1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d (846319), страница 21
Текст из файла (страница 21)
ответ к задаче 1. пг. кравнвния гипипволичиского типа 1от Рассмотреть случаи, когда эта плоскость: а) неподвижна, б) движется с дозвуковой скоростью в направлении своей нормали по заданному закону. 3. Пространство заполнено двумя различными идеальными газами, границей раздела которых является поверхность ~""). Предполагая, что невозмущенные давления в обоих газах одинаковы, поставить краевую задачу о распространении малых возмущений в газе. 4. Поставить краевую задачу о поперечных колебаниях мембраны с неподвижно закрепленным краем, если в невозмущенном состоянии мембрана является плоской, а окружающая среда не оказывает сопротивления колебаниям мембраны.
Примечание. Задача о колебаниях мембраны является двумерным аналогом задачи о колебаниях струны**). 5. Поставить краевую задачу о колебаниях мембраны, натянутой на отверстие замкнутого сосуда, учитывая изменение давления в сосуде, вызываемое колебаниями мембраны, и считая скорость распространения малых возмущений в газе значительно большей скорости распространения волн в мембране (задача о колебаниях мембраны барабана). 6.
Вывести уравнение распространения малых возмущений в газе, движущемся с постоянной скоростью относительно выбранной системы координат. 7. Поставить краевую задачу о сверхзвуковом стационарном обтекании неподвижного клина симметричным плоскопараллельным потоком идеального газа. 8. Поставить краевую задачу о сверхзвуковом стационарном обтекании круглого конуса идеальным газом в направлении оси конуса, считая невозмущенный поток однородным, а возмущения, вызванные конусом, малыми. 9. Пусть уровень идеальной жидкости в бассейне с горизонтальным дном и вертикальными стенками в невозмущенном состоянии равен й=сопз(. При малых колебаниях свободной поверхности могут возникнуть движения, при которых частицы жидкости, лежащие на любой вертикали, движутся в горизонтальных направлениях одинаково.
Пусть ь(х, у, г) означает возвышение возмущенной поверхности над уровнем покоящейся жидкости. Считая давление р в возмущенной жидкости на глубине равным гидростатическому, поставить краевую задачу о распространении малых возмущений в слое, принимая за функцию, характеризующую процесс: 1) Ь (х, д, Г), 2) потенциал (горизонтальных) скоростей частиц жидкости, если давление ре на поверхности жидкости '1 Геометрическая поверхность.
Предполагается, что за рассматриааемсе вреь1и гранину раздела газов К можно считать бесконеЧно тонкой поверхностью "*) См. гл. 11„ $ 1. а также 17), стр. 30 — 34, услОВия злдлч остается постоянным (см. задачу 7 гл. 11„5 !). Рассматриваемав жидкость находится в бассейне с вертикальной стенкой. !О. Поставить краевую задачу 9 для случая, когда ре является заданной функцией х, у, 1, принимая за функцию, характеризую- щую процесс, потенциал горизонтальных скоростей. ! !. Вывести уравнения движения центра масс бесконечно малого элемента упругой среды, беря элемент в виде прямоуголь- ного параллелепипеда с ребрами, параллельными осям ксюрдинат.
!2. Пользуясь законом Гука для однородной изотропной упругой среды, представить уравнения движения, найденные в предыдущей задаче, в форме, содержащей только соатавляющие вектора объемных сил и вектора смещения 0 1и(х. д, г, 1)+,)о(х, у, г, ()+йв г, у, г, !), и доказать, что авсестороннее растяжение» В б(те) и вихрь В = = го! 0 удовлетноряют, каждый в отдельности, волновому уравне- нию Даламбера — = а Л~, причем для В константа а =— Ут л+ги дч р е а для В константа а'= ! р П р и и е ч а н и я. ! .
