1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d (846319), страница 31
Текст из файла (страница 31)
2ро)го В силу малости 5, р, р и в силу малости — по сравнению с единицей вго Ед уравнение (с помощью 'юотиошсский (6) и (8)) преобразуется в уравнение (!). Начальные условия (4) и граничные условия (3). приведенные в ответе, очевидцы. Вместо системы дифференциальных уравнений первого порядка можно получить одно гиперболическое уравнение второго порядка как для функции о(х. !), так и для р(к, !). Именно, дифференпируя (!) по х и (2) по ! и исилючая о. получим: — до — — йа — при О ~ х ~ (, О ~ ! «+ др, др др д(о дхо д( р(0, !)=ро при 0(Г(+со. Второе граничное условие для р(х, !) получаем из граничного условия о((, !) 0 при 0 <! (+Со с помощью уравнения (1)! р„((, !)=О при 0(! а+оа р (х.
0) =во п ри 0 ~ х ( !. Аналогично может быть получена краевая задача для определения о(х, !). б. Решение. Пусть ы означает приращение объема жидкости в колпаке, 5 — площадь внутреннего поперечного сечения трубы на конце х !. Мы имеещ ды — 5о — () (!). д! ро()о р (()о — ы) (2) где о †скорос течения жидкости, а Р— давлевие воздуха в колпаке, откуда Ро()о р !(+ ) следовательно.
ды ()о др Ро д! ' (4) 6 Б. АЬ Будам и др. Второе начальное условие для р(х. О получаем из о(х, 0) оо при О~х( ! и уравневия (2): рг(х, 0)=0 при О~к!. ответы. Указания и гешения где р Р— давление жидкости а колпаке. В силу уравнения (2) на стр. !59 дС Р, дх (5) — + —, о = — () (С) ~ де РеЗ Рр дх й4Рре Йе3Рре *= С у к а а а н и е.
Возмущение давления в воде при рассматриваемых волновых движениях можно считать пренебрежимо малым, т. е. давление р на глубине у, отсчитываемой от свободной (колеблющейся) поверхности воды, можно считать близким к гидростатическому *). Слагающу|о о скорости частиц воды по направлению оси х можно считать малой, т. е. пренебрегать квадратами, произведениями и высшими степеннми этой функции и ее производных.
7Кидность можно считать несжимаемой. Решение. На глубине у. отсчитываемой от колеблющейся свободной поверхности воды, давление будет равно Р = Ре+КР (й+ т) У). (7) Отсюда находим: =ир ар дх дх (8) Составим уравнение движения для элемента Лхйуйа слоя (х, х+Ьх) воды в проекциях на ось х (рис. 18)с Лхйубгр — = — ЬхйуС)х — ~ дв др дС д» х+ еах ' где О < б < 1, откуда после сокрашения на Ьх ° С)у ° Ьа при С(х-ь 0 получаеьс (9) (10) Подставляя (б) и (1), получаем исномое граничное условие — =с' —, дай дэй дР дхт ' дэц при 0<к<С. 0<С<+со, — =с"— дР дхт где се =я)и д — ускорение силы тяжести, 8(О.
)=й(С, )=О.) „,„, т)х(О„С)=т) (С, С) =0 ) а (х, 0) =с (х), Ес (х, О) =юр (х)„ при 0 < х < С. т)(х, О)= — Ь~'(х), т),(х, 0)= — Снр'(х) ) до др р дг дх' или, используя (8), до д1) до д„ р — = — Ур —,т.е.— = у дС дх ' ' ' дС дх' е) Но цельна пренебрегать его проезжа)ной по х. (3) (4) (8) (0) Рдз )Е УРАВНЕНИЙ ГИПЕРВОЛИь!ЕСКОГО ТИПА Далее, используя нвшкинаемость жидкости, получаем аураенение неразрывно, стаэ (уравнение сохранения массы) щш— д (рльэ-) дх (1 !) где т †шири канала. откуда д; е =- — й— ох !! 2) Линеариэация урааисния (!О) даее ди ди Я дг дх' (!3) до даьь Но — — ь поэтому д( дИ' дзь ди ь дИ дх С другой стороны, из (12) получаеьс — я — ял —.
