1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d (846319), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Найти поле точечного заряда е в неограниченном пространстве в присутствии проводящей сферы, на которой распределен заряд величиной си Вычислить плотность поверхностных зарядов, индуцированных на сфере. 3, Функция источника в неоднородных средах 60. Найти поле точечного заряда в неограниченном пространс стве, заполненном неоднородным диэлектриком с диэлектрической постоянной а, при г)0, е, прн г СО.
В ычислить поверхностную плотность, а также величину заряда, индуцированного на границе раздела г= О. 61. Полупространство г ) О заполнено неоднородной проводя- щей средой, проводимость которой равна о, при г)й, о= о, при 0(г(Ь. В Точке 54 (О, О, Ь) помещен точечный источник тока. Определить электрическое поле на поверхности проводника (при г = О). Рассмотреть случай ~ = 0 (источник на поверхности). 62.
Заземленный проводящий лист, лежащий в плоскости р, г, имеет сферическую выпуклость радиуса а с центром в начале Координат; все полупространство д(0, лежащее ниже плоскости г, заполнено диэлектриком с диэлектрической постоянной ВВ; головня зопхч среда, заполняющая полупространство у ) 0 над плоскостью у = О, имеет диэлектрическую постоянную е,. Найти потенциал точечного заряда, помещенного над плоскостью у= 0 в точке Мо(х, уо, го), причем го = рг4+уо+ хо) а. 63. Полупространство «)О заполнено неоднородной проводящей средой, проводимость которой равна а, при у~О, а= а при у)0.
В точке М,(0, — И, ь) помещен точечный источник тока мощностью (о. Йайти потенциал элеитрического поля, а также плотность тока при у=0, ь=0. 64. В бесконечном пространстве в точках (О, до, фо) и (с, Оо, ~ро) находятся две заземленные проводящие сферы с радиусами а и д. В точке р=р на линии, соединяющей центры сфер, помещен заряд е.
Найти потенциал поля вне сфер. 5 4. Метод разделения переменных В настоящем параграфе даны краевые задачи для уравнения Лапласа, решаемые методом разделения переменных. 1. Краевые задачи для круга, кольца и сектора 65. Написать решение первой краевой задачи для уравнения Лапласа внутри круга. 66. Написать решение первой краевой задачи для уравнения Лапласа вне круга. 67, Написать решение второй краевой задачи для уравнения Ьа 0: а) внутри и б) вне круга. 68. а) Написать решение третьей внутренней краевой задачи для уравнения Лапласа в круге, если граничное условие записывается в виде ди — — Ьи= — ( при р=а, др б) Найти также решение третьей внешней краевой задачи для круга, 69, Бесконечный проводящий цилиндр (цилиндрический кон- дуктор) заряжен до потенциала Р, при 0«р~п, $~ = 'о'о при пакор(2п, где рх и г'о — постоянные.
ПС УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА Найти поле внутри и вке цилиндрической полости, а также плотность поверхностных зарядов и суммарный заряд. 79, Найти решение а) внутренней и б) внешней краевых задач для уравнения Лапласа, если на границе круга заданы условия 1> и )р ~ = А з) и ~р, 2) и 1Р,=А зшзч~+Е АЕ1пср при 0(4 (и, 3) и ~р,—— 1 — А йп' <р при и ( <р ( 2п. 71. Найти распределение температуры в бесконечно длинном круглом цилиндре, если на его поверхности на единицу длины задан тепловой поток к)=4соыр. 72. Решить задачу 69, предполагая, что цилиндр заполнен неоднородным диэлектриком с диэлектрической постоянной кт при р(п, е= е, при а(р(Ь, где Ь вЂ” радиус цилиндра.
76. Бесконечно длинный круглый цилиндр радиуса а движется с постоЯнной скоРостью Ор пеРпендикУлЯРно к своей оси в неог- раниченной несжимаемой жидкости, которая на бесконечности находится в покое. Найти потенциал скоростей жидкости. 74. Решить задачу об обтекании неподвижного бесконечного цилиндРВ, если на бесконечности скоРость жидкости Равна пр. 76. а) Твердый шар движется с постоянной скоростью ир в безграничной несжимаемой жидкости, покоящейся на бесконеч- ности.
