1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d (846319), страница 13
Текст из файла (страница 13)
(3) 11!. Температура одного кщща стержня (х= 0) поддерживается постоянной и отличной от нуля, и ~0, Е)=(ЕрчьО, а температура другого конца (х=ЕЕ все время равна нулю, и(Е, Е)=0. Найти температуру стержня, если его боковая поверхность теплоизолнрована, а начальная температура равна нулю; дать выражение температуры стержня через интеграл ошибок. 1!2. Один конец стержня (х= !) теплоизолирован, а на другой конец (х = 0) подается постоянный тепловой поток 1 — 4у„(0, Е)= — Хйр!.
Найти температуру стержня, если его начальная температура равна нулю, а боковая поверхность тепло- изолирована; дать выражение температуры стержня через интеграл ошибок. 3 В. М. БУАак и АР услОВия зхалч 3. Неоднородные среды и сосредоточенные факторы; уравнения с кусочно-постоянвыми коэффициентами и условия сопряжения 113. Неограниченный стержень — оо<х<+ со с теплоизолированной боковой поверхностью и постоянным поперечным сечением получен соединением в точке х О двух однородных полу- ограниченных стержней — со < х< О и 0 <х<+со; торцы стержней плотно примыкают друг к другу. Начальная температура, коэффициент температуропроводности и коэффициент теплопроводностн левого н правого стержней соответственно равны С,=сонэ(.
а,, х„ба=сонэ(, а,, йе Найти температуру составного стержня. 114. Решить предыдущую задачу, есЛи начальная температура равна ~1 х) со <х< О, и(х, О)= Г,(х), О <х<+ 115. Неограниченный стержень составлен из двух полуограииченных стержней, как указано в задаче 113. Найти температуру стержня при 1)0, если в момент времени 1=-0 в его точке $ =- О выделилось мгновенно Я=сап, единиц тепла, а начальная температура стержня была равна нулю.
116. На конец полуограничениого стержня с теплоизолированной боковой поверхностью насажен шарик с теплоемкостью С, и очень большой теплопроводностью, так что в каждый момент времени шарик можно считать равномерно нагретым, а его температуру равной температуре конца стержня. Пусть поверхность шарика также теплоизолирована, 1-)айти температуру стержня, если его начальная температура равна и (х, О) = Г (х), 0 <х <+ со, причем 1(+0) и Г'(+0) существуют.
117. Пусть полупространство х) 0 заполнено жидкостью с коэффициентами температуропроводности и теплопроводности ам а и начальной температурой б,=сонэ(, а плоскость х 0 поддерживается при постоянной температуре Ьг бм причем (/, ниже температуры замерзания жидкости. Найти закон распространения фронта промерзания жидкости, а также температуру жидкости и твердого вещества, в которое жидкость превращаетси при промерзании. ГЛАВА И УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА К уравнениям эллиптического типа приводит изучение стацио. парных, т. е. не меняющихся во времени, процессов различной физической природы. Сюда относятся стационарные электрические и магнитные поля (электростатика, магнитостатика, поля постоянного электрического тока), потенциальное движение несжимаемой жидкости, стационарные тепловые поля н др.
Простейшим уравнением эллиптического типа является уравнение Лапласа Ьи = Р, которому в основном и посвящена настоящая глава. Ниже, в гл. Н1, помещены задачи для других уравнений эллиптического типа. й 1. Физические задачи, приводящие к уравнениям эллиптического типа, и постановка краевых задач 1. Краевые задачи для уравнений Лапласа и Пуассона в однородной среде В отличие от уравнений гиперболического и параболического типов краевые задачи для эллиптического уравнения характеризуются отсутствием начальных условий. В зависимости от типа краевых условий для уравнения Лапласа различают: первую краевую задачу (задачу Дирихле), если и~х =Гм вторую краевую ди задачу (задачу Неймана), если — ~ =гм третью краевую задачу, !ди если ~д — +Пи) =~я гДе ~м, м 1, — некотоРые фУикции, заДанные на границе Х области, в которой ищется решение уравнения Лапласа.
1. Стационарное температурное поле. Вывести уравнение, которому удовлетворяет температура стационарного теплового поля в однородной среде; при выводе уравнения учесть наличие распределенных источников тепла, не меняющихся во времени. Дать физическую интерпретацию краевых условий первого, второго и третьего рода. Установить необходимое условие существования стационарной температуры для второй краевой задачи. в* УСЛОВИЯ ЗАЛАЧ 2. Уравнение стационарной ди4фуи. Вывести уравнение стационарного процесса диффузии: а) в покоящейся однородной изотропной среде, б) в однородной изотропной среде, движущейся с заданной скоростью, например, вдоль оси х.