дЩ дх дха ' Сопоставляя (14) и (!о1, получим дифференциально уравнение для функции й(х, 1): — йд — при О (х (1, О Ег ер+со. дз$ дР дхз (16! Теперь нетрудно получить остальные соотношения отнета, приведенного выше. укюкем лишь, что граничные условия (4) чо.кио получить из граничных уело, вий (3) дифференцированием по Г и применением равенства (14), и+а) д(ег) д БГ(х ня Рнс, 18. В заключение неойкодимо отметить, что для определения Е (х, 1) в О(х, () достаточно решить краевую задачу (1), (3), (5) и затем по найденному 3 (х, г) найти О (х, 1) по формуле (!2). 3.
()сь Ох направлена по продольной оси симметрии стержня в его рав. иовесном состоянии, а аа харектерасгическую фуннцню принято попе речное отклонение и(х, () точек стержня от ик положения равновесии. Для О' ОТВЕТЫ. УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ определения и (х, 1) получаем краевую задачу — +аз — =О ! прн 0<а<1, 0<1<+со даи д'и д(з дх' и(О, 1)=и».,(0, 1) и(1, 1)=и„-„-(1, 1) 0 при 0<1<+со. и(х, 1)=((х), и,(х, 0) и" (х! нри 0<»<1, Осу а" рс (2) (3) (4) где Š— модуль упругости стержня, р — плотность массы стержня, 3 — площадь поперечного сечения стержня, » — геометрический момент инерции поперечного сечения относительно его средней линии„перпендикулярной к плоскости колебаний. Указание. Вывод уравнения (!) изложен в (7), стр.
!42 — !44. Рассматривая движение концевых злемен»ю тов стержни, можно получить граничные условия Выведем граничные условии в случае шарнирного закрепления Конца Рассмотрим граничный элемент (1 — йх, 1) шарнирно закрепленного конца и составим для него уравнение вращательного движения относительно оси шарнира (рис. !9, см. также рис. 2) ,~рдх —, Р ~ Ах+ М ~ . (5) Ж~ дИ 1 — л» вЂ” а» Ри (з ») Эго уравнение получено в предположении, что угловые ускорения поперечных сечений стержня отсутствуют, т. е.
стержень дсшншн быть достаточно тонким. Вывод более точного уравнения см. (26), Не, сходя к пределу при Ьх — ь 0 в предпслгакении, что нет бесконечных угла. вых ускорений — и бесконечных перерезывающкх сил г, получим 44 О» О, т. е. Рф дИ и»» (1 0=0. (6) Аналогично получаем второе граничное условие для левого конца и»„(0, 1) =О, В леной части равенства (б) можно было бы сразу писать нуль йоох предположению о ьшлссти колебаний ! — ~ 0). Но граничные условия (5) и (6) l дз<р ~ д(з дар годятся и в том случае, когда угловые ускорения — элементов стержня дгз не считаюзся пренебрежимо малыми. Второе граничное условие для рассматри.
ваемого конца очевидно: и(1, 1) О. й. Ось Ох расположена тзк же, как в предыдущей задаче. для определе. ния и (х, 0 получаем краевую задачу — +аз — 0 при О <х <1, 0<1<+оп дзи д»гг дИ дх» (!) и (О, 1)=и„(0, 1) и»л(1, ~)=и»»»(1, 1)=0 прн 0 <1<.(-со, (2) и(х, О) 1(х), иг(х. 0)=г" (х) при О<х<1, (д) Еа аз р8 ' П. КГАВНЕНИЯ ГИПЕРВОЛИЧЕСКОГО ТИПА 2. Вы н ужа е нные колебания н колебания в среде с сопротивлением; уравневня с постоянными коэффнцвентами прв 0<х«1, 0<1«+со, при 0<1<+со, при О«х«1, (1) (2) (3) исс ази +1(х, 1) и(0, 1) и(1, 1] 0 и (х, 0] 1 (х), ис(х, 0) г (х) ! 1(х, 1) — г (х, 1), где р — линейная плотность массы струны.
