1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d (846319), страница 28
Текст из файла (страница 28)
! Прн д)0 уравнение зллнптично и заменой 5' х, О' 23'д приводится к каноническому вкау 1 и1,1.+и,,—,и, О, П') О. Характеристиками уравнения являютсв параболы (рнс. 15) 1 д — — (х — с)з. 4 Ветен, идущие от оси х влево, задаются уравнением 5=сола(, а идущие вправо — сопз!.
Ркс. !5. 1 4. Уравнение ил„+ча «+ — па 0 имеет всюду такой ясе тип, кан уран- а» 2 пенне их„+чи„а О, рассмотренное в предыдущей задаче. Теми аге заменами, что и уравнеййе и„а+дик, О. оно приводится к каноническому евку дзи дзи — и 0 в области гиперболичности (д ( 0) н н каноническому виду — + (~дй д5з сяи — 0 в области вллнптнчностн (д ) 0].
Характеристики уравнений и + даат -)- ди„„+- иа О и и„„+да, „совпадают. 2 3 а меч а н не, Сопоставление уравнений и „-)-да„„=.0, и +ди „+ 1 + — и О показывает, что наличие членов с млалщнмн пропзводными суще- 2 огненно сказывается на уранненнн, так как а одном случае козффипиенты уравнения после приведения его к каноническому виду имеют особенности, а в другом — нет. 5.
Уравнение дм„„+хд „0 во второй н 'етаертой четверти гнперболнчно н приводится к каноническому виду да и дзи ! да 1 ди д5з дг) + 55 д5 йп д! путем замены 5 ( — х) лч О=(д) д во второй четверти. 5 хг', !! ( — д) тз в четаептой четверти. В первой н третьей четверти уравнение вллиптячно я !яе Отбеты. дклвяния и Рпшпния приводится и каноническому виду д»н д»и 1 ди 1 пи — + + — — + — — 0 дя'» дт)'» ЭВ' дф' 3»!' д»1' путем замены $ х)'. »! д И в первой четверти, $ ( — х)»)», »1 ( — д)»)» в третьей четверти. Осн х и д состоят из точек пнраболичиостй. Как неве спю»), переход от одной каноничесиой формы гиперболического уравнения к другой д»и д»и — (- - ди ди 1 = — =-)~~В Е.
=. =)! аР д)» ~' ' ' 4' д)) осушествлянгся с помошью полстановки ~+0 „- ~-Д 2 ' » 2 б. Уравнение хи,„+ди „0 в первой и третьей четвертях зллиптнчно н приводится к каноническому виду сии д'и 1 ди 1 ди , -р — — — — — — 0 д»» дт)» ф дь»1 д»! полстзнсвкой $ х»», »! д й в первой четверти, я ( — х)»», г)=( — д) 4 в третьей четверти. Уравнение гнперболичио ио второй и четвертой четвертях и приводится к каноническому виду д»и д'и ! ди 1 ди — — — + — — 0 д$» дт!» $ д~ »1 д»! »гутен ззмены в ( — х)И», ») (д) И во второй четверти, и (х)м», г) ( — д!И» в четвертой четверти, Оси х н д состоят из точек парзболичности. 7.
Уравнение и„„+хдидд 0 в первой и третьей четвертях зллиптично и прнволится н каноническому виду 1 1 пвй+ичч+ из ии Ж ч заменой с — хг, т! 2д в первой четверти, с — ( — х!»», »1=2! — д) г» 2 ь »В » 1 3 в третьей четверти. Уравнение гиперболично во второй и четнертой четвертях и приводится к каноническому виду 1 1 ийз — и + — ив+ — и„б зй т! 2 ау » 2 ° путем замены я — ( — х) )», т! 2д й во второй четверти, ( — х l*.
т) = 3 »/ = 2( — д) ' в четвертой четверти, Оси х и д состоят из точек пзраболичности. 8. Уревнеине или з!Яп д+2м „+и„„б в первой и второй четвертях пара болично и заменой й- +д. 0-х — д ') См. (7), сгр. 16. т, УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОЛНЫХ ВТОРОГО ПОРядкА 147 приводится к каноническому виду дти ,=о, В третьей и четвертой четвертях оно гиперболично и ааменой $ (1+)' 2) х+у, т! (1 — )'2) а+у приводится к каноничесхому виду д'и ~ О. дв дЧ В. Уравнение и„,+2и„„+(1 — з!Еп у) и„„О в первой и второй четвертях гиперболично и заменой $ х — 2х, Ч у приводится к каноническому виду дзи — = О, а в третьей и четвертой четвертях оио эллиптично и заменой ЯОЧ— д'и О ~дЧ путем замены э= — (!+у 2)х+у, Ч= — (1 — Ргй) х+у во второй четверти, $ (!+3~ 2) х+у, г)=(1 — )' 2) х+у а четвертой четверти.
Н. Уравнение узи„х — х'ихи 0 гиперболично всюду, проне осей координат, состоящих из точек параболичностн. Оно приводится к каноничесноиу виду дзи т! ди д~ дЧ 2 (т)т — йз) д1 6 ди О 2(п. Ра) дт! заменой В=уз — хз, Ч=уа+хз. 12. Уравнение ханах — узи„„=0 гиперболично всюду, кроме осей координат, состоящих из точек параболичности. Оно приводится к каноническому виду дзи ! ди — — — — О дй дЧ 22 д„ заменой а=хи Ч х !3.
Уравнение хэихх+Узиза 0 эллиптично всюду, кроме осей координат, состоящих из точек йараболичаости. Оно приводится к каноническому виду д'и дэи ди ди — — -=о д$з дг!' д~ дз! заменой В 1пх, Ч 1пу. !4. УРавнение Узлах+эти„з=О эллиптично всюдУ, кРоме осей кооРДинат, состоящих вэ точек параболичйости.