3. Уравнение электростатики. Показать, исходя из уравнений Максвелла, что потенпиал электростатического поля удовлетворяет уравнению Пуассона с правой частью, пропорциональной объемной плотности зарядов р(х, у, г). Дать физическую интерпретацию краевых условий первого и второго рода. 4. Уравнение иагнитостатики. Показать, что потенциал стационарного магнитного поля прн отсутствии электрических токов удовлетворяет уравнению Лапласа. 5. Поле постоянного электрического тока. Убедиться в том, что потенциал электрического поля постоянного электрического тока удовлетворяет уравнению Лапласа. Сформулировать граничные условия 1) на заземленной идеально проводящей поверхности, 2) на гранипе с диэлектриком.
6. Потенциальное движение несжимаемой жидкости. Показать, что потенциал скоростей стационарного потока несжимаемой жидкости удовлетворяет уравнению Лапласа. Написать краевое условие на поверхности твердого тела, покоящегося или движущего я с некоторой заданной скоростью. 7.
Основные задачи электростатики. Электростатическое поле, создаваемое заряженным проводником конечных размеров, можно определить, !) задавая значение потенциала проводника, 2) задавая значение заряда проводника. Эти задачи называются первой и второй основнымн задачами электростатики. Бать математическую формулировку первой и второй задач электростатнки. 2. Краевые задачи для уравнения Лапласа в неоднородных средах В неоднородной, но изотропной среде основное уравнение стационарного полн имеет вид где характеристика среды й=й(х, у, г) — переменная величина. Если коэффициент й терпит разрыв на некоторой поверхности, то на этой поверхности выполняются условия сопряжения (1) 1Ч. УРАВНЕНИЯ ЭЛЯИПТИЧЕСКОГО ТИПА где значки 1 и 2 означают соответственно левое и правое предельные значения на повсрхно тн разрыва. 8. Решить задачу 1, считая, что коэффициент теплопроводности является переменной величиной Й=й(х, у, г).
Поставить краевую задачу теплопроводносги для случая кусочно-однородной среды (для случаи кусочно-постоянного л), предварительно выведя условия сопряжения (1) и (2), л(ать физическую интерпретацию этих условий. 9. Написать уравнение дая потенциала электрического поля в неоднородном диэлектрике с диэлектрической постоянной а = в (х, у, г). Предполагая е (х, у, г) кусочно-постоянной, вывесгн условия сопряжения на поверхностях разрыва функции а(х, у, г) и сформулировать соответствующую краевую задачу. 10 Решить зздачу, аналогичную задачам 8 и 9, для стационарного магнитного поля.
11. Решить задачу, аналогичную задачам 8 и 9, для электрического поля постоянного тока. 12. Подобие различных она!(иоиарных полей. Установить подобие между полем постоянного электрического тока, с одной стороны, н термическим, электростатическим, магнитостатическим полями, полем концентраций стационарного процесса диффузии и полем скоростей потенциального течения несжимаемой жидкости, с другой стороны.
Сравнить условия сопряжения на границе разрыва физических констант. 9 2. Поостейшне задачи дли уравнений Лапласа и Пуассона В этом параграфе даны краевые задачи для уравнений Лапласа и Пуассона, решения;!оторых могут быть'найдены непосредственно, простым подбором, без применения общих методов. 1. Краевые задачи для уравнения Лапласа 13. Рассмотрим круг радиуса а с центром в начале координат.
Пусть (р, ср) — полярные, а (х, у) — прямоугольные координаты. Нанти решение первой внутренней краевой задачи для уравнения Лапласа, если заданы следующие граничные условия: а) и) =А; б) и ~р —— А соз !р, в) и !!Р а = А + Вуе г) и(, =Аху; то условия ВАдАч д) и!и,=А+Вз1пф; е) и)и,= А з1пзф+Всоззф, где А и  — постоянные, 14.
Решить вторую внутреннюю краевую задачу пи = О ~„~ = У (ф) ди для круга С радиуса а с центром в точке р=О для следующих частных случаев: а) ~=А; б) г=Ах; в) !=А(х' — у'); г) ~=А созф+В; д) ! = А з) и ф+ В з(пи ф. Отметить неправильно поставленные задачи. 1б. Найти функции и(р, ф), гармонические вне круга радиуса р=а и удовлетворяющие граничным условиям а) — е) задачи 13 (первая внешняя краевая задача для круга). 18. Найти функции и=и(р, ф), гармонические вне круга радиуса р=а и удовлетворяющие граничным условиям задачи 14 (вторая внешняя краевая задача для круга). 17. Найти функцию и=и (р, ф), гармоническую внутри кольца а(р(Ь и удовлетворяющую граничным условиям и|и- =иг "'и-ь=им Пользуясь решением задачи, найти емкосгь цилиндрического кон- денсатора, рассчитанную на единицу длины. !8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