р У к аз а н не. Дифференциальное уравнение (!) получается нэ уравнения движения для элемента (х, х+Ьх] струны при йх-ьО. !2. Для отклонений и (х. 1) точек струны от положения равновесия получаем краевую задачу ни=а»и „.+ — 10), 0<х<1, 0<1<+со, 1] (1) Т где а» Р рость света, 7' — натяжение струны, р — линейная плотность массы, з — око. (2) (3) а(0, 1) и(1, 1) О, 0<1<+со, и (х, 0) ис (х. 0] = О, О < х < 1.
Ик исс = оси»» п Рн 0 < х < 1, 0 < 1 <+со, (1) и (О, 1) = ф (1), и (1, 1) — пря О < 1 < .(-с , б» (1] ЕЯ (2) и(х, 0) О, ис(х, 0) 0 прн 0 <х<1. (3) У к а в а н и е. Граничное условие для конца х 1 получается переходом и пределу пря С)х- 0 из уравнения движения, выражюощего второй закон Ньютона д»я элемента (1 — с)х. 1) стержня. ]ч. Для определения предельных отклонений и(х, 1) поперечных сечений .сщр»амя получаем краевую задачу ии иэи»»+й црн 0<х<1, 0<1<+со, и(0, 1) и»(1, 1) 0 прв 0<1«+ю, и (х„0) О, ис(х, 0) аз при 0<в «1 (1) (2) (3) У к а з а н н е.
Граннчнымн условиями для жестно закрепленного конца х =0 являются непоцвнжность конца и горизонтальность насательной. На св»падком конце, что доказывается обычным образом, изгнбающнй момент и пеиерезывающая сала долм мы быть равны нулю. !О. Ось Ох расположена тэк же. как в ответе задачи 9, Для определения отклонения и(х, С] получаем краску»о эаавчу ба и с»»и Д вЂ” +ас + — и О при 0<»<1, О<с «-( со.„(1) с]С» дхс р5 и(0, 1)=и„„(О. 1)=и(1, 1]=и»»(1, 1) 0 прн 0<1«+сх», ф) и(х, 0) 1(х), ис(х, 0) г(х) пРи 0«»с«с.
(3) у к звание. Уравнение (1) получается переходом к пределу прв с)х-ьО нз уравиевяя, выражающего в проенцнях на ось Ои второй закон Ньюпжа лля элемента (х, к-~-Ьх) стержня. По поводу граничных условий см, рещение задачи 8 166 Ответы. укАЭАния и Решения где й — ускорение силы тяжести, з оз — сноросп„достигнутая лифтом к моменту остановки. 15.
Для определения поперечных отклонений и (х, 1) точек струны от их положения равновесия получаем краевую задачу иы = а'ихх — 2ч'аг ири 0<1<+оп„О<к<1, (1) п(О, 1)-а(1, 1)=О при 0 <г <+со. (2) и (х. 0) =1(х), иг(х, 0) Е (х) при О < х с 1, (3) д где 2чз=-, р — линейная плотность массы струны, д — гкоэффиггиент трения», р т„е. козффицнеит пропорциональности в соотношении Ф вЂ” йиг, (1) (2) (3) з) По поводу вывода граничных условий см, указание к задаче 1 ° опрсделяющыч силу трения, действующую на единицу длины струны. У к аз ание.
Уравнение (1) получается переходом к пределу при Ьх-~-О из уравнения движения для элемента (х, х+Ьх) струны. 16. Для определения поперечного отклонения точек стержня от их поло. жения равновесия получаем краевую задачу аж+азиза +2чзаг=) (х, 1) при О сх <1, 0<1<-(-со, 11) и(0, 1)=и„(0, 1)=и(1. 1) ил(1, 1) О при 0<1<-(-со, (2) и (х, 0)=1 (х), и! (х, 0) Г (х) прн Оскс!, (3) здесь ч имеет тиной же смысл, как и в предыдущей задаче. 17.
Для определения поперечного отклонения и(х, 1) точек стержня от ик положения равновесия получаем краевую задачу ам+ааихлхх=О Прн 0<Х<1, 0<1<+СО, (1) а(0, 1)=и„(0, 1) О, и„„(1, 1) О, Ели „„(1, 1) — Ф(1) (2) при 0<1<+со, где Ф(1) — приложенная к концу х=1 поперечная сила (ее проекция на ось Ои.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
