1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d (846319), страница 32
Текст из файла (страница 32)
«совпздающаяз с силой, так как сила параллельна оси Ои) и(х, 0)=/(х), иг(х, 0)=Е(х) при 0<х<1. 13) У к а з ан и е. Последнее из граничных условий (2) может быть полу*шип переходом к пределу при Лх-ьО в уравнении, выражакзцем в проекции нз ось Ои второй закон Ньютона для элемента (1 — Лх, 1) стержня. По поводу условия и„„(1, 1) О см. решение задачи 9.
13. Для определения продольных отклонений и (х, 1) точек стержня от ик положения равноиесия получаем краевую задачу* ) и!!=очи,.л при 0<х<1, 0<1<-)-со, и(0. 1)=0, ЕЕих(1, 1)=йиг(!, 1) при Ос(с-(-оз, и(х, 0)=1(х), мг(х. 0) Е(х) при О<х<1, где й — коэффициент трения для конца х 1 стержня.
19 о =СЕоы+(Ы+ОЕ)ог+Ойо при О<к<1, О<1<+оп, (!) о(0, 1) О, о(1,1)=Е(1) при 0<1 с-(-со, (2) о(х, 0)=Е(х), сг(х, 0)= — ОЕ(х) — Д (х) С при 0 <х с1, (3) 102 1!. РРАВИВИИя ГКИВРВОличнскОГО типА где Е(!) — заданная электроднижущая сила, приложенная к концу х ! провода, а Е, С, б, )с — соответственно нозффициент самоиндукции, емкость, утечка и сопротивление, рассчитанные на единицу длины провода, Указание.
Начальные условия записываются в форме (3), если воспользоваться вторым нз системы телеграфных уравнений и„+Е(г+Н(=0, !а+Се!+Со=О лри 1=0. Сис!сма (4) выводится в (7) на стр. 30 — 31. 3. Задачи о кол еба пнях, п ри в од я щи е к уравнениям с непрерывными переменными коэффициентами ж).
р(х)8(х) —; = —.~Е(х)8(х)--~ при О<х<1, ОС!С+оп, д"и д Г да ! д!а дел дх~ и(0, !)=и(1, !)=О при 0<(<+со, и(х, 0) Г(х), иг(х, 0)й Е(х) при О сх«г, (2) (3) 2!. Ось Ох направлена по оси конуса. Для определения продольных отклонений и(х, !) точек стержня от их положения равновесия получаем краевую задач)' ~ — ) х1а дзи д Г! х Гади) 1 ) — аз — ~ 1 — — ) — ) при 0<х<! 0<(<+Оп, (1) Н) д!з дх Ц~ Н ) дх) и(0, !) и(!. !1=0 при О<1<+со, и(х, 0)=((х), иг(х, О)=Е(х) при О<хс!. (21 (3) Е )( Здесь ит = —, Š— модуль упругости, р — плотность массы, Н = — !— р (( — ! высота полного конуса, частью которого нвляется стер!кень, 22.
Для определения поперечных отклонений и (х, !) точек стержня ог поло, кения равновесия получаем краевую задачу )- к ) х1дзи да Г! х1зо.и! 1 — — )- — +ат — ) ( 1 — — ) — ~1 =0 при 0<к<1, О<! <-)-со, (1) Н) д)т дхз Д( Н) дхз ) .с (х) р -( Е/ (х) — О, деи дз Г дзи 1 (4) Сначала нужно получить уравнение (4), аналогично тому как зто делалось в решении задачи 3 настоящего параграфа. а затем, подставляя значения 8 (х) л,( (х) для рассматриваемого клинообразного стержня, получить из уравнении Ей' Д где пт, Н= —, ! — высота полного клина, частью которого является 12р ' Д вЂ” й' стержень и(0, с)=0, и (О,!) О, и„„(1, !) и„„,(1, !) 0 при 0<!<-)-со, (2) и(х, 0)=((х), иг~(х, О)=Е(х) при ОСУ<!.
(3) Если для поперечного сечения с абсциссой х плошадь и момент инерции (относительно горизонтальной средней линии поперечного сечения) равны соответственно Е (х) и 2(х), то уравнение поперечных колебаний стержня будет иметь вид Отвпты, ьклзлния и пкшкния (4) уравнение (1). По поводу вывода граничных условий (2) см. таиже решение задачи 3. 23. Ось Ох направлена по струне в положении равновесия, прн атом ее начало совмещается со свободным концом струны. Для определения поперечных отклонений и(х, 1) точек струны от их положения равновесия получаем краевую задачу д'и д ( ди') дгз дх( дх1 — -д- (х — ~ при 0<х<1, Осг <+ос, и(0, 1) ограничено "], и(1, 1) 0 зри 0<~ <-(-со, и(х,.О) 1(х), иг(х, 0) д(х) ппи п<х< 1, (2) (3) где д — ускорение силы тяжести. 24.
В системе координат, выбранной так же, как в предыдущей задаче, для определения поперечных отклонений и(х, 1) точек струны от положения равновесия получаем краевую задачу деи д 1 дм1 — й — (1х — 1)+ ьззи при О < х < 1, 0 <1 +ос, д дх~ дхУ' и(О, 1) ограничено, и(1, 1)=0 при 0<1<-( со, и (х, 0) 1(х), и, (х, 0) Р (х) при О с х < 1, (2) (3) где я — ускорение силы тяжести.
25. Используем прямоугольную систему координат хОи, ось Ох которой направлена по струне при ее равновесном движении, а ось Ои перпендику. лярва к плоскости равновесного движения, причем начало координат совпадает со свободным концом струны. Для определения отклзнения и (х, 1) точек струны от плоскости равновесного движения получаем краевую щцачу дги ыз д 1 ди1 — — — (хь — ( при Осх<1, 0<г<+со, дтз 2 дх ~ дх/ и(0, 1) ограничено, и (1, 1) 0 при О<1 <+ос, и(х, 0) )(х), и,(х, О) Р (х) при 0 <х <1 (2) (3) По поводу граничного условия для конца х 0 см.
примечание к ответу задачи 23 настоящего параграфа. 4. Задачи„приводяпгие к уравиеииам с разрывными коэффициентами, и родственные им (кусочнооднородные среды, сосредоточенные факторы) ") Требование ограниченности и (О, 1) и отклонений свободного конца очевидно. Это требование является достаточным и с математвческой пзчки зрения, что обусловливается структурой уравнения (1).
Именно, вычислив знергию колеблющейся струны, можно, как и в простейшем случае поперечных колебаний струны, доказать елииствениость решения краевой задачи (Ц, (2), (3) 26. Ось Ох направлена адель стержня. В состоянии равновесия плоск.кть соединения тсрцов полуограиичеиных стержней проходит через начало координат.
и,(х 1) — продольные отклонении точек первого полуограничениого сгеРжна, ' и,(х, 1) — втоРого, ))ла опРЕделенва и,(х, 1) и ие(х, 1) ПолУчаем. П. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА краевую задачу д'и! — иэ д(з д'и, — ич д(з при У к а з а н и е. Первое нз условий сопряжения (2) означает, что торцы полуограниченных стержней все время осгаются соединенными вместе, второе же пожег бызь позучено при ох-ьО из уравнения движения, выражающего второй закон Ньютона для элемента ( — йх, дх) составного стержня. Еу. Ось Ох выбрана так же, как и в предыдущей задаче. Для определенна поперечных отклонений точек стержня получаем краевую задачу дзи! д'и, — +а" — =0 при — со<.с<0, ' дх! при О <( <+со, (1) !спич, дзиз — +а) — =О при О < х <+со, д(з дх' и, (О, Г) из (О, (), и,х (О, () = изх (О, (), Е!и!ха (О, Г) =Езизхх (О Г) Е!и!ахи (О. Г)= Езизххх(0 ~).
) при 0<(<+оо, (2) и, (х, 0)=)(х), ии(х, 0)=Е(х) при — со х< О, из(х, 0)=)(х), и,(х, 0)=Е(х) при 0<х<+со,1 а', = —, а'„= —. Ег) Ез) (4) р~д ' " рзЕ 28. Ось Ох и функции и, (х, () и из (х, () выбраны гак же, как в предьь дущей задаче. Для определения и,(х, О и из(х, О получаем краевую задачу — а", — при — со<х<0. прн О <( <+со, дзиз спит — =а* — при О<х <+со, дгз дхз и (О Г)='и (О Г), й! — '' й„.
' пРи 0<( +со, ди,(О, () диз(0, ~) дх дх ди,(х, 0) иг(х, 0)=)(х), ' =Е(х) прн — со<к<0, и,(х, 0)=1(х), ' =Е(х) прн 0<х<+оо, див(х, 0) (2) аг=й! —, а„йз — г-! р! и хзр! ! и, (О, ()=из(О, () и,(х, О) ) (х), из(х, 0) =)(х), дхз — при — со < х <О, гки! при 0« +со, — при 0<х<со, д'из дхз Е! д ' =Ез при 0 <( <+со, (2) ди,(0, Г) диз(0, () дх дх ди,(х, 0) д( Е (х) при — оо<х<0, (3) диз(х, О) = Е (х) д( 0 <х <-(-со, Е, Е, а'= — -, а'=- .
! М Р! Рз ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ Ьг н Ьз — показатели адиабаты для первого н второго газов, р'и — р"н и рп1, р,'а1 — давления и плотности первого и второго газов в невозмущенном состоянии. У к в за и и е. Второе иэ граничных условий получается с помощью соотношений (2') и (3') решения задачи 4 из равенства возмущений давления рп' (О, С)=й"' (О, С), да3,(х. С) „д"4,(х, С) 1 д(э д ' дхэ при — аз<х<0, 0<С<+со, (1) Фзд (х, С) дзгп(х, С) дгэ г дхэ д.аэ(х, С) дьае(х.
С) =ййз прв 0<к<+со, 0<С<+со, (1» кз (О, С)=гн(0, С), тгйдам(0, С)=шейхам (О, 0 пви 0 <С <+со, $, (х, 0) = С (х), фм (х, О) = г (х), г), (х. 0) = — ЬК (х), гкг (х, О) = — Ьгг (х) ) 4 (х, О)=С(х), Гаг(х, 0)=г" (х), т) (х, О)= — Ьз(' (х), т)м(х, 0)= — Ьзр'(х) ) (3) (3') Указание. Первое из условий сопряжения (2) следует нз предположе ния о непрерывности давления в жидкости при переходе через поперечное сечение х О, второе же выражает закон сохранения массы. Первое из условий (2) мажет быть заменено условием ЬД (О, С)=ЬД (О, С) (4» с ш гь(х, С) — Ьтс, .
(х, С), з),(х, С)= — Ьзй~ (х, С). Тогда краевая задача для определения й, (х, С) и 3 (х, С) стэгювится независимой от красной задачи для определения з), (х, С) и ть(х, С). Заметим, иаконеп, чта условия сопряжения (2) (или второе из условий (2) н условие (4)) лашь приближенно описывают явление в окрестности поперечного сечения х=О, так как оба они базируются на предположении, что урании поперечных сечений — Ьх и Ьх при малом Ьх атличаипся мало. е) Глубина, отсчитанная от свободной невозмущеиной поверхности жид- кости которое в свою очередь получается переходом к пределу нэ уравнение движения, выражакчиега второй закон Ньютона для элемента ( — Лх. Ьх) газа, в сигу равенства невозмушенных давлений р„'и = р',т'.
20. Ось Ох направлена вдоль канала, причем начало ксюрдинат О помещено в плоскости, где поперечное сечение канале меняется скачком. Пусть ширина и глубина е) левого полуограннченного канала равны гл и Ь„ а для правого †рав т, и Ьз. Тогда для определения продольных смешений частик жидкости и вертикальных отклонений свободной поверхности жидкасш отравновеснога состояния получаем краевую задачу и, нианннния гипнвволичпского типа дзиз де из — а',— т при О <х <+со, 0 <~ <+ос, д Г з в 0 хе м,(О, ()= „(О, г>, д( „' =д(г Д,(О, Г) Д и (О, Г) ди (О, Г) ди,(О, () - з 'д„' — г 'д„' э и,(х, 0)=1(х).
иы(х, 0)=г(х) при — со<х <О. из(х, О) Е (х), им (х, 0) Р (х) при 0 < х <+оэ. (2) (3) (3') У к аз аи не. Второе иэ условий сопряжения (2) иыраягает второй закон Ньютоне для жесткой прокладки массы М. См. так.ке указание к задаче 26 и решение задачи 32. 31. Ось х направлена вдоль прямолинейного положения равновесия стержня, пр ~чем начачо координат помещено в плоскости соединения торца полуограннченных стержней ь). Для определения поперечных отклонений точек стержня от положения равновесия получаем краевую задачу — +ае — =0 при — оз<х<О, дзиге д'и, дтз ' дхч при О<1<+со, (1) — +а*„— =0 при 0<х <+со. дзи„ , д'и, д(з " дхх и, (О, () из(0, Г); игл(0, Г) и (О, Г), б,и „(О, Г)=б,и,хх(0, 0 '*), при О < г <+со .'Ии~гг (О, Г) М~щг (О Г) = Ргуи~~~~(0, Г) — Ез/из„хх (О, ~), (2) (3) и,(х, 0) ((Х), игг(х, 0)=г(х) пРн — оэ<х<0, 1 и,(х, 0),(х), им(х, 0)=Д(х) при 0<к<ею.
) Е,,/ 6,1 аз 3 „з т рвй рз 32. Ось Ох направлена вдоль стержня, так что его верхний конец имеет вбсциссу х О. Для определения продольного отклонения и (х, П точек стержня получаем краевую задачу ии ази при 0 <х < д 0 <( <-)-оз, (1) и(0, О О, — игг(1, Π— ЕЯи„(1, Г)+() при О<( -)-оз, (2) И иоп 0) О, иг(х, 0) 0 при 0<х<1, (3) *) Напомним. что по условию задачи толщина жесткой прокладки между соединеннымн торцами пренебрежимо мала **) Это условие сопряжения выражает равенство изгибающих моментов, вытекакицее яз предположения о том, что поперечные сечения стержкв не вра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
