1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d (846319), страница 24
Текст из файла (страница 24)
дз дз ..линатак аз — + —. дкх ) а -д1тагад — оператор Лапласа али просхранства; в аекартовьпс ко д' дз дз . ординатах аз= — + — + —. дхх дрз дзз ) Бнгарноннческнй оператор ааац, означающий двукратное применение . оператора Лапласа ах. 12З: чь иялвнения гипвяволнчвского типе б) Лреобразоеание Фуры — Бесселя (Ханнеля) 109. Применяя преобразование Фурье — Бесселя, решить крае-- вую задачу деи 1'д«и 1 ди ) дл )дс«г дс1' — =ае! — + — — 1, О«-г~+со, 0~1(-(-со, (1; и(г, 0)=, и,(г, 0)=0, 0(с<+со. (2). А ~/ 1+ ".
11О. Найти радиально симметричные поперечные колебания неограниченной пластинки, решив краевую задачу деи Г.З~ 1 д 1« — + Ь' —, + — — и — О, 0 е= г (+ со, 0 «1(+ оо, (1) и(г, О) =1(г), и,,'г, 0) =-О, 0(г <+со. (2) Рассмотреть, в частности, случай, когда )(г) =Ае ", О~г(+со. (2')- 111. Найти радиально симметричные поперечные отклонению точек неограниченной пластинки 0(г -'+со, если точка г=О ° втой пластинки с момента 1=0 движется по заданному закону Рассмотреть, в частности, случай, когда А(1« 1).
0~1~1« 1) е - е * О, е 1««-1~ +со 112. Найти чисто вынужденные радиально симметричные поперечные отклонения точек неограниченной пластинки О==г «."+со под действием распределенных поперечных сил с плотностью р 'г, 1) = 1брЬЬ1 (г) ф' (1), — ос «" 1 «-+ схэ, где 2Ь вЂ” толщина пластинки, и — плотность массы пластинки, Ь. имеет тот же смысл, что и в предыдущих задачах ), 1Р,1; =— ар (и 1Ь 1) зависит только от 1, а 1(г) зависит только от г. Рассмотреть, в частности, случаи, когда а) движение пластинки вынуждается сосредоточенной понереч— ной силой 16рЬЬ'(!' '1;, — со ~ 1 «+ со, приложенной в точке г*=О; «) Пеаробнее см.
еедечу 16. 424 головня зьдхч б) движение пластинки вынуждается поперечной силой !брйбф'(1), — со(1(+со, равномерно распределенной по кругу О~г(а„ в) описанная в пункте б) сила действует в течение времени 14, .а именно 0 при — оо(1 =.О, ф«(1)= 4),=сопз1 при О(1"- 14 0 при г,(1(+со« дать асимптотические формулы для представления решения при малых и больших значениях г; «' 4Ара -—„ г) р(г, 1) — е ")" ((), — оо(1(+со; д) найти поперечные скорости точек пластинки при « 4Ара -и р(г, ()= —,е " 6(1), — оо(1(+со, .где 6(Г) — импульсная дельта-функция (т.
е. в момент 1=0 пла.стинка получает поперечный удар с непрерывно распределенным «*~ 4Ара — и1 .импульсом — 'е с« 2. Построение и применение функций влияния сосредоточенных источников а) Функции влияния мгновенных сосредогпоченных импульсов 113. Построить функцию влияния мгновенного сосредоточенного .импульса единичной мощности для уравнения ии=аьЛ и . в неограниченном пространстве х, у, г, считая сначала, что импульс имел место в начале координат в момент 4=0; найти функцию влияния„решая краевую задачу ин=аьЬ,и, — оо(х, у, «(+со, 0(1(+сх~, (!) и~„О, и~~, 6(х)6(У)6(г), — оо(х, Р, е(+со, (2) а затем перейти к случаю, когда импульо имел место в точке ф, гн ~) «в момент 1 т.
114. Решить предыдущую задачу для уравнения ин '- а' Лзи -+ с'и. 116. Решить двумерный аналог задачи 113. щ. гглвнения гнив«воличвского типе 116. Решить двумерный аналог задачи 114. 1!7. Разделением переменных построить функцию влияния мгновенного сосредоточенного импульса для первой, второй и третьей краевых задач для уравнения ив=а«Л и а) для прямоугольной мембраны О(х(!«, 0(у(!м б) для круглой мембраны 0(г(г«, О(«р(2п.
1!8. Методом отражений построить функцию влияния мгновенного сосредоточенного импульса для уравнения ив =а'Ь и + с«и для угла 0(«р«- — „, где н — целое число, большее нуля, если на граничных лучах «р=О и «р= — выполняется граничное условие н второго рода. 119. Пусть плоская область б ограничена кусочно-гладким контуром Г. Предполагая возможным применение формулы Грина— Остроградского, связывающей криволинейный интеграл с двойным, найти решения а) первой, б) второй и в) третьей краевой задач для уравнения и«« =а«Ь«и «с«и+7(х, у, !) при неоднородных начальных и граничных условиях, если известна функция влияния мгновенного сосредоточенного импульса для каждого нз перечисленных случаев.
!20. С помощью функции влияния мгновенного сосредоточенного импульса, найденной в решении задачи 113, вывести формулу Кирхгоффа *) для уравнения ив=а'Ь и+!(х, у, г, !). б) Функции влияния непрерывно действующих сосредоточенных источников 121. Построить функцию влияния непрерывно действующего ,сосредоточенного источника переменной мощности )(!)(7(!)=О при г(0), находящегося в фиксированной точке пространства, для уравнения ив=а'Л,и, т. е. решить краевую задачу и„=а'6 и+6(х — х„)6(у — у««6(г-г«)7(!), — со(х, у, г(+со, 0(!«-+со, и)« „=и,,'«« — — О.
