Главная » Просмотр файлов » 1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d

1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d (846319), страница 35

Файл №846319 1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d (Будак, Самарский, Тихонов Сборник задач по математической физике) 35 страница1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d (846319) страница 352021-08-19СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 35)

О <~ <1. дг (40) в) Если один'конец стержня (х" 0) закреплен упруго, адругой(х' 1') двв жется по задащюиу закону, то имеем: агт =а"'и„.м„о <х < Р', 0 <1" <+ссч Ен„(0, г") — йи(0, Е) О, и(1', г') ю~()е), О<.'г <-(-со, (Пв) и(х', 0) фя(х"), и, (х", 0)- фя(к'), 0<х Если один конец провода (з'=0) заземлея через сосредоточенную самоиндук, цию Е, а к другому (х' р) приложена злектрсцвижущзя сила в (Е), та для определения электрического напряжения в проводе получаем краевую задачу Еео„,(0, Е) — Ео(0, Е)=9, и(1', б) мчат,",0<и<+со, „(,) ~ (х), „,,(;, О) ф,(х), О< '<1'.

(1в) .Задача (1в) аналогична задаче (Пв). Лля того чтобы задача (1в) была подобна задаче (Пв) с коэффициентами подобия йю йг, йю необдодимо я доствточгьь и. И АННКНИЯ ГИПЕРВОЛИЧВСКОГО ТИПА чтобы выполнялнсь соотношения (1а], (йа), (Зз), (4а) (см. выше) н соотношение м (!')=В„юе(!"), !' В«г, 0<!'<+со. У к а з а н н е. Задача решается аналогично предыдущей, 5!.

Если адин конец провода (х" =О) заземлен через сосредоточенное сопротивление Кз, а другой конец (х" !') ааземлен через сосредоточенную емкость Сз, то для определения напряжения в проводе с пренебрежимо малымн утечкамн получаем краевую задачу о!ч а«о, аз=С~ О<х <1, О<! <+со, Яео „(О, !') — Ео«. (О. ! )=0 !.Соо ... («-, !")+о .

(!", !")=О, 0 < !' <+со, о(х', 0)=«р. (х'), ог. (х", 0) ф„(х"). 0<х" <)', (Па) а для определения силы тока — краевую задачу !. а'ч!«„«, 0<х" <1", 0<!" <+со, (О П) С!!«гг (О ! )=О Се«(! ! )+С! (! ! )=О, 0 <!" <+оэ, !(х", О)=Ч«г( "], г„. ( ", О)=ф (х"), О« Г'. (11б) Еслн к концу упругого цилиндра (х'=О), совершающего крутнльные коле. банкя, прнложен тормозящий крутнльный момент силы трения, пропорциональный угловой скорости, а на другой (х' р) насажен шкив с осевым моментом ниерцня йм то для определения углов поворота В(х', !') поперечных сеченнй стержня получаем краевую задачу Вг ! =о «В 0 < х < 1~ О < 1~ <+со 6ХВ (О, !') — гзв, (О, !')=О, йевгт, (!', !')+6ХВ (!', Г]=0, 0 <!' <+со, В(х, О)=Во(х'), В (х.

О)-)ь(х), О<х <р, ()а) В«н а'ЬВ., 0<х'<!', О<!'<+со, 6Хбк,(0, ! ) — гсвг, (О, ! )=О, 6 !В„, (!', ! )+Н«В(!'. ! )=О, О <!' <+со, В (х', 0) = «рв (х'), Вг. (х', 0) =фа (х"), 0 < х' < !'. (1б) Задача (1а) аналогична задаче (!!з). Задача (1б) аналогична (11б). для гого чтобы задача (1а) была подобна задаче (!1а) с козффнциентаьн подобия Ва, 6.! где а"з= —, а величины 6, Х, й имеют тот же смысл, что я в ответе к за-.