Найти потенциал скооостей, б) Решить задачу об обтекании неподвижною твердгго шара потоком жидкости, имеющим нз бесконечности скорость О . 76. Диэлектрический шар с диэлектрической постоянной Р„ помещенный в безграничный однородный диэлектрик с диэлг::три- ческой постоянной е,(Е,Ф.В,), находится в однородном параллель- ном Внешнем поле с напряженностью Е,. Найти селичину голя- риззции шара и его дипольный момент. 77. Решить задачу 76 для бесконечного диэлектрического ци- линдра кругового сечения (р (а), считая, что внешнее поле Е направлено перпендикулярно к оси цилиндра. 78.
Проводящий шар находится во внешнем электростатиче- ском поле Е. Найти величину искажения внешнего поля. 79. Бескснечный проводящий цилиндр находится в однород- ном внешнем электрическом поле Е„, направленном вдоль оси к; образующая цилиндра параллельна оси г. Найти плотность поверхностного заряда на цилиндре. 80. Решить внутреннюю задачу Днрихле для кольца а «- р ( Ь.
78 услОВия злдлч 8!. Найти распределение температуры в твердом теле, ограниченном бесконечными цилиндрическими поверхностями с радиусами а и Ь (а( Ь), если на поверхности цилиндра р =а поддерживается постоянная температура им на поверхности р = Ь при 0( гр -н поддерживается температура им а при п ( ~р ( 2п— температура, разная нулю. " 82.
По бесконечному коаксиальному цилиндрическому кабелю а(р(Ь протекает постоянный ток силы ). Найти распределение температуры внутри провода, если поверхность р=а поддерживается при температуре, равной нулю, а на внешней границе задан тепловой поток, равный А созт ф, где ~р — полярный угол. ° 83. На границе тонкой пластинки в форме кругового сектора р(а, 0(~р«-.а задана температура а /(гр) при р=а, 0 при ср =0 и ~р=а.
Найти стационарное термическое поле в пластинке. Рассмотреть частный случай и, при 0(ср( —, )'(р) = и„при — ( ~р (а. ~ 84. Найти стационарное распределение температуры в тонкой пла,нинке„нмекицей форму кругового сектора, радиусы которого поддерживаются при температуре и„а дуга окружности — при температуре и,. ° 85. Найти электростатическое поле внутри бесконечного цилиндра, перпендикулярное сечение которого имеет форму полукруга; поверхность цилиндра, соответствующая диаметру полукруга„заряжена до потенциала Р„а остальная поверхность — до потенциала Р . л 86. Решить уравнение Лапласа внутри кольцевого сектора, ограниченного дугами окружностей р =а, р Ь и радиусами ~р =О, ~р =а, если заданы следующие условия на границах: и = 0 при гр = О, ср = сс, ) (гр) при р = а, Р(ср) при р=Ь. Рассмотреть предельные случаи а-~-О, Ь вЂ” ~со, а=п.
87. Решить задачу 8б для частного случая )(ср)=им Р '<р) =О. 88. Определить магнитное поле токов, один нз которых течет в длинном прямом проводе в одном направлении, а другой— ПА УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА в параллельном проводе, находящемся от первого на расстоянии а, в обратном направлении. 89. Пусть в бесконечной круглой цилиндрической пленке течет ток параллельный оси г, с плотностью тока й Найти вектор- потенциал магнитного поля, создаваемого этим током. 9О. Цилиндр или провод круглого сечения с магнитной проницаемостью Р, помещен в среду с магнитной проницаемостью р . По проводу протекает ток 1. Внешнее магнитное поле направлено перпендикулярно к оси провода и всюду параллельно и однородно. Определить полное магнитное поле в точках внутри и вне цилиндра, считая цилиндр бесконечно длинным.