(1) (2) «) См. 171, стр, 4!7 — 42!. 122. Построить функцию влияния непрерывно действукхцего .сосредоточенного источника переменной мощности ~Ч) Д(!)=0 при !(0), находящегося в фиксированной точке пространства, для 126 всловия злдхч уравнения ил=а" Л и, т. е. решить краевую задачу ил —— а* Аэи + 6 (х — хэ) 6 (у — уэ) 1 (1), — оо(х. ус'+со, 0~1(+со„ ()у и 'э-э = О, ис ',-э = 0- (2) 123. Построить функцию влияния непрерывно действующего сосредоточенного источника переменной мощности 1(1) Д(1)=0 при 1(0), движугцегося по произвольному закону, для уравнения ии=аэЛ,и, т е. решить краевую задачу и„=аэ Лэи+ 6(х- Л (1)) 6(у — у (1)) 6(г — 2(1)) ~(1), — со Сх, у, г(+со, 0(1<+со, (() иь,=и,~,,=О, (2) где Х 11), )'(1), Я(1) — координаты источника; Х 10) = г'(О) = = Я (0) = О.
В частности, найти функцию влияния сосредоточенного источника, движущегося прямолинейно с постоянной скоростью и; рассмотреть случаи, когда а) о(а, б) о)а. !24. Учитывая, что если источник обладает постоянной мощностью д и движется прямолинейно с постоянной скоросгью о, то в системе координат, движущейся вместе с источником, процесс будет стационарным, найти функции влияния такого источника а при о .-,а, б) при о)а, отбрасывая члены с производными по времени в уравнении колебаний, преобразованном в этой движущейся системе координат. 125. Найти электромагнитное поле„ создаваемое электроном, движущимся в диэлектрике прямолинейно с постоянной скоростью, превышающей скорость света в этом диэлектрике (электрон Черенкова). 126.
Решить краевую задачу 20. (27. Найти колебания упругой изотропиой однородной среды, заполняющей все неограниченное пространство, вызванные непрерывно действующей силой г(1)(г" (1) 0 при 1(0), приложенной , к определенной точке среды и параллельной фиксированному направлению. ГЛАВА УИ УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА Ли+си = — у $1. Задачи для уравнения Ьи — х'и= — у В настоящем параграфе мы рассмотрим некоторые задачи для уравнения эллиптического типа Ьи — х'и=О (х*)0), к которому приводят, например, задачи о диффузии неустойчивого газа, распадающегося в процессе диффузии. Уравнение (1) имеет фундаментальные решения: е-"' а) и (М)= — в трехмерном пространстве, г б) ие(М) =Ке(хг) на плоскости (г — расстояние точки М от начала координат). Функция К,(х), как известно, имеет при х= О логарифмическую особенность и экс- поненциально убывает на бесконечности.
Метод разделения переменных при решении уравнения (1) часто приводит к уравнению Бесселя для мнимого аргумента у" +-„' у — ~1+„"— ,') у = О, общее решение которого имеет вид у=А! (х)+ВК,(к), где 1,(х) и К,(х) — цилиндрические функции мнимого аргумента первого и второго рода. Функция т'„(х) ограничена при х= 0 и экспоненциально возрастает при х- со. 1. Определить стационарное распределение концентрации неустойчивого газа в неограниченном пространстве, создаваемой точечным источником газа мощностью ()е.
2. Точечный источник неустойчивого газа располоткен на высоте ь над газонепроницаемой плоскостью х=О. Найти стационарное распределение концентрации. !гз УСЛОВИЯ ЗАДАЧ 3. Построить функцию точечного источника для уравнения Ьи — х'и =0 на плоскости н дать ей физическую интерпретацию. 4 Решить задачу 3, предполагая, что плоскость у=О газонепроницаема. 6. Построить функцию источника для уравнения диффузии неустойчивого газа, если источник находится внутри слоя (0~ г~1), ограниченного газонепроннцаемыми плоскостями г = 0 и г =1.
6. Решить аналог задачи 5 для двумерного случая. 7. Точечный источник неустойчивого газа помещен внутри бесконечной цилиндрической трубы с газонепроницаемыми стенками. Определить станционарное распределение концентрации газа, считая, что сечение трубы может иметь произвольную форму. 8. Построить функцию источника для уравнения Ли в х'и =О внутри сферы при граничном условии второго рода. в. Точечный источник газа действует в неограниченной среде, движущейся с постоянной скоростью ц,. Найти стационарное распределение концентрации газа.
10. Найти стационарное распределение концентрации неустойчивого газа внутри бесконечного цилиндра кругового сечения, если на поверхности цилиндра поддерживается постоянная концентрация и! =и . 1!. Решить задачу 10 для области, внешней к цилиндру. 12. Решить задачу 10 внутри сферы радиуса а, если а) и~ =им б) и! =и соз8. 13. Решить задачу 12 для области, внешней к сфере радиуса а. 14. На глубине й под поверхностью земли находится среда, в которой с постоянной плотностью распределено радиоактивное вещество.
Найти: а) распределение эманации в земле, б) величину потока эманации через поверхность земли, считая, что концентрация ее на поверхности земли равна нулю. !5. На глубине й под поверхностью земли сосредоточено в некотором объеме радиоактивное вещество, выделяющее в единицу времени некоторое количество эманации (неустойчивого газа), равное Я,. Найти: а) распределение концентрации эманации в земле, б) величину потока эманации через поверхность земли, считая, что источник эманации точечный, а концентрация ее на поверхности земли равна нулю. 16.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
