1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d (846319), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Получить отсюда решение задач 149 а) и 149 б). 150. Найти потенциал простого слоя, распределенного с постоянной плотностью ч т на сфере. 161. Найти электростатическое поле объемных зарядов, равномерно распределенных внутри шара, расположенного иад идеально проводящей плоскостью а=О. !б2. Найти логарифмический потенциал круга с постоянной плотностью заряда.
153. Найти логарифмический потенциал простого слоя отрезка с постоянной плотностью заряда. эсловия зхдл 154. Найти логарифмический потенциал двойного слоя отрезка с постоянной плотностью моментов. 155. Определить потенциал простого слоя, равномерно распределенного по круглому диску. !56. Найти вектор-потенциал кругового тока. 157. С помощью потенциала двойьюго слоя решить задачу Дирихле а) внутри круга, б) вне круга. 158.
Найти решение задачи Неймана для круга, пользуясь потенциалом простого слоя. 159. Решить первую и вторую краевые задачи для уравнения Лапласа в полупространстве, пользуясь поверхностными потенциалами. !60. Найти решение задачи Лирихле в полуплоскости, пользуясь потенциалом простого слоя. 161.
Рассмотрим поверхности Х второго порядка, определяемые уравнением где а) 5 )с. Если — с'( з ( со, то поверхности суть эллипсоиды, пря — Ь~ < з ( — с' — однополостиые гиперболоиды, при — аз < (э( — И вЂ” двухполостные гиперболоиды. Прп э=со мы имеем сферу с бесконечным радиусом, а при з= — с' эллипсоид сплющивается в эллиптический диск, лежащий в плоскости кр. Показать, что поверхности расстлатриваемого семейства могут быть зквипотенциальными, а их потенциал определяется по формуле где А и  — постоянные, определяемые из условий на бесконечности и на поверхности ~.
162. Пользуясь решением предыдущей задачи, найти выражение для потенциала заряженного проводящего эллипсоида хя у2 з2 †, + ., — + †, = 1, на котором распределен заряд е. Ц1иэлектрическая проницаемость среды е,) Определить емкость эллипсоида, а также поверхностную плотность заряда на эллипсоиде. Рассмотреть эллипсоид вращения. 163. Пользуясь решением задачи 162, вычислить поверхностную плотность заряда для эллиптического диска. Определить потезциал, емкость и плотность зарядов для круглого диска.
ГУ. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА 164. Показать, что гравитационный потенциал однородного эллипсоида Х' у5 55 С5 — + — + — =1 дается интегралами у (х, у, г)=р» ~ ))'! )' ' с(з Внутри эллипсоида, ! ! — /(х, д г; 5) С 'у'(х, у, г)=рс ! „,'( ' ' ГЬ Вне эллипсоида, Г ! †) (х, д, г; 5) где ХХ У5 55 )(х,у, г; 5',= — + — + —, С +5 ЭХ+5 С5+5 )! ! з, = )~' (5 + аг' (5 + Ь5) (5 + с5), р †объемн плотность потенциала, ) — эллипсоидальная коорди- ната — положительный корень з = А уравнения )".
х, у, г; 5) = О. 166. Вычислить гравитационный потенциал а) вытянутого эллипсоида вращения, б) сплюснутого эллипсоида вращения (см. задачу 162,. Рассмотреть предельный переход к однородному шару. 166. Найти логарифмический потенциал эллиптической области с постоянной плотностью с помо!цью прямого вычисления инте- гралов. 167. Проводя!ций эллипс, определяемый уравнением ' —,'+ф=1 (О Ь)О), заряжен до потенциала у'с.
Определить потенциал вне эллипса, а также плотность зарядов, распределенных на эллипсе. 168. Вычислить силу взаимодействия двух коаксиальных проволочных петель С и СС с радиусами а и Ь, по которым протекают токи !' и !". Контуры расположены в параллельных плоскостях г=О и г=с(, центры их находятся в точках х=у=г=О и Х=У=О, г=с(. !60. Вычислить коэффициент взаимной индукции двух коаксиальиых проволочных колец 1 и 2, пользуясь формулой б О 5)5, Л55 ))(55 = '5)) АХ !(ЭГ =)с ~> !)) ', = )И55 ! где А,— вектор-потенциал поля, создаваемого током единичной силы, текущим по контуру 2; р — магнитная проницаемость среды. УСЛОВИЯ ЗАДАЧ ! 70.
Показать, что выражение для потенкиала. Созданного заряженным кольцом радггуса а, имеет вид ю -'- ~ К (Ха) Р (Хр)СОВХВЮ при р(а, й Й вЂ” ~ 7А(Ха)КА(Х(г) соз)лгР прл р~а, где с — заряд кольна. г71. Показать, что потенциал, созданный в окружаккцсм пространстве диском радиуса а„несущим заряд е, равен *У' (Р, Х) = ~ ~ е "" 3 (Х.Р)'~ гй. о глдвд и УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА Уравнения параболического типа получаются при исследовании таких явлений, как теплопроводность. диффузия, распространение электромагнитного поля в проводящих средах, движение вязкой жидкости, движение грунтовых вод и др. В настоящей главе рассматривается постановка и решеняе краевых задач для уравнений параболического типа в случае, когда изучаемые физические процессы характеризуются функциями двух, трех или четырех независимых переменных; она является продолмсением главы третьей, в которой рассматриваются уравнения параболического типа для функций двух независимых переменных.