В ' даче 3. Если к концу цнлнндрз х'=О, совершающего крутяльные ка«ебання, пряложен тормозшцнй крутнльный момент, пропорциональный тгловой скорости, а конец х'=!' закреплен упруго, то для определения В(х', ! ) получаем краевую задачу !Оэ ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ ам Аа, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись соотношении 1' )гх (2) )Ээ хх 1.

6л Д, 6л' дл ! 4, ' (г. = (.6э' фэ(х)=й.~ч( ), фе (х') = — ". фь (х'), — ь э х =д„-, О~Х ~И, 1 (б) У к а э а н н е. См. решение 49. 2 2. Метод распространявшихся воли (метод даламбера) 1. Задачи дл я бесконечной струны Решения краевых аадач этого пункта, имеюших внд ии=аэи „, — со Сх <+со, О <1 <+со, и(х, О)=-ф(х), иг(х, О)=-ф(х), — со(х(+со, (1) (2) находится по формуле Лалаглбера а+ аг ф( — а()+ф(х+Ш! 52. В рассматриваемой задаче ф(х) = О, поэтому и(х, 1)=— гр(х — а()+ф(х+а1] 1 1 2 2 2 =-,— ф(х — ам+ — ф (х+а(), (!) гас ф (х) задана графически в условия аадачи. 1 Прямая и обратная волны — ф(х — а1) и — ф(х-1-а1) 2 2 ! мент 1=0 соэпадаюг, имея значение, равное т(х). в на ыльный мо- Длн того чтобы задача ()б) была подобна задаче (Пб) с коэффипиенгамн подобна Фх.

До Аа, необходимо и достаточно, чтобЫ выполиались соотноШенИЯ (!)' (2), (б) и соотношения гэ дх О, С 6У )э ' 6У 6,. =6)1е ьх — = —. 185 П. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА за время 111 ~ п1 график прямой волны переместятся беа деформации вправо на расстояние пГ, а графин обратной волны — влево на аГ. Складывая Рис. 21, перемещенные графина прямой и обратной волны в моменты времени 1ы 1ы ...„ получим профиль струны в ети моменты времени Выше (рис. 21) приводится проуиль струны для моыентов Га = †, Д О, 1, 2, 3, 5. ас 4а' ба. а) аг — ~1+и 1л+игг 2 Ф ОТВЕТЫ. УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ где о, — со < х < — с, д~( — с — с<к<с, О, с<к<+со. ф (х) (2) Чтабы получить требуемые в условии задачи формулы, рассмотрим разбиение фааовой плоскости (х, С) характеристиками уравнения (1), проведенными из кон пов интервала ( — с, с), на котором начальное отклонение отлично от нуля (рнс, 22).

Рис. 22. Дадим сначала формулы, определяющие профиль струны при (=сопя(, ограничиваясь двумя характериымн случаямн: с с 0 < с < — и — < с <+ со. а а с Если с=сопя(, 0<1 < — то при к, изменяющемся монотонна от — со до +со, ~очка (х, С) фазовой плоскости последовательно проходит области 1, 1!С, !1, 1(1, Ш.

с Таким образом прн 0 <С < — профиль струны аадается соотнощеинямн и О, (х+а()з ~ и (х, С) =! й ~ !в — со < х < — с — оС, — с — ас < к < — с-)-пс, — с+ос <х <с-о(, — С 1 — 11, с — аС < х < с+а!, Сс г (к — ас)з т 2~ сз О, с+а( <х <+оп, с Аналог!сено получаесся профиль струны при — < С <+от. а б) Дадим теперь формулы, определяющие и (к, с) при к сопя(, представ.

лающие заков движенсся точки струны с фиксированной абсдс~ссой. Выберем П УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА по фиксированному значению х а каждом из интервалов — со <х < — с, — с< к<О, О<к<с, с<х <+со и изучим, как меняшся выражение для решения при (, изменяюшеися ат О до +со. Мы получим: и (к, г) = О, и(х, ()= — ((в Ь Г (к — ас)е 1 2( се Замечания. 1. а) н ()) получмогся из 6) н у) простой заменой х нв — х, так как и(х, г) являепся четной функиней па х в силу четности ф(х).