Всякий вектор 0 однозначно определяетсн по его расходимости б)у0 и вихрю го!0 (см. 1141, стр. 209). 2. Форма элемента упругой среды, имеющего в недеформиро- ванном состоянии вид„описанный в задаче 11, в деформирован- ном состоянии определяется величинами ди ди ди е = —, е= — ее= —, дх ' " дд ' дт ' де ди де ды " е" д + д ' Уел Уее де + д дш ди Уел Ь» дт + дг 1 образующими тензор деформации ~ел уяе уле у„„е„у„, уь» уея В случае, когда среда является однородной и изотропной, ком- поненты тензора напряжений:см. Ответ к предыдущей задаче) (Н) = т„„о„ тел тля ое связаны следующими соотношениями с компонентами тензора «) «Продольыыеь упругие полны респрострепяются быстры епоперееяыхь„ Уь УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА деформаций: о =Х9+2и д, ОР=)"В+2)с д, ае=)сй+2р д где В=с((ЕК а ) и р,— константы Ламэ, связанные следующим образом с модулем Юнга Е н коэффициен1ом Пуассона и: м (зх+ 2н) й А+и ' з(х+и) Коэффициент Пуассояа т характеризует отношение к продольному растяжению соответствующего поперечного сжатия.
Модуль сдвига 6=(с. 13. Представляя вектор объемных сил в виде г = йгас)Ф+го1 В (о возможности представления произвольного вектора в таком виде см. 114], стр. 209), доказать, что если р —, = ()+2р) йр -)- дел +Ф, р — = рОА+В, то вектор П=агаб~р+го(А удовлетво- ряет уравнениям движения, полученным в задаче 12. 14. Задача о распространении возмущений в упругой среде называется плоской, если составлякхцая со вектора смещения 0 и составляющая 2 вектора плотности объемных сил г" =гХ+ +)у+й2 равны нулю, а остальные величины не зависят от е.
Например, задача о распространении деформаций в тонкой пластинке, вызванных силами, действующими в ее плоскости, является плоской:"). Доказать, что в случае плоской задачи вектор смещения 0 выражается через два скалярных потенциала, каждый из которых удовлетворяет соответствующему волновому уравнению.
!5. Выразить через компоненты вектора Е7 и тензора (Гт) (см. задачу 12) граничные условия для распространения упругих возмущений в однородном изотропном полупространстве, если ограничивающая плоскость а) свободна, б) фиксирована жестко. Выразить для плоской задачи этн граничные условия через скалярные потенциалы (см. задачу 14). 16.
Поставить краевую задачу о радиальных колебаниях круг- лой цилиндрической трубы под действием радиальной силы г"(г, Г), где г (Г, 1) — сила, приходящаяся на единицу массы, отстоящуь. на расстоянии Г от оси трубы. ') Более подробпо см. 1261, с|р. Э2. 410 колония задач Поставить краевую задачу об определении электромагнитного поля, порожденного диполем, при 1 О. й 2. Простейшие задачи; различные приемы решения 21. а) Решить краевую задачу иг=ахЛи, — со(х, у, гч +оп, О(1(+со, и!, а —— гр'г), игу «=ф(г), гх=хв+ув+г', О~г .
+со. б) Найти (1) (2) Игп и(х, у, г, 1). ж а. *-а 22. Решить краевую задачу и„= аагхи + 1,'г, 1), га = ха+ ух + га, О ~ г (+ со, О ч" 1 (+ со, (1) и1г в=О, иг)г в=О. (2) 23. Решить краевую задачу им=аагхи, — оо(х, у, г(+со, 0~(ч.-.+со при начальных условиях (/ =сопз1 внутри сферы радиуса г, а, и|то 0 вне этой сферы, и,), о 0 всюду. 17.
Поставить краевую задачу о радиальных колебаниях упру. той сферической оболочки гх--г(г под действием переменного давления р(Г) во внутренней полости. 18. Вывести дифференпиальное уравнение для отклонения от невозмущенного состояния точек тонкой нзотропной однородной пластинки, совершающей малые поперечные колебания, Рассмотреть, в частности, случай, когда пластинка лежит (и прикреплена) на упругом основании. П р и м е ч а н и е. Задача о поперечных колебаниях пластинки является двумерным аналогом задачи о поперечных колебаниях стержня (см.