Оно приводится заменой Ф У' Ч= дзи дти приводитси к каноническому виду — + — О, Ф дЧ' 10. Уравнение иххз!йпу+2ихз+иааз!Епх 0 в первой и третьей четвертях параболично и эамеьюй 1 х+у, Ч=х — у приводится к каноническому дзи сии виду — О в первой четверти и к — 0 в трелей четверти. Уравнение фз дЧз гиперболична во второй и четвертой четвертях и приводится к каноничесиому инду ОТЕЕТЫ. УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ к каноническому внд! ови аеи ! да ! аи — + + — — + — — =О. дат дяе 2$ де 2т1 дт! 13. Уравнение ути„„+2хуи„„+хти„„=О параболично всюду; заменой хт+ ут хт — ут ; Я= в оно приводится к каноническому виду 2 ' 2 — — 0 2(1т — т! 03 2У вЂ” т(! 00 + !6.
Уравнение хти„х+2хуи„у+у'иеу 0 параболнчна всюду. Заменой — у ано приводится н каноническому виду и х' дзи — = О. дпт !У. УРавнение4Утихх — еа иуе — 4утих=ОгипеРболнчиа. Заменой 3=ее-(-Уе, т1= — е" +ут оно приводится к каноническому вивт 1 идя= (ит-1-и 1 18. уравнение х'и„„+2хуи„е — Зуаиту — 2хих+4уиц+!бхеи=О гиперболично всюду, кроме осей х н у, состоящих нз точек парабаличнасти. Заменой хт $=ху, т! — оно приводится к каноническому виду у дти ! ди ! ди + — — — — — + и=0. д3дт! 40 т3 $ дт! !В. Уравнение (1+.тт! и„„+(!+ут! псе+хи„+уи„О зллиптнчно всюду. Заменой $=!п(х+'гг1+хт), 0 !п(у+~ Г+ут) ано приводится и каноииче скому виду дти дти — + — =О.
дЕт дт(т 20. Уравнение и„х аютх — 2уи„е них+у'и„„=О параболично всюду, Заме х ной $ у!й — 0 у оно приводится к каноническому виду 2 э дти 24 ди — О. дт!т 3а+т(т д$ 2. Уравнение с постоя иными коэффициентами дза 4ус — Дт — ст — 12и 21. + „о О, ттс дт! у+ф'3 — 2)х, О=у — (ргЗ+2)х, и(Г„П)=сед+рис(К, О), с — (Ф 3+2) Ь с+(УЗ вЂ” 2) Ь а 12 ° Р 1, УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА 149' 1 х $ 9 2 * !) 2 а 4)) в(арчи(! 4))! ' — 2Ь Ь а и ° и д'0 с Ь до 2З.
— + — — О, ап' ° б;— 2 р — х, а! х, и 14, т)) еоееряо(С, 4)), Ьа — 4а Ь а 4а(ь-Ь), ' 2а $2. Уравнение с постоянными коэффициентами для функции и независимых переменнык иеаих!иа+ ~„Ь!ии!+си )(хм .., ха) !,* .! !=! Уравнению внии!ха+ ~ а!их!+си 1(х!, хн ..., х ) ставится в соответствие матрица ковффицнентоа пря стари!нх членах (2) и квадратичная форма Если в уравнении (1) перейти к новым невависимь!м переменным по формулам '* ~ми!ху, Ь 1, 2„..., л, (4) !=! то матрица 1дш! коэффициентов прн старших членах в преобрааованном уравнении осана!1 + ~~ ~Ь!и(„+си=О 1, а=! ! будет связана с матрицей ! ао, - соотношением Рам -!ь' ° "аш! )о!Ь1' Ь)атрица !асд! преобраауется тек, как матрица квадратичной формы (3), есди в атой квадратичной форме перейти к новым переменным по формулам а) Х ""и 'а» а=! ответы. уназания н рещение 1 1 1 1 — (+ — х — у — а 2 2 2 2 1 1 ! 1 х' (+ — к+ — у+ — з, 2 2 2 2 1 1 1 1 у' — — (+ — х-(- и — а, 2 У'3 2$'3 2 Р'3 2$'3 — 1 1 1 2' — (+= х — у+ х.
2т'Б 2у"б 2у'б 2Р 5 27. и, +и„,„+и, 1 1 х . х+=уд Р"2 1'2 1 ! у — 2+ — (~ )'2 )' 2 1 1 ! 1 е'= — к — у — г —, б 2 2 2 2 1 1 1 1 у =х— у а+ (а 21х3 2)~3 2Р 3 23~3 23. а)и,,+ Яи,, О, «(к(, ддад ! хд (х,+ ... +х„), 'и' и (л+ !) л б) и,,— ~,'и,, О, адк1, т "дад Хдлл (хд+ „, +хл) 'иддх1+ - +и!лала гае аы аад. Матрица нерехаиа от новых переменных а, ..., а„н старым переменным ад, ..., а„в нвахратичной форме (3) получается траиспонироввнием из матрицы перехода от старых независимых переменных к„..., хл к новым независимым переменным йд, ..., Сл в уравнении (1). Таким образом, чтобы найти преобразование (4), приводящее уравнение (1) к каноническому виду, нужно найти преобразовайие (7), приводящее квахратичнудо форму (3) к кано иическому виду, соаержашед1у лишь квадраты переменных ~, ..., ал с нозффи- циентамн + 1, — ! или О; матрица преобразования (4) получается нз матрицы преобразовании (7) транспонированием.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