$1. Физические задачи, приводящие к уравнениям параболического типа; постановка краевых задач 1. Полупространство г)0 заполнено жидкостью с коэффициентом теплопроводности Х, плотностью массы р и удельной теплоемкостью с. Поставить краевую задачу о нагревании жидкости, если жидкость движется со скоростью па= сопз1 в направлении оси х, между нею и плоскостью г =О происходит теплсюбмен по закону Ньютона, температура граничной плоскости у= О равна и„.
Рассмотреть„ в частности, случай стационарного распределения температуры при условии, что переносом тепла в направлении оси х эа счет теплопроводности можно пренебречь по сравнению с переносом тепла движущейся массой жидкости. 2. Сформулировать диффузионную задачу, аналогичную задаче 1, предполагая плоскость г = О непроницаемой для частиц диффундирующего вещества: поставить соответствующие краевые задачи в нестационарном и стационарном случаях.
3. Вывести уравнение диффузии для вещества, частицы которого а) распадаются (например, неустойчивый газ, радон), причем скорость распада в каждой точке пространства пропорциональна концентрации; колония задач б) размножаются (например, диффузия нейтронов при наличии деления ядер), причем скорость размножения в каждой точке пространства пропорциональна концентрации.
4. Поставить краевую задачу о распространении злектромагнитного поля в неограниченном пространстве, заполненном проводящей средой с проводимостью о= сопят, магнитной проницаемосгью )г= сопя~ и диэлектрической постоянной е= сопз1. 5. Поставить краевую задачу об остывании неограниченной плоской пластины, если на ее поверхности происходит конвективный теплсюбмен с окружающей средой, температура которой раина нулю.
Рассмотреть, в частности, случай, когда изменение температуры по толшине пластины пренебрежимо мало. 6. Круглая цилиндрическая труба заполнена жидкостью с очень большой теплопроводностью *); вне трубы находится воздух с температурой 0 =сопз1. Поставить краевую задачу об определении температуры трубы, предполагая, что она не зависит от расстояния, о~считываемого вдоль трубы. 7. Бесконечный круглый цилиндр радиуса и, с моментом инерции К на единицу длины находится в вязкой жидкости; при Г~ О он приводится во вращение действием момента М на единицу длины. Пользуясь выражением в цилиндрических координатах уравнений движения вязкой жидкости н составляющих тензора напряжений еа), поставить краевую задачу о движении вязкой жидкости и цилиндра. 8.
Слой грунта лежит иа водонепроницаемом горизонтальном основании и содержит в себе грунтовые воды. Вектор 0 потока грунтовых вод связан с вектором У скорости движения частиц этих вод соотношением где коэффициент т называется порисгостыо грунта. Сила сопротивления, приложенная к частице воды, отнесенная к удельному весу воды, согласно зкспериментальному закону равна 1 ~= — — и, й где й есть так называемый коэффициент фильтрации *с*). Назовем избыточным давлением отнесенную к удельному весу воды разность между истинным и гидростатическим давлением в грунтовых водах. ') Речь идет о суммарной теплопроводности, включая перенос тепла конвективными токами жидкости, '*1 См. ответы и указания.
ес") По поноду терминологии см. 1аа1. У, УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА Поставить краевую задачу о движении свободной поверхности грунтовых вод при следующих предположениях: !) горизонтальная составляющая градиента избыточного давления пренебрежимо мала, 2) инерционные силы, действующие на частицы грунтовых еод, пренебрежимо малы. 5 2.
Метод разделения переменных*) 1. Краевые задачи, не требующие применения специальных функпий В этом пункте рассматриваются такие краевые задачи для областей с плоскими и сферическими границами, решения которых выражаются в виде рядов по простейшим (элементарным) собственным функциям оператора Лапласа для этих областей. а) Однородна>е среди 9. Найти температуру параллелепипеда О~х(1м 0(у(1„ О~г-=1см если его начальная температура является произвольной функцией х, у, г, а температура поверхности поддерживается равной нулю.
1О. Решить предыдущую задачу для куба с ребром 1, если в начальный момент он был равномерно нагретым. Найти момент времени, начиная с которого в центре куба заведомо будет иметь место регулярный режим с относительной точностью е- 0"'). 11. Найти температуру параллелепипеда О~х(1„0 =у~1а, 0 ~ г ~ 1„на поверхности которого происходит конвективный теплообмен со средой нулевой температуры, если его начальная температура равна 1(х, у, г); рассмотреть, в частности, случай„ когда 1(х, у, г) =(l — = сопз1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