й 1 гл 1Ц. 19. Переходя к полярным координатам, поставить краевую задачу о поперечных колебаниях круглой пластинки, если край пластинки эащемлен жестко. 20. В начале координат неограниченного пространства х, у, г, представляющего собой вакуум, находится электрический диполь, параллельный оси г. Момент диполн меняется по закону Л(в=сопи(, — со< 1~0, Л4 = Л1, = Л(е сох го(, 0((~+со. У!.
УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 0 сопз1 внугри сферы радиуса Г„ б) ис!о-о = 0 вне этой сферы, и1,,=0 всюду. 24. В начальный момент времени 1=0 газ внутри сферичес- кого объема РадиУса Го сжат так, что возмУщение плотности р=р„а вне объема рммО. Начальная скорость частиц газа равна нулю во всем пространстве. Найти движение газа прн Г "» О.
25. Решить задачу 23 б) для полупространства г~ О, если центр сфеРы находитсЯ в точке (О, О, го), го~го; РассмотРеть частные случаи, когда а)и(,о —— О, б) ио~, о — — О. 26. Решить задачу 23 б) для двугранного угла у)О, Е~О, если центР сфеРы иаходитсЯ в точке (О, У„г,), Уо» Г„го)го; рассмотреть сл)чаи, когда а) и(о «=0, и,!о «=0, б) ио!о-о = О и 1о-о =0- 27. Неограниченное пространство заполнено покоящимся иде- альным газом. В момент времени 1=ОБ некоторой фиксированной точке этого пространства начинает непрерывно действовать сфе- рнчески симметричный источник газа мощностью д (Г).
Найти потенциал скоростей частиц газа при р) О, предполагая возмуще- ния, вызываемые источником, малыми. 23. Решить предыдущую задачу, если источник находится а! внутри двугранного угла —. где п — целое число, большее нуля; б) внутри плоского слоя, О(г~(, причем ограничивающие плоскости являются неподвижными. 29. Из решения краевой задачи ии=аЫ и+1(х, у, г, 1), — со(х, у, г(+ОС, 0(((-(-ооо и 1, = «Р(х, У, г), и, ~, о = «Р(х, У, г), — со < х, У, г (+ со методом «спуска» ) получить решение краевой задачи по«о=а»бои«+1»(х, у, 1), — ОО<х, у(+ОО, 0(1(+со, и о~, о = ~Р« (х, У), и!*), о фо (х, У)„ — со ( х, У ( + со.
30,. Из решения краевой задачи ил=а«Ь»ио си+1(х, у, г, 1), — со<х, у, г(-(-со, 0(1(+со, и !« о = ор (х, у, г), и«'о о = ф (х, у, г), — со ( х, у, г ( -(-Оо ') См. (7), стр. 4!3 — 4!4; (2), том !1, отр. Ы6 — Ввб, 112 уСЛОВия зэллч методом аспускаэ*) получить решение краевой задачи итт=иэйэи'-э сэи*+/э(х, у, (), — оо с„-х, р(+со, О<4<+со, иэ)т э=эта(х, у), и7~т а — — фэ(х, у), — со(х, у(+со.
31. На фиксированной прямой в неограниченном пространстве, заполненном покоящимся идеальным газом, непрерывно распределены источники газа, начинающие действовать в момент 1=0, причем мощность источников единицы длины этой прямой равна т)(1). Найти потенциал скоростей частиц газа при 8-> О, предполагая, что возмущения, вызываемые источниками в окружакчцем газе, малы (вне бесконечно малой окрестности прямой, несущей на себе источники). 32. Решить предыдущую задачу для квадранта х)0, у)0, ограниченного.'абсолютно твердыми плоскостями х=0, у=О, если прямая, на которой расположены исючники, параллельна оси х и определяется координатами х„у„хэ) О, уа)0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
