1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d (846319), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Найти полную реакцию среды на тиар при ла ~;1, где й †. Рассмотреть частный случай Х 2я ' р(е) =о,. 54. Исследовать звуковое поле поршня, вставленного заподлицо я поверхностью сферы н способного колебаться без трения. Распределение скоростей по сфере при наличии такого поршня можно представить таким образом: ое при О~8~8„ 0 О прн ее(еа и. Рассмотреть случай малого ее. Дать выражение для давления при низких частотах. 55.
Поверхность шара колеблется так, что радиальная состав ляюшая скорости на поверхности равна Оо с~ 4 (1 + 3 соэ 28) е'~. 'Такой источник звука называется излучателем второго порядка, или квадрупольным источником. Вычислить интенсивность и мощность его излучения. Начертить полярную диаграмму интенаивности излучения. Рассмотреть случай длинных волн. 56. Твердая круглая пластинка колеблется по простому гармоническому закону в равном ей по площади круглом отверэтии, вырезанном в твердой плоской пластинке, простирающейся в бесконечность.
Найти давление н скорость частиц воздуха и мощность излучения. УСАОВиЯ злдАч 5Ч. Найти реакцию звукового поля на пластинку, рассматриваемую в задаче 56. Рассмотреть частный случай, когда радиув поршня мал по сравнению с длиной волны (йа ч' 1). 58. Решить задачу 56, если на поверхности поршня (пластинки) скорость переменив: о=о(г) (поршень «нежесткийз). Ограничиться представлением решения в волновой зоне.
3. Дифра кци я на цилиндре и сфере 59. Плоская звуковая волна распространяется в направлении,. перпендикулярном к оси бесконечного жесткого цилиндра радиуса а. Найти рассеянную волку. Рассмотреть случаи больших и малых расстояний от цилиндра. 60. Исходя из решения задачи 59, вычислить интенсивность, рассеянной волны, а также исследовать зависимость характе( нстики направленности рассеянной волны от длины волны. 61.
Вычислить полную мощность в звуковой волне, рассеянной на единице длины цилиндра, для предельных случаев коротких и длинных волн (см. задачу 59). Найти силу, действующую на цилиндр. 62. Построить решение задачи о рассеянии плоской звуковой волны на сферическом препятствии. 63. Пользуясь решением задачи 62, вычислить интенсивность рассеянной волны и полную рассеянную мощность для случая. где й — = —, Х вЂ” длина волны, а — радиус сферы. 2п в Вычислить силу, действующую на шар.
64. Решить задачу о рассеянии плоской волны на шаре радиуса р а, если шар совершенно свободен и движется под действием воздуха. 65. Решить задачу о движении шара радиуса а под действием. падающей плоской волны, если шар закреплен упруго, т. е. возвращающая сила равна где Š— координата центра шара, М вЂ” масса шара. Трением воздуха пренебречь. ЧП. ЕРАВИЕИИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА й 4. Установившиеся электромагнитные колебания 1. Уравнения Максвелла.
Потенциалы. Векторные формулы Грина — Остроградского 66. Написать уравнения Максвелла в ортогональной криволинейной системе координат (ка, к„к,), в которой квадрат элемента длины дается формулой Ьас(к! + й(а(ха+)аас(кси где й„й„йа — метрические коэффициенты. 67. Показать, что решение уравнений Максвелла 1 да! 4п га( гт = —, — + — ~, б(т В =О, В = (аН((а сопз(), с дг 1 дв го( Е = — — —., Йт В = 4пр, В ВЕ (е сопз() можно представить в виде 1 дА В=го1 А, Е= — ягабф — — —, с сг' где А — векторный потенциал, Гр — скалярный потенциал, связан- ные между собой условием Лоренца .и удовлетворяющие уравнениям 1 !нар 4п са Йр — — — — = — — р, па= —, аа дР В ' е1а' 1 даА 4п ааА — — — — ф.
а' дса с Здесь ЬА — оператор Лапласа, действующий на криволинейные компоненты вектора А. Найти выражение для ОА в криволинейных артогональных координатах. Показать, что при р =О, у'= О уравнения Максвелла допускают решение вида 1 дА' ()= — Тот А', гг — йгап <р' — — д с д1' где А' и ар' †т называемые антипотенциалы. Рассмотреть случай, когда зависимость от времени имеет внд е-!"!. 68. Ввести скалярный и векторный потенциалы для уравнений Максвелла в однородной проводящей среде. 69.