9!. Вычислить величину магнитной индукции снаружи цилиндрического экрана с внутренним и внешним радиусами а и Ь, имеющего магнитную проницаемость р и окружающего два параллельных прямолинейных провода, расположенных симметрично относительно оси цилиндра и несущих противоположно направленные токи (магнитное экранирование двухпроводной линии); цилиндр следует считать бесконечно длинным; координаты прове дов р=со» йо=О и Зо-и 92.
Полый шар а(Г~Ь помещен в однородное параллельное магнитное поле. Пусть р — магнитная проницаемость шара, в то время как магнитная проницаемость внешней среды принята равной еднннце. Найти искажейное магнитное поле во всем пространстве. Сравнить поле внутри шара е внешним полем для случая р'- 1 и для случая и~ !. 2.
Краевые задачи для полосы, прямоугольника„ плоского слоя и параллелепипеда 9З. Найти решение общей первой краевой задачи для уравнения Лапласа внутри прямоугольника. ч4. Решить смешанную краевую задачу для уравнения Лапласа внутри прямоугольника, если а) на двух соседних сторонах заданы краевые условия первого рода, а на двух других сторонах — условия второго рода; б) на двух противоположных сторонах заданы условия первого рода, а на двух остальных — условия второго рода. 95. Найти электростатическое поле внутри области, ограниченной проводящими пластинами у= О, у= Ь и х= О, если пластина х=О заряжена до потенциала !», пластины д =О, у =Ь заземлены, а заряды внутри рассматриваемой области отсутствуют.
96. Решить задачу 95, предполагая, что граница д = Ь поддерживается прн потенциале Ь'э. Рассмотреть предельный случай Ь вЂ” Р со. головин задач 9У. Решить уравнение би = 0 внутри прямоугольника 0 «х«а, 0«у«Ь при следующих краевых условиях: и=У при х=О, и=0 при х=а и у=О, и= $~р цри у=Ь. Совершая предельный переход а — ~- оо, получить решение задачи Об. 98. !1олуслой задачи 95 заполнен неоднородным диэлектриком с диэлектрической постоянной е, при 0(у й, е= е при Ь» у(Ь, Найти электростатическое поле в диэлектрике. 99. Найти электростатическое поле внутри бесконечной цилиндрической трубы прямоугольного сечения со сторонами а и Ь, заполненной неоднородным диэлектриком с диэлектрической постоянной е, при 0(у(1Ь ер при Ь у«Ь, если стенка х= О заряжена до потенциала г', а остальные стенки зазсмлены.
Рассмотреть случай, когда стенка х=а удаляется в бесконечность. 100. Решить задачу 99 при условии, что заряркена стенка у= Ь, а остальные стенки заземлены. 101, Через грань у=О бесконечного цилиндра с прямоугольным сечением О==.х«а, 0«у«Ь втекает, а через грань к=О вытекает количество тепла 1;!. Найти распределение температуры внутри цилиндра, считая, что тепловой поток равномерно распределен по поверхности грани у =0 и соответственно по поверхности грани х=О, з остальные две грани тела теплоизолированы.
102. Найти распределение температуры внутри прямоугольной тонкгй пластинки, если к одной из ее сторон подводится постоянный поток др, а остальные три стороны поддерживаются при постоянной температуре и,. !03. Найти решение общей первой краевой задачи дпя !равнения Лапласа внутри прямоугольного параллелепипеда. 104. Найти электростатическое поле внутри прямоугольного глраллелепнпеда с проводящими стенками, если его боковые грани н верхнее основание заземлены, а нижнее основание заряжено до потенциала Г.
С помощью предельного перехода получить решения задач 95 н 96. 106. Решить задачу !04, если боковые грани заряжены до потенциала и', а оба основания заземлены. П». УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСАОГО ТИПА в! 3. Задачи, требующие применения цилипдрнческих Функций' ) 106. Решить первую краевую задачу для уравнения Лапласа внутри ограниченного цилиндра р:~а, Он гм. 1, если и!р= — — О, а (а а = Г (р ф)» а Ьчн = г (р ф). 107. Решить задачу 106, если а!. „=):(р), а!.,=Р(р), где у' и г' †функц, зависящие только от р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
