —, — « ! < —, ..., л — < ! <(и+1) —, ..., (1О). 2! ! а' а а' "' а а и„(1, !) — рачанчные выражения на интервалах О<(( —, — <[< —, ..., 2л — <(((2а+2) — „...

(11) И И 4! ! а' а а'"'' а а И Акт соударення не может эакончвться при 0(! ( —, так как прн втях анап ченяях ! будет и. (1, !) (О. Для того чтобы акт соударения чакончнлся в момент [, принадлежащий 2! 4! интервалу — (! < †, необходимо н достаточно, чтобы выполнялось аераа а' венство 2 и а( т.

е. где (э — момент окончания акта соударення, и(х, 0)=О, 0<я<1, (3) О 1 О. ОМх(1, 1 (3') Момент окончания акта соударення определяется тзк же, как н а предыду- шей задаче. Решение краевой задача (1), (2), (2'], (3), (3') имеет вид и (х, !) ф (а! — х)+~р (а[+к), (4) где ф (г) определяется следующим обраэож ф (г) О, — [(г(1, р(г)=О, — !«1, р'(г) + — т' [г) — Ч'(г — И) + — р' (г — 2!), ! <г <+оо, [7) и! а! (б) [б) М где и — - — отношение массы груза к массе шержня.

[ж[ При меч э ние. Так как реальные поверхности могут обладать неровнастями, то для прнложнмостн этого решення к реальным случаям ударанеобходнмо, чтобы время, в течение которого достигается плотное соприкосновение торца ударнюшего грува со шюбодным торцом стержня, было пренебрежима мало по сравнению со временем пробега волны возмущения по стержню. Деформацни, возннкаюп[не в грузе, должны быль пренебрежимо малы по сравнению с деформациямв а стержне. 88. В течение акта соударения для продольных смещений и (х, !) точек стержня имеет краевую задачу ии=аеихх, 0 (х (+со, О (! <+со, (1) и„[0, !) О, 0 <! <+со, (2) Мии(1, !)= — ЕЗих(1, !), О([(гэ, (2') 2)З И. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРбОЛИЧЕСКОГО ТИПА Сначала с помошью дифференциального уравнения (7) определяется ф' (г) последовательно на интервалах 1 <а С 3), 3( <г <51 и т.

А. с учетом начального условия (3') и непрерывности ие(1, 1) прн 0 <1<+со; ~р'(г) = — — е «1, 1< а <3( ог са г †! г — м ф' (г) = — — е " + — ~~! — — (г — 31)(е "', 31,< г С 51, (5 ) а а )„а( Затем интегрированием ф' (г) с учетом непрерывности при 1 ) О получается выражение для ф [г) на этих интегралах: г — ! р(г) — — ![! — е ! 1! 1<а<3(.

ога( ( а (б'! 99. Решение краевой задачи ') (-:) а'="д-Р-Н) дл О< -'- с+- () и(О, 1)=0, 0<1<+со А(иге(1, 1)= — ЕБиг(1, 1), 0<1<(г, (2) [2') где 1„ — момевт окончания акта сауда;ения, и (х, О) =О. 0 < х < 1, (3) 1 О, Оса<1. 1 (3') имеет вид и(х, 1) ф (а1 — х) — ф (а!+ х) Н-х Функция ф (х) о пределяется следуюшим обрвэоьс ф(г)=0, — ! <гс1, огр" (г) + ф' (а) + — с«р (г — 21) — ф' (г — 2() + ф (г) ф (г — 21) Н вЂ” 1 Н вЂ” 1 1с г<+о, (5! (6) и т. д., где Л! и Лг — корни уравнение Л ! + а +а[Н вЂ” !) ) См. аадачу 21 Маг где а= —. ЕБ С папашью этого дифференциального уравнении, начального условия (3') и Условий непРеРывности иг(1, 1) пРи О<1<+со и непРеРывности и(1, 1) при 0<1 +со функция определяется последовательно на интервалах 1< < г < 3„31 < г С 51 н т.

д. о е!" '* Π— е! ' 1> Ч(х)= — "(Н вЂ” 1) ', 1<а<31 (5') а Л! — Ле ОТВЕТЫ. УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ 90. Решение задачи аналогячио решению эадач 87, 88, 89. 9!. Решения краевых эадач и е=о'и, 0 <х<1, 0 <1 <-[-оэ, и(х, 0) ие(х. 0)=О, 0<х<1, а) и(0, Е)=Р(Е). и(Е, Е)=0, О<(<-[-со, б) п(О, Е)=О, и(1, Е)=Р[Е), О<!<+ э) п[О, Е)=Р(Е), и„(1, Е)=0, О<1<+со, имеют соответственно вид а) + о» + оэ ([) (2) (3) [3') (3") а) п(х, Е)= ~~РР(Š— ) — ~а,Р Р~Š— ), л е а=! ' '"') ~Е-"""+"')1 «=о' +СО в) и(х, Е) [) ~Р(Š— )— и=! -Р(Е+" .'"')~(-!) +. Е- — '„), (4) (4') (4") ( 0 при !<О, тде р(Е)= Р (Е) при Е ~ О. ) 92.

Характеристики

Список файлов книги