2. Геоиетрическигг метод нахождения профиля струны для разлнчнык иоментан времени описан в решении задачи 52. б4. Отклонение и(х, т) достигает ианбольшего значения в точке с або цнссой се+ [5а+ а, + ()г х= 4 в момент времени а,+~е — (и, +()г) 4а зто наибольшее значение равно —. (гг+йа 2 а) О, -1Ф[- '";"'$ О, А~( —.'+„" 1, 6~ (х — а' 1 О, О«Г» —— с+х 1 а с+х с — к — «Г»,~ — со<к< с, с — х О«г « с+х с+х с — х <с « —,,— с<к<О, и а с — х '=.

г <+со, с — х 1 а с — к с+х — «(» — „-,~О<к <с, с-)-х . Г <+со„ О -(< г+к -с+х с+х — с <к<+аз. и а с+х <(<+а~. ютВеты. уклзлния и рншпния Рмс рй йб. Ретпеиие краевой задачи имеет вид а(х, Г) ч )х+пг) — гр(х — аг), где О, — со<с< — с, п„[а+ с) -с(з -с, г„— с, хс с, а ' ге" з(+оп, позтому закон данжепнд ~очек струны с разльчными абгмыссзми предчавлаетсн У к а з а н н е.

Рассмотреть интегральную поверхность, представлнюпгую регпенне и и гл, )) краевой задачи. И УРАВНЕНИЯ ГИПЕРВОЛИЧЕСКОГО ТИПА формулами а) б] ое (х — йс) осе 2й йа ' пгс й в) С си Сх — ий сзс и(х, 0= 2й 2а 0<1<— с+к ) — С+Х СЛГХ вЂ” -сс < — ' а й с <х <+со. с -)-х < 1 <+со, й ) Профиль струны для моментов времени 1,, 1з,:.. может быть получен вычитанием графика прямой волны Ч'(х — ас) нз графика обратной аолньгЧ'(х+йс). йс ,((ля моментов 1з= —, Й=О, 2, 4, б, он имеет вид, изображенный на рис.

23. 4й ' 50. Приведем два способа решении задачи. П е р в ы й способ. Будем сначала считать импульс равномерно рас. пределенным по отрезку х,— 6<к<ха+6. Тогда краевая задача формулнРуесея следуюшим образачс им=очи — <х <+ о, О<1 <+ и (х, О) О, — со < х <-(- оз, 1 26р ' — -6<и<,+6, О,,+6-- <+ (2) иг (х, О) фе (х) 00(х 1)=фе(х+ ) — Че( -йс), (3) о, и(х, 0=, — + —, се Сх+ас) йес йес й 1 ) к с)=( ', + —,'. се!х — Ш) "зс 0~1< —, с+х а г+х с — х й — — оо<х< — с, й г с — х — и-1 <+со, й с+ х с+х с х — <1< —,) — с<х<0, а а с — х с — х с+х —,)0<и<с, — <с <+со, с-(-х а )об Ответы, укдзшц~п и Решения сде — со<а <х,— 6, о, 1 1' (б(г)=т — ~ Рб(и)«ц= Оабр йа (г — «„+6), х„— 6 <г <ха+6, (4) 1 2а(т' и (х, 1) 1пп(тб(х, 1)= Иш Чб(х+ш) — Иптчб(х — а1)=Ч(х+а() — Ч(х — ат), О О б О где О при — со < х < ха.

й'(г) = Итп ЧЪ (г) = ! — ПРИ ХО < Х <+Оп. ~ 2ар Если ввести функцию о,(г), определяемую соотношениями 0 при — со<г<0, ог(г) = 1 при О « ° +со, =( 1 'К(г) — оз (г — х„) 2ар ! и (х, !) — (о„(х+аС вЂ” ха) — оа [х — а( — х,)). 2ар В т ар о й с и ос о б. Используя аельта-фушшюо ~), молва сформуляро вать красвую задачу так: иа = агихю — со < х <+со, 0 <! <+со, и(х, О) О, — со<х <+оп, ! ит (х, 0) = — 6 (х — ха) *) — со < х <+со.