Ввести поляризованный потенциал П !Электрический вектор Герца) для уравнений Максвелла в вакууме, пользуясь 138 $'словня злдхч соотношениями А= — — ~р= — Йч П, ~ ап с дс' где А — векторный потенциал, ф — скалярный потенциал. Рассмотреть случай, когда зависимость от времени имеет вид е-'сх. Аналогично ввести магнитный вектор Герца Л'. Опре- делить векторы Герца в проводящей среде. 70. Если метрические ксвффициенты удовлетворяют условиям А,=1,,— ~ — ~=О, а электромагнитное поле в вакууме зависит а ~а,~ ах, 18,~ от времени как е-'"', то его можно представить с помощью двух скалярных функций У и У' (функций Боргниса). а) для поля электрического типа (Н,=О) имеем: Е,=АЧ/+ —, Е = — —, Е = — ~А — ) дМ/ 1 дЧУ 1 дЧI с сс~ дх(' с агах,дх~' с 6 дх дхс~ с)' Н,=О, Н,= — -- а, На= — —; й дУ й ду д,' А,дх,' б) для поля магнитного типа (Е,=О) имеем: й дО', й дгУ' Е(=О, ах аи, ~ дц, 1 а*о Н( =Ахи + —; Ня= — ~ На дх', ' Ас дх,дх,' Ас дх,дхс' где 0 и 0' — функции, удовлетворяющие уравнению Доказать это утверждение.
Рассмотреть затем сферическую и цилиндрическую системы ксюрдинат. Показать, что в цилиндрической системе координат функция 0 совпадает с г-составляющей вектора Герца Л (О, О, Н). 71. Ввести функции 0 и 0' для электромагнитного поля в проводящей среде, параметры которой суть е, р„о (проводи- мость). 72. Шар радиуса а с проводимостью о, и диэлектрической постоянной а, помещен в неограниченную среду с проводимостью и и диэлектрической постоянной а. Вводя функции У и 0', сфор. мулировать для них граничные условия на поверхности шара. 73. Доказать справедливость векторного аналога второй фор. мулы Грина ~(Игго1 го10-Нго(го1 ЮЖт = )с Цб го(И')-(И'го1ЩлсЬ, где Н 0(х, у, г), Ж Иг(х, у, з) — произвольные, достаточн(л гладкие вектор-Функции, Т вЂ” некоторый объем, ограниченный поверхностью Х, гл-единичный вектор нормали к поверхности Е, чп.
и хвниния эллиптического типе 74. Доказать справедливость векторного аналога основной фор- тяулы Грина 0(Лте - "Н(х> у> «)=-„- (>р(го(го(0 — йещ+дгад~р дну)лт„ г — — ~ [[пго(Ю[>р+[[п0[дгад >р[+(пН)ягаб~р) е(оя, 1 г где б — произвольный вектор, ем> >р = —,, г = (х — 9'+(у — ц)'+(а — ~)' — расстояние между точками >>(е(х, у, х) и Р($, ть Ц. 75.
Пользуясь основной векторной формулой Грина, получен- ной в предыдущей задаче, непосредственно, ие вводя потенциалов, написать выражение для Е и Н-решений уравнений Максвелла го( Н= — йуЕ+ — [> Ае — > й Ае 3> е)г> ° ю е ° го( Е = йерНе. 61ч Н= О, д!ч Е=— 4 ч> е во внутренних точках некоторой области Т через их значения на поверхности Х, ограничивающей объем Т, 2. Раопроетранение электромагнитных волн и колебания в резонаторах 76, Выяснить возможность распространения электромагнитных волн вдоль бесконечно длинного круглого цилиндра, проводимость которого бесконечно велика.
Проводимость окружающей среды а конечна. 77. Решить предыдущую задачу, предполагая, что проводимость цилиндра конечна и равна о,. 78. Показать, что внутри бесконечноь полой цилиндрической трубы (волновода) произвольного сечения с идеально проводяшими втенкамн может существовать конечное число бегущих электромагнитных волн.
Найти выражение для фазовой скорости и потока энергии бегущей волны в волповоде. 79. Доказать существование бегущих электромагнитных волн внутри полости, ограниченной двумя коаксиальными цилиндрическими поверхностями р = а и р = Ь. Стенки коаксиала считать идеально проводящими.
Вычислить поток энергии и написать выражение для составлякецих поля для овновной волны, соответствующей наибольшей длине волны. эсловия злдлч 80. Найти собственные частоты н соответствующие электро. магнитные поля сферического резонатора с идеально проводящи.- ми стенками. Вычислить среднюю за период энергию в стоя ~ей волне. 81. Найти собственные электромагнитные колебания цилиндрического резонатора, являющегося «отрезками цилиндрического радиоволновода произвольного сечения с идеально проводящими стенками.
Вычислить среднюю за период энергию в стоячей волне. Расслютреть частные случаи резонаторов а) прямоугольного сечения, б) круглого сечения. 82. Определить собственные частоты электромагнитных колебаний внутри тороидального резонатора прямоугольного сечения, считая стенки резонатора идеально проводящими.
83. Дифракция яа цилиндре. Плоская электромагнитная волна падает на бесконечный круглый цилиндрический провод, ось ко«о рого перпендикулярна к направлению распространения волны. Найти дифрагированное поле, считая цилиндр проводяшим. В,илиндр окружен диэлектриком с диэлектрической постоянной е, и проводимостью, равной нулю. Рассмотреть случай идеально проводящего цилиндра. Предполагая, что радиус цилиндра а мал 2 у по сравнению с длиной падающей волны (йа«.",1, е= -",), вычи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
