1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d (846319), страница 9
Текст из файла (страница 9)
полуось х, так стобы функции х Ф были нечетными. 193. Доказать, что для представимости решения краевой задач»с и =ахи„„+с»и+~(х, (), 0<х, ((+со, Х д»в А» — » -О, О«" ((+со, х=О, »=в и(х, 0)=0, и,(х, О)=0, О~ х~+со с виде »+ап — и и х, 0= —,~~дт дт Гв~~ ~г (( — т) —,, ~16, )с$ * — аа-ч «) Здесь н ниже вм не ветр»гневен вопроса непрермвнсств в авфференпн руемссгв 45 11, уРАВнения ГипеРБОлическОГО типА достаточно продолжить 1(х, 1) на отрицательную полуось х таким образом, чтобы функция «д 4 была нечетной по х.
1*. Переход к к онеч ном у интер валу методом отр андений 194. Решить краевую задачу ид,—— а'и +с'и, 0<х<1, 0<1<+со, и (О, 1, = О, и (1, 1) = О, О <1 <+ со. и (х, О) =-1р(х), ид(х, 0) = др (х), 0 " х < 1. 19б. Решить краевую задачу ив=ага„„+сги, 0<х<1, 0<1<+оо, и(0, 1)=0, и„(1, 1)=0, 0<1<+со, и(х, 0)=др(х), ид(х, О)=др(х), 0<х<1. 196. Решить краевую задачу им=ага„,+сгдд, 0<х<1, О<1<+со, и„(0, 1)=0, и„(1, 1)=0, 0<1<+со, и(х, 0)=др(х), и,(х, 0)=д)д(х)„0<х<1.
!97. Решить краевую задачу пи=и„„+сги, О<х<1, 0<1<+со, и(0, 1) =рд(1), и(1, 1 =рг(1), 0<1< +ос, и(х, О)=О, и,(х, 0)=0, 0<х .,1. 2. Метод Римана (98. Найти функцию Римана длн оператора д'и г д'и 1 (и) = д г — а д г, а=сапа(, и решить с ее помошью краевую задачу — = а — +~дх,1). 0<х<+со- — оо х<+оо, дги г дги ддг дхг и(х, 0)=др(х), и,(х, 0)=др(х), 0<х<+со. УСЛОВИЯ ЗАДАЧ !99. Найти функцию Римана для оператора дхи д*и !.
(и) = — — ах — -4- с"и а = сопз1 д!х дхх и решить с ее шалостью краевую задачу — *= а — х-+ сии+! х, 1), — со<х +со, 0<1<+со, дхи х д'и и (х, 0) = ср (х), а,(х, О) = ф (х), — со < х + со. 200. Решить краевую задачу х — — д —. = О, — со х<+со, 1 <у<+со, х д'и х дхи дх". дух ди ~ и'.У,=хи(х), — 1 =ф(х), — со<х<+со. да !„, 20!. Решить краевую задачу ахи ди ! д*и 1-х) — — — = — — — оо<х<1 0<!<+со, 1: О, дхх дх их д!х ди ~ и~, В=Ч (х), — 1 =ф(х), — со«х<!. д! у=а 202.
Решить краевую задачу дхи ди д'и ! (1'-хх) — — 2х — — — — — и =О, — !<х<! О<у<+со дхи дх дях 4 и!и Я=~р(х), — ~ = ф(х), — 1<х<1. ди ду ЯАА ГЛАВА 111 УРАВИЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА Уравнения параболическою типа получаются при исследовании таких физических явлений, как теплопроводность, диффузия, распространение электромагнитных полей в проводящих. средах, движение вязкой жидкости. В настоящей главе рассматривается посгановка и решение краевых задач для уравнений параболическою типа в случае, когда изучаемые физические процессы могут быть охарактеризованы функциями двух независимых переменных: одной пространственной координаты и времени.
В частности, всюду в настоящей главе начальные значения искомой функции будут предполагаться зависящими лишь от одной пространственной координаты. Уравнениям параболического типа для функций с большим числом независимых переменных посвящена гл. У, которая квлкетсн продолжением и развитием настоящей главы. й 1. Физические задачи, приводящие к уравнениям параболического типа; постановка краевых задач В первой группе задач этого параграфа предполагается однород- ность сред, а во второй допускаются нарушения однородности сред и наличие сосредоточенных факторов.
Третья группа госвящена установлению подобия между различными физическими явлениями, приводящими к уравнениям параболического типа. Поставить краевую задачу, соответствующую данной физической задаче,— это значит выбрать функцию, характеризующую физиче- ский процесс,' а затем Ц вывести дифференциальное уравнение для этой функции, 2) установить для нее граничные условия, 3) сформулировать начальные условия. Краткая сводка основных законов теплопроводности и диффузии, из которых выводятся дифференциальные уравнения и граничные условия, дается в гл. Ш, $1, ответы и указания.