р Тогда с помощью формулы Даламбера получаоя: к+ш х — щ+ОО ! ! т ! и(х, 1) — ° — ~ 6(г — х,) т)г= — ~ 6(~] ОЕ 2а р 2ар к-ат — «ч-Ш ,— (оь (х+ и( — хг) — ог (х — а1 — х )) !цр О т так как х 6($)О%=(0' О'~ при ге<0 и ~ 6%) 4 ~1' ~'~ пря ге- О. О О О ') Сш [7), стр, 270 — 275.

ча) Ком)трициент при дельтачрункции 6(х — хя) выбирается так, чтобы + ОР момеиО 1=0, т, е. ~ ит(х, О)рах, суммарный импульс, передаваемый струие О был равен !. Формальным переходом к пределу цри 6-ь0 в решеиии (3) получим решение исходной задачи 191 и. трлвиеиия гипепволического типа бу. В аадаче 52 н (х, 0)=«р (х) е'= О, нг (х, 0) ф (х) = — О.

а а рассматриваемой задаче бегугцая волна в момент (=О характернзуется отличными от нуля «начальны»«н» отклоненаямн н скоросгямв «) и(х, 0)=«р(х), иг(х, 0)= — оф'(х), — со<х<-)-со. ! ! В случае задача 52 мы имели: и(х, !)= — «р (х — о!)+ — ч (х+Ы). 2 2 В рассматрнваемой же задаче формула Даламбера дает: »+а« и(х, !) «р(х — а!)+ф (х+л() 1 2 + — ~ ( — шр'(з)) «(г=~р (х — о(), 2а бе. Решение краевой задачи ох+С!г+)«1=0, ! пра — со < х <+ со, 0 < ! <+со, «я+Со, +йо = О ) ГС о(х, О)=![х), »(х, 0)=1уг — г(х) прн -со<х<+со (2) прн условии СИ=ОС имеет внд д и (х, !) =е («р (х — о!) + ф (х+о()), л 1 ~С 1/ С (,(„ф х+ !.

— о» <х <+~~. о<!<+ где ) (х) + р (а) У (х) —" (з) !00 2 а «р (г)= 2 прв — со < г <+со. (4) 2, Задачи для полупрямой Разыскяваем решение краевой задача для полупрямой им=а»и „; 0<а<+со, О<(<+со, (1) а,им (О, В+а»иг(0, !)+а»и (О. !)+а и(О, г)=Ф(!), О<!<+со, (2) и(х, 0)=«р(х), иг(х, 0)=«р(х), 0<а<-1-со (З) в виде и (х, !) =«р, (х — о()+«)«»(х+о!). (4) Функции ~р, (х) я ф» (х) можно определить аз начальных условий лишь прн 0 <а <+со, Для определения «р,(х) этого достаточно, так как х-1-а() 0 пра 0<а<-)-со, 0<!<+со. Функцня же «р,(х) должна быть определена н для — со <а <О, что досгнгается с помощью граннчного условна (2), ») Предполагаетсв, что волна угке существует прн ! < О. у к аз а н не.

Исключить нз уравнення (!) силу тока; в полученном также образом уравнении второго порядка длн о(х, В освсбодяться ог члена ог(х, !) (см. гл. !), тогда уравнение примет вяд пг«=о»и»х. Вго решением будет: м(х, !) «р(х — а!)+ф (х+п!). Возвращаясь к функции о(х, Г) н используя уравненнн (1) н начальные успевая 2), нетрудно получить ответ. ответы. яклздния и оешения Репэенне краевой задачи ()), (2), (3) можно искать также с помогпью формулы Даламбера х+аг ~р(х — а()+~р (х+а(] 1 (б) 2 2а для неограннченной струны.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
6,07 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6430
Авторов
на СтудИзбе
306
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее