1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d (846319), страница 30
Текст из файла (страница 30)
в которой ось ци« линдрз встречает вто поперечное сечение, )( — осевой момент инерции единицы длины стержня (относительно той же оси); б) когда концы цилиндра свободны, то граничные условия иммет вид 6„(О. 1)-6 (1, 1)-О; (4) в) когда концы цилиндра закреплены упруго. то граничные условия иммет ВИД 6„(О,  — А6 (О, 1)-О. 6„Д, 1)+66(1.
1)=О. (5) У к а з а н и е. Установить, что момент М упругих сил, приложенньщ к поперечному сечению х цилиндра, может быть найден по формуле (б) Для етого рассмотреть (рис. !6) сдвиг параллельного оси цилиндра алемее тарного волокна АВ с основаниями да иа сечениях, вызывммый поворотом сеченая х+Ьх вокруг осн цилиндра иа угол Ь6 — Ьх отеосительно сече. д6 дх ОТВЕТЫ. УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЙ дэ ния х, н определить связь между углом сдвига <р и —, Напряжение сдвига г дх' на основании да такого волоина, лежащего в сечении х, может быть опреде. лена по закону Гука для деформации сдвига Дифференциальное уравнение (1) можно получить предельным переходом при Лх - б из уравнения вращательного движения ') для элемента 1х, х+Лх) цилиндра. Рис. 16.
Граничные условия получаются аналогично тому, кзк это было сделано и случае продольных колебаний стержня. 4. Плотность р. давление р, потенциал скорости <р, скорость о частиц газа и продольное отклонение и частиц газа удовлетворяют одному н тому же диф ференциальному уравнению дзгэ д"э — аз— дтз дхз с одной и той же константой ср где э — — показатель адиабаты аэ равный отношению теплоемкости при постоянном давлении к теплоемкосгя при постоянном обьеме.
а р, и рз — давление и плотность в вевозмущенном газе. «) Для вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси имеем: произведение момента инерции тела на угловое ускорение рвано сумме моментов сил, приложенных к телу, относительно этой оси. 167 Н. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИНЛ Если концы ~рубки закрыты, то граничные условия для каждой из функций и, о, чь р, р имеют соответственно вид и (О, !) = (1, !) О, о(0, !)=о(!.
!)=О, ф (О, !) ф„(1, П=О, Рк(0 !) Рх(! !) 0 Р (О, !)=Р„(1, !)=О. Если концы трубки открыты. то нх (О» !) нх (!» !) =О о„(О, !Ь о (!. !)=О, р(о. !)=РП, !)-о. Р(о, !Ь=Р(1, В=О, о (О, В=р(!. !)=О, где р(х. !) р(х, !) — р» — чаозмугцение дзвлення». а р(х, !) р(х, !) — р,— ееозмущение плотности» При наличии в конце х ! трубки газонепроннцасмого поршенька с пре. аебре»вимо малой массой, насаженного на пружинку с коэффициентом жесткости и*) и скользяшего внутри трубки без тренин, для и(х.
!) получзсм граничное условие нх(!. В+Ь (1, г)=О, тде 6 —, а и — показатель здивбаты. Аналогично при наличии такого Ырц ' нор~пенька в конце х 0 трубки получаем: и„(0. !) — !ш (О, !)=О. для о(х, !) при этих же условиях имеем: о„(0, !) — Аи(0, !)=О, и„(1, !)-Ь-йо(1, В=О.
Для р (х, !) и р(х, !) получаем: [Ьм (О, !) — й Рх (О, (Ь Рм (1, !)+й Рз (! В ра(0. (Ь вЂ” й»рз(0, !) ргг(!. ()+й»рх(1, !)=О. еде й» вЂ”. Втн условия выполняются также и для ур» р(х, !), р(х, !), ф(х. !). У к а з в н и е. В лагранжевых координатах»») уравнение неразрывности (1) и уравнение движения (2) («основные уравнения гидродинамики») имеют вид р» р (х !) [ 1 + и (х, !)), (1) рзим(х. !) — р, (х, !). (2Ь ») Пружинка будет действовать на поршенея с добавочной силой упруГости, равной — ти(1, !) при отклонении поршенька, равном н.
Мы говорим о добввочной силе упругости, твк квк в положении рввиовесия нв поршенек уже действует сила упругости, уравновешиввющвя иевовмущениов дввлеиие ре. *») См. [7[, стр. 27. ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ ср А=в 1 с„ они составляют полную нелннейную систему уравнений для определения функций р(х, !); и (х, Г); р(х, !).
Уравнение (!) выражает закон сохранения массы злечента газа, заключенного между двумя поперечными сечениями, составленными нз частиц газа, а уравнение (2) выражает нторой закон Ньютона для этого элемента газа. Отбрасывая квадраты, произведения н высшие степени величин н их пропзводных, нетрудно нэ уравнений (!), (2), (3) получить соответственно линейные уравнения а — скорость распространения малых возмущений в газе — «скорость эвукаа '). Этот переход от нелинейной системы (!), (2), (3) к линейной системе (!'), (2'], (3') называется «лннеаризацней».
Урааненья рм=озр„» н рм о"-р х полу. чааотся иэ (!'), (2'), (3') дифференцированием н исключенйем остальных функ цнй. Потенциал ~р(х, () определяется соотношением фх(х, !) о(х, !) с точно. стью до произвольной слагаемой функции времени; так как иа (х, () о(х, !), то нз уравнения (2') получнм: раЧ~х«+Ух т. е. д дх — (Раф +Р)-О. поэтому в силу того, что потенпнал скоростей ай(х, () определяется с точно- стью до произвольной слагаемой функции времени.
можно написать: ра,р,+Я=О. (4) Соотношение (4) дает возможность найти возмущение давления )З, если известен потенциал скоростей. Иа уравнения (!'), дифференцируя по (, получим: р,+рар„„-О. )(налогично получаются уравнения лля потенциала смешений н для смещений.
Вместе с уравнением аднзбаты Ра р=-! (р), где ((р) = — „р", Ро ц(х, (), д (х, !)=р(х,  — рм р(х, ф=р(х !) — ра р(х, !)+раях(х, !)=О, р,и, (х, !)= — р,(х, (), р(х, !)=а"р(х, !), аа Й вЂ” а, ра Иа (4) и (5) получается уравнение %гг о«%хх днфференцироаание ноторого по х прнводнт н уравнению ом о'о„„.
") См. введение к $ 2 (условиям) настоящей главы. (!') (2') (3') т!. РРАБИЕИИЕ ГИПЕРБОЛическОГО типА др д (р,а) дх д( др д (рза) — л" — | д( дх О С х < й 0 К Г (+со, (6) (4) р(0, !) — рз, а(Х, !)=О; 0(((+оа, р(х, 0) — рз, а(х, 0) аз; О~я~(, где р,— платность воды в резервуаре„ (6) | причем й есть модуль упругости валы, входящей в закон Гула для воды, р=д — 0)=р — р ° р р -(ч). р (6) Рз )гз — внутренний радиус трубы в незозмущенном состоянии, Š— модуль упругости матернала трубы, 6 — толщина трубы, сг — определяемый энспернментально коэффициент сопротнвления трения единицы длины трубы ь). Пря составления уравнения движения можно, как показал Н. Е.
Жуковский, для танках труб прк не слишком больших возмущениях давления пренебрегать рцаиальяым движением нх частиц ма), в та зрел|я как при выводе уравнения неразрывности радиально симметрячное растяжение трубы необходнмо учитывать. Силу сопротивления трения, действующую на элемент воды, заключенный между поперечными сечениями х и х+Ьх, можно определять по формуле, приведенной в сноске.
При выводе уравнений краевой задачи величины р, р, а будем считать малыми, а величину — значительно меньшей единицы. Ре Установим связь между внутренним радиусом г( трубы н давлением р в трубе. Для этого рассмотрим расстояние половины элемента, отсекземого от трубы близкими поперечными сечениями х и х+бх, нзобракеннаго на з) Пусть л — внутреннее поперечное сечение трубы, тогда сила сопротивления, приложенная к элементу жидкости, заключенному между сечениями х н а+ ба, равна м+лх 2а ) Яра дх, 0 более точной постановке задачи, где подробнее анализируется сила сопротивления, см., например, (44). **) В этом случае провзведевне массы пальцевого влемевта трубы на Радиальное ускоревнв пренебрежимо мало. Рассматривая двнженне граничного элемента газа н используя уравнения 41 ), (2'), (3'), (4) н (6), нетрудно получить приведенные в ответе граничные условия б. Ось Ох направлена вдоль трубы, прячем начало ноордннат 0 лежат в плоскости входного сеченая, рз — джиеяие воды в резервуаре.
Для определения асредненвык (по внутреннему поперечному сеченню трубы) значений скорости и давления р (х, Г) получаем краевую задачу ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ илн Еб- р — )7. Ч (7) Следовательно, величина )г=)7 — )га также будет малой, равно как и величнна н~ л — бо ~ 2п((((е 8~ — р.
2)7а- Еб Выведем уравнение неразрывностн, выражающее закон сохранении массы Рис. 17, вещества дхя объема, заключенного между плоскостямн х н х+Лх (рис. 17, 6): «+ ໠— е)т сх (бро) — (Зро)„+а,. д т. е. а+ 4М а — (Зр) ох Дзо) — (бро)„+ откуда 6 (ор) 6 6(про) д В силу малости велнчин о, р, и ато уравнение преобразуется в уравнение (2). Аналогично (рис.
17,а) ссставляем уравнение дваженкя, выражающее вто рой закон Ньютона для элемента воды, заключенного в рассматриваемый момент рнс. 17. Силы упругости, развнвакицнеся в сечениях ) н )) втого полукольца, равны сумме проекций снл давления жидкости на средний раднус полукольца, т. е. й — Ач 266хЕ " 2йбх (р — рс) ((ч !О! и уРАннения ГипеРБОлическОГО тицА времени между сечениями х и х+йус к+а» «-Гак (5ро) цк=-(5р) ~ — (5р! ~ — 2со ~ (5рс) дх, а =соса!, а ~ О, д(,! !к (к-Ь Ак к+ ах с-как ~ — — (5ро)~ к(х=(5р) 1 — (5р)! — 2сс ~ (5рс! дх, (к+ к к откуда д (5ро) д (5р) оу дк — 2а5ри.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