эсловня задач 1. Одно родные среды; уравнения с посто я н ными коэффициентами Всюду в задачах этого пункта среды предполагаются однородными и изотропными, а их свойства — не зависящими от искомой функции и времени. Стержни, провода, трубы и т. п. здесь и всюду, где не оговорено противное, предполагаются имеющими постоянное поперечное сечение. 1. Поставить краевую задачу об определении температуры стержня 0 -'„х.=: 1 с теплоизолированной боковой поверхностью, если его начальная температура является произвольной функцией х; рассмотреть случаи, когда а) концы стержня поддерживаются при заданной температуре, б) на концы стержня подается извне заданный тепловой поток, в) на концах стержня происходит конвективный теплообмен по закону 1-!ьютона со средой.
температура которой задана. 2. На боковой поверхности стержня происходит конвективный теплообмен по закону Ньютона со средой, температура которой является заданной функцией времени. Пренебрегая деформацией изотермических поверхностей, поставить краевую задачу об определении температуры в стержне при начальных и граничных условиях предыдущей задачи. 3. Поставить краевую задачу об остывании тонкого кольца, на поверхности которого происходит конвективный теплообмен по закону Ньютона с окружающей средой, имеющую заданную температуру.
Неравномерностью распределения температуры по толщине кольца пренебречь. 4. Поставить краевую задачу о нагревании полуограниченного стержня, если конец стержня горит, причем фронт горения распространяется с постоянной скоростью вз и имеет известную температуру гв 11). 5. Вывесги уравнение для температуры тонкой проволоки, нагреваемой постоянным электрическим током, если иа ее поверхности происходит конвективный теплообмен по закону Ньютона с окружающим воздухом, имеющим известную температуру. Поставить краевую задачу об определении температуры в этом проводе, если его концы зажаты в массивные клеммы с заданной теплоемкостью и очень большой теплопроводностью.
6. Вывести уравнение диффузии в неподвижной среде, предполагая, что поверхностями равной концентрации в каждый момент времени 1 являются плоскости. перпендикулярные к оси х. Написать граничные условия, предполагая, что диффузия происходит в плоском слое 0(х==1; рассмотреть случаи, когда а) на граничных плоскостях концентрация диффундирующего вещества поддерживается равной нулю.
б) граничные плоскости непроницаемы, ПЬ УРАБНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 49 в) граничные плоскости полунепроницаемы, причем диффузия через эти плоскости происходит по закону, подобному закону Ньютона для конеективного теплообмена. 7. Вывести уравнение диффузии в среде, движущейся с постоянной скоростью в направлении оси х, если поверхностями равной концентрации в каждый момент времени Г являются плоскости, перпендикулярные к оси л. 8. Вывестн уравнение диффузии взвешенных частиц с учетом оседания, предполагая, что скорость частиц, вызываемая силой тяжести, постоянна, а концентрация частиц зависит только от одной геометрической координаты г (высоты) и времени й Написать граничное условие, соответствующее непронипаемой перегородке. 9.
Вывести уравнение диффузии при условиях задачи 6 для вещества, частицы которого а) распадаются (например, неустойчивый газ), причем скорость распада диффундирующего вещества в каждой точке пространства пропорциональна концентрации; б) размножаются (например, диффузия нейтронов), причем скорость размножения диффундирукицего вещества в каждой точке пространства пропорциональна концентрации.
1О. Поставить краевую задачу о движении слоя вязкой жидкости между двумя параллельными плоскостями, если одна из них в момент времени 1 = 0 начинает двигаться параллельно другой с заданной скоростью, имекицей постоянное направление. действием силы тяжести пренебречь. 11. Вывести уравнения для процесса распространения плоского электромагнитного поля в проводящей среде. (Среда называется проводящей, если токами смещения можно пренебречь по сравнению с токами проводимости.) 2. Неодко родные среды, сосредоточенные факторы; уравнения с переменными коэффициентами и условия сопряжения В этом пункте сначала рассматриваются кусочно-однородные среды и сосредоточенные факторы, что приводит к уравнениям с кусочно-постоянными коэффициентами и к условиям сопряжения.
Затеи рассматриваются задачи, приводящие к уравнениям с непрерывно меняющимися коэффициентами. 12. Неограниченный стержень с постоянным поперечным сечением получен соединением двух полуограниченных однородных стержней с различными коэффициентами теплопроводиости и температуропроводности. Поставить краевую задачу об определении температуры в этом стержне, рассмотрев случаи, когда хсловия задлч а) концы составляющих стержней соединены непосредственно (приварены торцом к торцу), б) концы стержней соединены массивной муфтой с теплоемкостью С„причем материал муфты обладает очень большой теплов роводностью.
Поверхность стержня и внешнюю поверхность муфты (не прилегающую к стержню) считать теплоизолированными. 18. Замкнутый цилиндрический сосуд с непраницаемымн стенками получен соединением в начальный момент времени двух цилиндрических сосудов, каждый из которых заполнен однородной средой с равномерно распределенньзч веществом, причем концентрация этого вещества в обоих составляющих сосудах различна и свойства среды в одном и другом сосуде различны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
